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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 35 − 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 35 − 24 = 11
    Ergebnis:
    11
  2. ●40
    Rechne: (7 + 3) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 3 = 10
    2. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 9 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 5 = 45
    2. 7 + 45 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 14 und erhalte 61. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 11 + 23 + 19
112319
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 11 + 19 + 23
  2. 11 + 19 = 30
  3. 30 + 23 = 53
  1. Vertauschen: 11 + 19 + 23
  2. 11 + 19 = 30
  3. 30 + 23 = 53
Ergebnis:
53

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zeynep rechnet 27 + 32 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    273233
    So fängst du an:
    Vertauschen: 27 + 33 + 32
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 33 + 32
    2. 27 + 33 = 60
    3. 60 + 32 = 92
    Ergebnis:
    92
  2. ●2
    Zeynep rechnet 3 + 31 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    33127
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 3 + 27 + 31
    2. 3 + 27 = 30
    3. 30 + 31 = 61
    Ergebnis:
    61
  3. ★3
    Aylin rechnet 115 + 336 + 62 + 185 + 38 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    1153366218538
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 115 + 185 + 62 + 38 + 336
    2. 115 + 185 = 300 und 62 + 38 = 100
    3. 300 + 100 + 336 = 736
    Ergebnis:
    736

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 59 = 40 + ___
3759
Schritt für Schritt
  1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
  2. Also muss 59 um 3 kleiner werden: 59 − 3 = 56
  3. 40 + 56 = 96
  1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
  2. Also muss 59 um 3 kleiner werden: 59 − 3 = 56
  3. 40 + 56 = 96
Ergebnis:
56

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 33
    29933
    So fängst du an:
    299 bekommt 1 dazu, 33 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 299 bekommt 1 dazu, 33 gibt 1 ab.
    2. 299 + 33 = 300 + 32
    3. 300 + 32 = 332
    Ergebnis:
    332
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 87 = 50 + ___
    4787
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 87 um 3 kleiner werden: 87 − 3 = 84
    3. 50 + 84 = 134
    Ergebnis:
    84
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 996 + 768 = 1000 + ___
    996768
    Lösung zeigen
    1. 996 wird zu 1000: 4 mehr.
    2. Also muss 768 um 4 kleiner werden: 768 − 4 = 764
    3. 1000 + 764 = 1764
    Ergebnis:
    764

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 20 + 9
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 9 = 36
  3. 80 + 36 = 116
  1. 29 = 20 + 9
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 9 = 36
  3. 80 + 36 = 116
Ergebnis:
116

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 59
    So fängst du an:
    59 = 50 + 9
    Lösung zeigen
    1. 59 = 50 + 9
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 9 = 45
    3. 250 + 45 = 295
    Ergebnis:
    295
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 57
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 7 = 63
    3. 450 + 63 = 513
    Ergebnis:
    513
  3. ★9
    Es gibt 6 Tüten mit je 71 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 71
    2. 71 = 70 + 1
    3. 6 · 70 = 420 und 6 · 1 = 6
    4. 420 + 6 = 426
    Ergebnis:
    426 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

315 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 315 : 9
  2. 315 = 270 + 45
  3. 270 : 9 = 30 und 45 : 9 = 5
  4. 30 + 5 = 35
  1. 315 : 9
  2. 315 = 270 + 45
  3. 270 : 9 = 30 und 45 : 9 = 5
  4. 30 + 5 = 35
Ergebnis:
35 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 308 : 7
    So fängst du an:
    308 = 280 + 28
    Lösung zeigen
    1. 308 = 280 + 28
    2. 280 : 7 = 40 und 28 : 7 = 4
    3. 40 + 4 = 44
    Ergebnis:
    44
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 201 : 3
    Lösung zeigen
    1. 201 = 180 + 21
    2. 180 : 3 = 60 und 21 : 3 = 7
    3. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67
  3. ★12
    Zerlege 528 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 528 : 8?
    528: 8
    Lösung zeigen
    1. 528 = 480 + 48
    2. 480 : 8 = 60 und 48 : 8 = 6
    3. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 12 = 2 · ___
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
Ergebnis:
24

