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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 6 + 18 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●40
    Rechne: (3 + 6) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 6 = 9
    2. 9 · 8 = 72
    Ergebnis:
    72

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 6 + 24 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 6 und erhalte 57. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 9 + 49 + 31 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
94931
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 9 + 31 + 49
  2. 9 + 31 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 49 = 89
  1. Vertauschen: 9 + 31 + 49
  2. 9 + 31 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 49 = 89
Ergebnis:
89

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Can rechnet 7 + 62 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    76213
    So fängst du an:
    Vertauschen: 7 + 13 + 62
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 62
    2. 7 + 13 = 20
    3. 20 + 62 = 82
    Ergebnis:
    82
  2. ●2
    Rechne geschickt: 41 + 58 + 9
    41589
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 41 + 9 + 58
    2. 41 + 9 = 50
    3. 50 + 58 = 108
    Ergebnis:
    108
  3. ★3
    Rechne geschickt: 811 + 508 + 17 + 189 + 83
    8115081718983
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 811 + 189 + 17 + 83 + 508
    2. 811 + 189 = 1000 und 17 + 83 = 100
    3. 1000 + 100 + 508 = 1608
    Ergebnis:
    1608

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Lina rechnet 199 + 26 als 200 + 26. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
19926
Schritt für Schritt
  1. Lina hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 26 = 226.
  3. 1 wieder abziehen: 226 − 1 = 225
  1. Lina hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 26 = 226.
  3. 1 wieder abziehen: 226 − 1 = 225
Ergebnis:
225

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Elias rechnet 99 + 87 als 100 + 87. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    9987
    So fängst du an:
    Elias hat 99 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 87 = 187.
    3. 1 wieder abziehen: 187 − 1 = 186
    Ergebnis:
    186
  2. ●5
    Jonas rechnet 198 + 74 als 200 + 74. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    19874
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 74 = 274.
    3. 2 wieder abziehen: 274 − 2 = 272
    Ergebnis:
    272
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1999 + 433 = 2000 + ___
    1999433
    Lösung zeigen
    1. 1999 wird zu 2000: 1 mehr.
    2. Also muss 433 um 1 kleiner werden: 433 − 1 = 432
    3. 2000 + 432 = 2432
    Ergebnis:
    432

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Reihen mit je 16 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 16
  2. 16 = 10 + 6
  3. 6 · 10 = 60 und 6 · 6 = 36
  4. 60 + 36 = 96
  1. 6 · 16
  2. 16 = 10 + 6
  3. 6 · 10 = 60 und 6 · 6 = 36
  4. 60 + 36 = 96
Ergebnis:
96 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
    3. 90 − 3 = 87
    Ergebnis:
    87
  2. ●8
    Es gibt 5 Tüten mit je 26 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 26
    2. 26 = 20 + 6
    3. 5 · 20 = 100 und 5 · 6 = 30
    4. 100 + 30 = 130
    Ergebnis:
    130 Bonbons
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
    3. 540 − 9 = 531
    Ergebnis:
    531

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

324 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 324 : 6
  2. 324 = 300 + 24
  3. 300 : 6 = 50 und 24 : 6 = 4
  4. 50 + 4 = 54
  1. 324 : 6
  2. 324 = 300 + 24
  3. 300 : 6 = 50 und 24 : 6 = 4
  4. 50 + 4 = 54
Ergebnis:
54 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 245 : 7
    So fängst du an:
    245 = 210 + 35
    Lösung zeigen
    1. 245 = 210 + 35
    2. 210 : 7 = 30 und 35 : 7 = 5
    3. 30 + 5 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●11
    Zerlege 345 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 345 : 5?
    345: 5
    Lösung zeigen
    1. 345 = 300 + 45
    2. 300 : 5 = 60 und 45 : 5 = 9
    3. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69
  3. ★12
    Zerlege 1197 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 1197 : 9?
    1197: 9
    Lösung zeigen
    1. 1197 = 1170 + 27
    2. 1170 : 9 = 130 und 27 : 9 = 3
    3. 130 + 3 = 133
    Ergebnis:
    133

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 7 = 8 · ___
16 · 7=8 · ?
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
  3. 7 · 2 = 14
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
  3. 7 · 2 = 14
Ergebnis:
14

