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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 5 + 24 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●40
    Rechne: (5 + 3) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 3 = 8
    2. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 3 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
    2. 5 + 27 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 10 und erhalte 64. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 5 + 64 + 25 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
56425
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 5 + 25 + 64
  2. 5 + 25 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 64 = 94
  1. Vertauschen: 5 + 25 + 64
  2. 5 + 25 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 64 = 94
Ergebnis:
94

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Paul rechnet 14 + 39 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    143926
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 26 + 39
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 26 + 39
    2. 14 + 26 = 40
    3. 40 + 39 = 79
    Ergebnis:
    79
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 23 + 53 + 7 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    23537
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 7 + 53
    2. 23 + 7 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 53 = 83
    Ergebnis:
    83
  3. ★3
    Rechne geschickt: 39 + 172 + 61
    3917261
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 39 + 61 + 172
    2. 39 + 61 = 100
    3. 100 + 172 = 272
    Ergebnis:
    272

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 69 = 70 + ___
6769
Schritt für Schritt
  1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
  2. Also muss 69 um 3 kleiner werden: 69 − 3 = 66
  3. 70 + 66 = 136
  1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
  2. Also muss 69 um 3 kleiner werden: 69 − 3 = 66
  3. 70 + 66 = 136
Ergebnis:
66

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 76 = 70 + ___
    6776
    So fängst du an:
    67 wird zu 70: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 76 um 3 kleiner werden: 76 − 3 = 73
    3. 70 + 73 = 143
    Ergebnis:
    73
  2. ●5
    Milan rechnet 47 + 38 als 50 + 38. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    4738
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 38 = 88.
    3. 3 wieder abziehen: 88 − 3 = 85
    Ergebnis:
    85
  3. ★6
    Hanna rechnet 497 + 527 als 500 + 527. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    497527
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 497 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 500 + 527 = 1027.
    3. 3 wieder abziehen: 1027 − 3 = 1024
    Ergebnis:
    1024

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 53
Schritt für Schritt
  1. 53 = 50 + 3
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 3 = 9
  3. 150 + 9 = 159
  1. 53 = 50 + 3
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 3 = 9
  3. 150 + 9 = 159
Ergebnis:
159

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
    3. 540 − 9 = 531
    Ergebnis:
    531
  2. ●8
    Es gibt 4 Hefte mit je 22 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 22
    2. 22 = 20 + 2
    3. 4 · 20 = 80 und 4 · 2 = 8
    4. 80 + 8 = 88
    Ergebnis:
    88 Hefte
  3. ★9
    Es gibt 6 Tüten mit je 29 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 29
    2. 29 = 20 + 9
    3. 6 · 20 = 120 und 6 · 9 = 54
    4. 120 + 54 = 174
    Ergebnis:
    174 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 396 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 396 : 9?
396: 9
Schritt für Schritt
  1. 396 = 360 + 36
  2. 360 : 9 = 40 und 36 : 9 = 4
  3. 40 + 4 = 44
  1. 396 = 360 + 36
  2. 360 : 9 = 40 und 36 : 9 = 4
  3. 40 + 4 = 44
Ergebnis:
44

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 126 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 126 : 9?
    126: 9
    So fängst du an:
    126 = 90 + 36
    Lösung zeigen
    1. 126 = 90 + 36
    2. 90 : 9 = 10 und 36 : 9 = 4
    3. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●11
    Zerlege 87 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 87 : 3?
    87: 3
    Lösung zeigen
    1. 87 = 60 + 27
    2. 60 : 3 = 20 und 27 : 3 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  3. ★12
    584 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 584 : 4
    2. 584 = 560 + 24
    3. 560 : 4 = 140 und 24 : 4 = 6
    4. 140 + 6 = 146
    Ergebnis:
    146 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 20 + 41 = 10 + ___
Schritt für Schritt
  1. 20 wird zu 10: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 41 um 10 größer.
  3. 41 + 10 = 51
  1. 20 wird zu 10: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 41 um 10 größer.
  3. 41 + 10 = 51
Ergebnis:
51