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 56 − 38 = ___ − 40
    So fängst du an:
    38 wird zu 40: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 56 um 2 größer.
    3. 56 + 2 = 58
    Ergebnis:
    58
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 16 · 12 = 8 · ___
    16 · 12=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 63 + 13 = 62 + ___
    Lösung zeigen
    1. 63 wird zu 62: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 13 um 1 größer.
    3. 13 + 1 = 14
    Ergebnis:
    14

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
Schritt für Schritt
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 35
    Lösung zeigen
    1. 14 · 35 = 7 · 70
    2. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 39 + 52 + 61? Nenne ihn. Rechne danach.
39 + 52 + 61zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 39 + 61 = 100
  3. 100 + 52 = 152
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 39 + 61 = 100
  3. 100 + 52 = 152
Ergebnis:
vertauschen, 152

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 69? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 69 = 60 + 9.
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 9 = 72
    3. Zusammen: 552
    Ergebnis:
    zerlegen, 552
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 + 34 + 86? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 + 34 + 86zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 14 + 86 = 100
    3. 100 + 34 = 134
    Ergebnis:
    vertauschen, 134

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 781 − 567 und erhält 204. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 204 + 567 = 771
  2. 771 ist nicht 781: Es ist falsch.
  3. 781 − 567 = 214
  1. Umkehraufgabe: 204 + 567 = 771
  2. 771 ist nicht 781: Es ist falsch.
  3. 781 − 567 = 214
Ergebnis:
falsch, richtig ist 214

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mia rechnet 280 : 4 und erhält 70. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    280 : 4Ergebnis 70?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 70 · 4 = 280
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 70 · 4 = 280
    2. 280 ist genau 280: Es stimmt.
    3. 280 : 4 = 70
    Ergebnis:
    stimmt, 70
  2. ●23
    Sofia erhält für 76 · 40 das Ergebnis 3040. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
    2. 3040 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 76 · 40 = 3040
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 3040
  3. ★24
    Paul erhält für 260 · 21 das Ergebnis 6460. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 20 = 6000
    2. 6460 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 260 · 21 = 5460
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 5460

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 91 + 34 + 9
    91349
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 91 + 9 + 34
    2. 91 + 9 = 100
    3. 100 + 34 = 134
    Ergebnis:
    134
  2. ●26
    Rechne geschickt: 50 · 3 · 2
    5032
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 3
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300
  3. ●27
    Hanna rechnet 97 + 79 als 100 + 79. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    9779
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 79 = 179.
    3. 3 wieder abziehen: 179 − 3 = 176
    Ergebnis:
    176
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 161 − 97 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 161 um 3 größer: 164.
    3. 164 − 100 = 64
    Ergebnis:
    164
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
    3. 150 − 3 = 147
    Ergebnis:
    147
  6. ●30
    Milan rechnet 6 · 16 so: erst 6 · 10, dann 6 dazu. Milan erhält 66. Zeige am Bild, was fehlt.
    1066
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 6 Kästchen, nicht nur 6.
    2. Rechter Teil: 6 · 6 = 36
    3. 60 + 36 = 96
    Ergebnis:
    96

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 38 + 75 + 62
    387562
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    175

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Mia rechnet 198 + 78 als 200 + 78. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    19878
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    276

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    147

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    231 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 14 · 8 = 7 · ___
    14 · 8=7 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna rechnet 400 : 5 und erhält 81. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    400 : 5Ergebnis 81?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 80

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 92
  2. 61
  3. 736
  4. 332
  5. 84
  6. 764
  7. 295
  8. 513
  9. 426 Bonbons
  10. 44
  11. 67
  12. 66
  13. 58
  14. 24
  15. 14
  16. 180
  17. 200
  18. 490
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. zerlegen, 552
  21. vertauschen, 134
  22. stimmt, 70
  23. stimmt, 3040
  24. falsch, richtig ist 5460
  25. 134
  26. 300
  27. 176
  28. 164
  29. 147
  30. 96
  31. 175
  32. 276
  33. 147
  34. 33 Murmeln
  35. 16
  36. 90
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. falsch, richtig ist 80
  39. 11
  40. 80
  41. 52
  42. 47