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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 55 − 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 55 − 20 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●40
    Rechne: (6 + 5) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 5 = 11
    2. 11 · 7 = 77
    Ergebnis:
    77

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 9 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 2 = 18
    2. 8 + 18 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 27 und erhalte 65. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 21 + 22 + 29
212229
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 21 + 29 + 22
  2. 21 + 29 = 50
  3. 50 + 22 = 72
  1. Vertauschen: 21 + 29 + 22
  2. 21 + 29 = 50
  3. 50 + 22 = 72
Ergebnis:
72

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 29 + 63 + 11 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    296311
    So fängst du an:
    Vertauschen: 29 + 11 + 63
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 29 + 11 + 63
    2. 29 + 11 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 63 = 103
    Ergebnis:
    103
  2. ●2
    Rechne geschickt: 33 + 45 + 17
    334517
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 17 + 45
    2. 33 + 17 = 50
    3. 50 + 45 = 95
    Ergebnis:
    95
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 256 + 443 + 44 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    25644344
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 256 + 44 + 443
    2. 256 + 44 = 300
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 443 = 743
    Ergebnis:
    743

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 43
6843
Schritt für Schritt
  1. 68 bekommt 2 dazu, 43 gibt 2 ab.
  2. 68 + 43 = 70 + 41
  3. 70 + 41 = 111
  1. 68 bekommt 2 dazu, 43 gibt 2 ab.
  2. 68 + 43 = 70 + 41
  3. 70 + 41 = 111
Ergebnis:
111

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 88
    6988
    So fängst du an:
    69 bekommt 1 dazu, 88 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 69 bekommt 1 dazu, 88 gibt 1 ab.
    2. 69 + 88 = 70 + 87
    3. 70 + 87 = 157
    Ergebnis:
    157
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 27
    6927
    Lösung zeigen
    1. 69 bekommt 1 dazu, 27 gibt 1 ab.
    2. 69 + 27 = 70 + 26
    3. 70 + 26 = 96
    Ergebnis:
    96
  3. ★6
    Elias rechnet 499 + 642 als 500 + 642. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    499642
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 499 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 500 + 642 = 1142.
    3. 1 wieder abziehen: 1142 − 1 = 1141
    Ergebnis:
    1141

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Reihen mit je 55 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 55
  2. 55 = 50 + 5
  3. 9 · 50 = 450 und 9 · 5 = 45
  4. 450 + 45 = 495
  1. 9 · 55
  2. 55 = 50 + 5
  3. 9 · 50 = 450 und 9 · 5 = 45
  4. 450 + 45 = 495
Ergebnis:
495 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 1 = 7
    3. 350 − 7 = 343
    Ergebnis:
    343
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 50 + 9
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 9 = 45
    3. 250 + 45 = 295
    Ergebnis:
    295
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 198
    Lösung zeigen
    1. 198 = 200 − 2
    2. 3 · 200 = 600 und 3 · 2 = 6
    3. 600 − 6 = 594
    Ergebnis:
    594

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 88 : 4
Schritt für Schritt
  1. 88 = 80 + 8
  2. 80 : 4 = 20 und 8 : 4 = 2
  3. 20 + 2 = 22
  1. 88 = 80 + 8
  2. 80 : 4 = 20 und 8 : 4 = 2
  3. 20 + 2 = 22
Ergebnis:
22

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    124 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    124 : 4
    Lösung zeigen
    1. 124 : 4
    2. 124 = 120 + 4
    3. 120 : 4 = 30 und 4 : 4 = 1
    4. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31 Bücher
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 248 : 8
    Lösung zeigen
    1. 248 = 240 + 8
    2. 240 : 8 = 30 und 8 : 8 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 164 : 4
    Lösung zeigen
    1. 164 = 160 + 4
    2. 160 : 4 = 40 und 4 : 4 = 1
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 86 − 63 = ___ − 64
Schritt für Schritt
  1. 63 wird zu 64: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 86 um 1 größer.
  3. 86 + 1 = 87
  1. 63 wird zu 64: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 86 um 1 größer.
  3. 86 + 1 = 87
Ergebnis:
87