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 14 = 3 · ___
    6 · 14=3 · ?
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 44 − 34 = ___ − 39
    Lösung zeigen
    1. 34 wird zu 39: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 44 um 5 größer.
    3. 44 + 5 = 49
    Ergebnis:
    49
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 10 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Elias verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Lina verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 22 · 15
    Lösung zeigen
    1. 22 · 15 = 11 · 30
    2. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 28 + 39 + 72? Nenne ihn. Rechne danach.
28 + 39 + 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 28 + 72 = 100
  3. 100 + 39 = 139
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 28 + 72 = 100
  3. 100 + 39 = 139
Ergebnis:
vertauschen, 139

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 24 + 79 + 76? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 24 + 76 = 100
    3. 100 + 79 = 179
    Ergebnis:
    vertauschen, 179
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 35? Nenne ihn. Rechne danach.
    7 · 35zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 35 = 30 + 5.
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 5 = 35
    3. Zusammen: 245
    Ergebnis:
    zerlegen, 245

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 838 − 495 und erhält 363. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 363 + 495 = 858
  2. 858 ist nicht 838: Es ist falsch.
  3. 838 − 495 = 343
  1. Umkehraufgabe: 363 + 495 = 858
  2. 858 ist nicht 838: Es ist falsch.
  3. 838 − 495 = 343
Ergebnis:
falsch, richtig ist 343

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Paul rechnet 470 − 387 und erhält 83. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 83 + 387 = 470
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 83 + 387 = 470
    2. 470 ist genau 470: Es stimmt.
    3. 470 − 387 = 83
    Ergebnis:
    stimmt, 83
  2. ●23
    Zeynep erhält für 60 · 40 das Ergebnis 2400. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 40 = 2400
    2. 2400 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 60 · 40 = 2400
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2400
  3. ★24
    Milan erhält für 194 · 21 das Ergebnis 4074. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 20 = 4000
    2. 4074 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 194 · 21 = 4074
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 4074

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Elias rechnet 45 + 43 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    45435
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 45 + 5 + 43
    2. 45 + 5 = 50
    3. 50 + 43 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●26
    Rechne geschickt: 2 · 11 · 5
    2115
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 11
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 11 = 110
    Ergebnis:
    110
  3. ●27
    Lea rechnet 98 + 97 als 100 + 97. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    9897
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 97 = 197.
    3. 2 wieder abziehen: 197 − 2 = 195
    Ergebnis:
    195
  4. ●28
    Jonas rechnet 172 − 97 als 172 − 100 und erhält 72. Ist das schon das Ergebnis?
    172 − 97172 − 100
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 72 + 3 = 75
    Ergebnis:
    Nein, 75
  5. ●29
    Es gibt 8 Hefte mit je 29 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 29
    2. 29 = 20 + 9
    3. 8 · 20 = 160 und 8 · 9 = 72
    4. 160 + 72 = 232
    Ergebnis:
    232 Hefte
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 23?
    2036
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 20 = 120
    2. Rechts: 6 · 3 = 18
    3. 6 · 23 = 120 + 18 = 138
    Ergebnis:
    6 · 20 und 6 · 3, zusammen 138

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 49 + 34 + 11
    493411
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Jonas rechnet 69 + 52 als 70 + 52. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    6952
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    121

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 55
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    330

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 120 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 71 + 77 = 68 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 37 + 74 + 63? Nenne ihn. Rechne danach.
    37 + 74 + 63zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 174

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea rechnet 165 : 3 und erhält 54. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    165 : 3Ergebnis 54?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 55

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 79
  2. 83
  3. 272
  4. 73
  5. 85
  6. 1024
  7. 531
  8. 88 Hefte
  9. 174 Bonbons
  10. 14
  11. 29
  12. 146 Sticker
  13. 28
  14. 49
  15. 20
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  18. 330
  19. vertauschen, 179
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. zerlegen, 245
  22. stimmt, 83
  23. stimmt, 2400
  24. stimmt, 4074
  25. 93
  26. 110
  27. 195
  28. Nein, 75
  29. 232 Hefte
  30. 6 · 20 und 6 · 3, zusammen 138
  31. 94
  32. 121
  33. 330
  34. 24
  35. 80
  36. 210
  37. vertauschen, 174
  38. falsch, richtig ist 55
  39. 29
  40. 16
  41. 32
  42. 54