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 84 + 48 = 82 + ___
    84 + 48=82 + ?
    So fängst du an:
    84 wird zu 82: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 84 wird zu 82: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 48 um 2 größer.
    3. 48 + 2 = 50
    Ergebnis:
    50
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 62 − 41 = ___ − 42
    Lösung zeigen
    1. 41 wird zu 42: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 62 um 1 größer.
    3. 62 + 1 = 63
    Ergebnis:
    63
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 72 + 65 = 71 + ___
    72 + 65=71 + ?
    Lösung zeigen
    1. 72 wird zu 71: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 65 um 1 größer.
    3. 65 + 1 = 66
    Ergebnis:
    66

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Milan verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Zeynep verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 50? Nenne ihn. Rechne danach.
6 · 50zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 0 = 0
  3. Zusammen: 300
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 50 = 50 + 0.
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 0 = 0
  3. Zusammen: 300
Ergebnis:
zerlegen, 300

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 294 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    294 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 294 + 299 = 293 + 300
    3. 293 + 300 = 593
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 593
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 22 + 37 + 78? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 22 + 78 = 100
    3. 100 + 37 = 137
    Ergebnis:
    vertauschen, 137
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 194 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    194 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 194 + 399 = 193 + 400
    3. 193 + 400 = 593
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 593

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin erhält für 82 · 29 das Ergebnis 2378. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
  2. 2378 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 82 · 29 = 2378
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
  2. 2378 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 82 · 29 = 2378
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 2378

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 624 : 8 und erhält 79. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    624 : 8Ergebnis 79?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 79 · 8 = 632
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 79 · 8 = 632
    2. 632 ist nicht 624: Es ist falsch.
    3. 624 : 8 = 78
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 78
  2. ●23
    Paul erhält für 38 · 36 das Ergebnis 1268. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 40 = 1600
    2. 1268 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 38 · 36 = 1368
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1368
  3. ★24
    Elias erhält für 205 · 37 das Ergebnis 7585. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 40 = 8000
    2. 7585 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 205 · 37 = 7585
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 7585

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 6 + 28 + 34
    62834
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 34 + 28
    2. 6 + 34 = 40
    3. 40 + 28 = 68
    Ergebnis:
    68
  2. ●26
    Rechne geschickt: 25 · 13 · 4
    25134
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 13
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 13 = 1300
    Ergebnis:
    1300
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 28 = 50 + ___
    4828
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 28 um 2 kleiner werden: 28 − 2 = 26
    3. 50 + 26 = 76
    Ergebnis:
    26
  4. ●28
    Lina rechnet 144 − 28 als 144 − 30 und erhält 114. Ist das schon das Ergebnis?
    144 − 28144 − 30
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 114 + 2 = 116
    Ergebnis:
    Nein, 116
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
    3. 180 − 3 = 177
    Ergebnis:
    177
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 13?
    1034
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 10 = 40
    2. Rechts: 4 · 3 = 12
    3. 4 · 13 = 40 + 12 = 52
    Ergebnis:
    4 · 10 und 4 · 3, zusammen 52

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 26 + 52 + 74
    265274
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    152

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 85 = 70 + ___
    6785
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    82

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    312

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    295 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 6 = 8 · ___
    16 · 6=8 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Paul verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma rechnet 826 − 756 und erhält 70. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 70

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 82
  2. 108
  3. 1608
  4. 186
  5. 272
  6. 432
  7. 87
  8. 130 Bonbons
  9. 531
  10. 35
  11. 69
  12. 133
  13. 50
  14. 63
  15. 66
  16. 80
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. 900
  19. gegensinnig verändern, 593
  20. vertauschen, 137
  21. gegensinnig verändern, 593
  22. falsch, richtig ist 78
  23. falsch, richtig ist 1368
  24. stimmt, 7585
  25. 68
  26. 1300
  27. 26
  28. Nein, 116
  29. 177
  30. 4 · 10 und 4 · 3, zusammen 52
  31. 152
  32. 82
  33. 312
  34. 59 Sticker
  35. 12
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. stimmt, 70
  39. 24
  40. 72
  41. 30
  42. 51