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 97 − 87 = ___ − 92
    So fängst du an:
    87 wird zu 92: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 87 wird zu 92: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 97 um 5 größer.
    3. 97 + 5 = 102
    Ergebnis:
    102
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 76 − 34 = ___ − 39
    Lösung zeigen
    1. 34 wird zu 39: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 76 um 5 größer.
    3. 76 + 5 = 81
    Ergebnis:
    81
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 7 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Mia verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 22 · 15 = 11 · 30
    3. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 48? Nenne ihn. Rechne danach.
8 · 48zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 48 = 40 + 8.
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 8 = 64
  3. Zusammen: 384
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 48 = 40 + 8.
  2. 8 · 40 = 320 und 8 · 8 = 64
  3. Zusammen: 384
Ergebnis:
zerlegen, 384

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 342 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 342 + 198 = 340 + 200
    3. 340 + 200 = 540
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 540
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 262 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 262 + 299 = 261 + 300
    3. 261 + 300 = 561
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 561

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia rechnet 360 − 264 und erhält 96. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 96 + 264 = 360
  2. 360 ist genau 360: Es stimmt.
  3. 360 − 264 = 96
  1. Umkehraufgabe: 96 + 264 = 360
  2. 360 ist genau 360: Es stimmt.
  3. 360 − 264 = 96
Ergebnis:
stimmt, 96

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben rechnet 576 : 8 und erhält 82. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    576 : 8Ergebnis 82?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 82 · 8 = 656
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 82 · 8 = 656
    2. 656 ist nicht 576: Es ist falsch.
    3. 576 : 8 = 72
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 72
  2. ●23
    Can rechnet 833 − 642 und erhält 211. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 211 + 642 = 853
    2. 853 ist nicht 833: Es ist falsch.
    3. 833 − 642 = 191
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 191
  3. ★24
    Can erhält für 248 · 40 das Ergebnis 9720. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 40 = 8000
    2. 9720 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 248 · 40 = 9920
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 9920

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 32 + 35 + 28 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    323528
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 32 + 28 + 35
    2. 32 + 28 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 35 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●26
    Rechne geschickt: 6 · 5 · 2
    652
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 6
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 34 = 300 + ___
    29734
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 34 um 3 kleiner werden: 34 − 3 = 31
    3. 300 + 31 = 331
    Ergebnis:
    31
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 222 − 198 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 222 um 2 größer: 224.
    3. 224 − 200 = 24
    Ergebnis:
    224
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 64
    Lösung zeigen
    1. 64 = 60 + 4
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 4 = 20
    3. 300 + 20 = 320
    Ergebnis:
    320
  6. ●30
    Sofia rechnet 4 · 24 so: erst 4 · 20, dann 4 dazu. Sofia erhält 84. Zeige am Bild, was fehlt.
    2044
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
    2. Rechter Teil: 4 · 4 = 16
    3. 80 + 16 = 96
    Ergebnis:
    96

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 5 + 32 + 35
    53235
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 96
    9996
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    195

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Tüten mit je 59 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    413 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 402 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    67

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 18 · 5 = 9 · ___
    18 · 5=9 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas erhält für 58 · 12 das Ergebnis 596. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 696

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 103
  2. 95
  3. 743
  4. 157
  5. 96
  6. 1141
  7. 343
  8. 295
  9. 594
  10. 31 Bücher
  11. 31
  12. 41
  13. 102
  14. 81
  15. 14
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. 330
  19. gegensinnig verändern, 540
  20. halbieren und verdoppeln, 300
  21. gegensinnig verändern, 561
  22. falsch, richtig ist 72
  23. falsch, richtig ist 191
  24. falsch, richtig ist 9920
  25. 95
  26. 60
  27. 31
  28. 224
  29. 320
  30. 96
  31. 72
  32. 195
  33. 413 Bonbons
  34. 67
  35. 10
  36. 210
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. falsch, richtig ist 696
  39. 35
  40. 77
  41. 26
  42. 38