Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 8 + 2 · 8
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
2. 8 + 16 = 24
Ergebnis:
24
●40
Rechne: (7 + 4) · 9
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 7 + 4 = 11
2. 11 · 9 = 99
Ergebnis:
99

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 3 + 5 · 6
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
2. 3 + 30 = 33
Ergebnis:
33
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 27 und erhalte 59. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
32

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Mia rechnet 17 + 15 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.

Schritt für Schritt

Vertauschen: 17 + 13 + 15
17 + 13 = 30
30 + 15 = 45

Vertauschen: 17 + 13 + 15
17 + 13 = 30
30 + 15 = 45

Ergebnis:

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Can rechnet 39 + 17 + 21 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
So fängst du an:
Vertauschen: 39 + 21 + 17
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 39 + 21 + 17
2. 39 + 21 = 60
3. 60 + 17 = 77
Ergebnis:
77
●2
Rechne geschickt: 13 + 74 + 7
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 13 + 7 + 74
2. 13 + 7 = 20
3. 20 + 74 = 94
Ergebnis:
94
★3
Welche Zahlen fasst du bei 523 + 716 + 477 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 523 + 477 + 716
2. 523 + 477 = 1000
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 716 = 1716
Ergebnis:
1716

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 69

Schritt für Schritt

38 bekommt 2 dazu, 69 gibt 2 ab.
38 + 69 = 40 + 67
40 + 67 = 107

38 bekommt 2 dazu, 69 gibt 2 ab.
38 + 69 = 40 + 67
40 + 67 = 107

Ergebnis:

107

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 56 = 100 + ___
So fängst du an:
98 wird zu 100: 2 mehr.
Lösung zeigen
1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
2. Also muss 56 um 2 kleiner werden: 56 − 2 = 54
3. 100 + 54 = 154
Ergebnis:
54
●5
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 78
Lösung zeigen
1. 98 bekommt 2 dazu, 78 gibt 2 ab.
2. 98 + 78 = 100 + 76
3. 100 + 76 = 176
Ergebnis:
176
★6
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1999 + 276 = 2000 + ___
Lösung zeigen
1. 1999 wird zu 2000: 1 mehr.
2. Also muss 276 um 1 kleiner werden: 276 − 1 = 275
3. 2000 + 275 = 2275
Ergebnis:
275

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 52

Schritt für Schritt

52 = 50 + 2
6 · 50 = 300 und 6 · 2 = 12
300 + 12 = 312

52 = 50 + 2
6 · 50 = 300 und 6 · 2 = 12
300 + 12 = 312

Ergebnis:

312

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 36
So fängst du an:
36 = 30 + 6
Lösung zeigen
1. 36 = 30 + 6
2. 9 · 30 = 270 und 9 · 6 = 54
3. 270 + 54 = 324
Ergebnis:
324
●8
Es gibt 9 Tüten mit je 59 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 9 · 59
2. 59 = 50 + 9
3. 9 · 50 = 450 und 9 · 9 = 81
4. 450 + 81 = 531
Ergebnis:
531 Bonbons
★9
Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 3 · 260
Lösung zeigen
1. 260 = 200 + 60
2. 3 · 200 = 600; 3 · 60 = 180
3. 600 + 180 = 780
Ergebnis:
780

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 112 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 112 : 4?

Schritt für Schritt

112 = 80 + 32
80 : 4 = 20 und 32 : 4 = 8
20 + 8 = 28

112 = 80 + 32
80 : 4 = 20 und 32 : 4 = 8
20 + 8 = 28

Ergebnis:

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
282 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
So fängst du an:
282 : 6
Lösung zeigen
1. 282 : 6
2. 282 = 240 + 42
3. 240 : 6 = 40 und 42 : 6 = 7
4. 40 + 7 = 47
Ergebnis:
47 Sticker
●11
Rechne halbschriftlich: 288 : 9
Lösung zeigen
1. 288 = 270 + 18
2. 270 : 9 = 30 und 18 : 9 = 2
3. 30 + 2 = 32
Ergebnis:
32
★12
Zerlege 768 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 768 : 4?
Lösung zeigen
1. 768 = 760 + 8
2. 760 : 4 = 190 und 8 : 4 = 2
3. 190 + 2 = 192
Ergebnis:
192

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 47 − 21 = ___ − 22

Schritt für Schritt

21 wird zu 22: 1 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 47 um 1 größer.
47 + 1 = 48

21 wird zu 22: 1 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 47 um 1 größer.
47 + 1 = 48

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Ergänze die Lücke: 96 − 49 = ___ − 54
So fängst du an:
49 wird zu 54: 5 mehr.
Lösung zeigen
1. 49 wird zu 54: 5 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 96 um 5 größer.
3. 96 + 5 = 101
Ergebnis:
101
●14
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 85 − 21 = ___ − 26
Lösung zeigen
1. 21 wird zu 26: 5 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 5 größer.
3. 85 + 5 = 90
Ergebnis:
90
★15
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 15 = 8 · ___
Lösung zeigen
1. 16 wird halb so groß: 8.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
3. 15 · 2 = 30
Ergebnis:
30

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lina verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?

Schritt für Schritt

Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.

Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.

Ergebnis:

Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Jonas verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
So fängst du an:
Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80
●17
Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 16 · 25 = 8 · 50
3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400
★18
Sofia verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 125 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.

Schritt für Schritt

497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
125 + 497 = 122 + 500
122 + 500 = 622

497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
125 + 497 = 122 + 500
122 + 500 = 622

Ergebnis:

gegensinnig verändern, 622

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Welcher Weg passt zu 32 + 77 + 68? Nenne ihn. Rechne danach.
So fängst du an:
Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
Lösung zeigen
1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
2. 32 + 68 = 100
3. 100 + 77 = 177
Ergebnis:
vertauschen, 177
●20
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
2. 8 · 25 = 4 · 50
3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200
★21
Welcher Weg passt zu 6834 − 1925? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
2. 6834 − 1925 = 4909
Ergebnis:
schriftlich, 4909

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma rechnet 743 − 326 und erhält 437. Prüfe mit der Umkehraufgabe.

Schritt für Schritt

Umkehraufgabe: 437 + 326 = 763
763 ist nicht 743: Es ist falsch.
743 − 326 = 417

Umkehraufgabe: 437 + 326 = 763
763 ist nicht 743: Es ist falsch.
743 − 326 = 417

Ergebnis:

falsch, richtig ist 417

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Emma rechnet 532 : 7 und erhält 75. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
So fängst du an:
Umkehraufgabe: 75 · 7 = 525
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 75 · 7 = 525
2. 525 ist nicht 532: Es ist falsch.
3. 532 : 7 = 76
Ergebnis:
falsch, richtig ist 76
●23
Milan rechnet 653 − 150 und erhält 503. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 503 + 150 = 653
2. 653 ist genau 653: Es stimmt.
3. 653 − 150 = 503
Ergebnis:
stimmt, 503
★24
Sofia rechnet 2717 − 162 und erhält 2565. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 2565 + 162 = 2727
2. 2727 ist nicht 2717: Es ist falsch.
3. 2717 − 162 = 2555
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2555

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Welche Zahlen fasst du bei 14 + 24 + 46 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 14 + 46 + 24
2. 14 + 46 = 60
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 24 = 84
Ergebnis:
84
●26
Rechne geschickt: 15 · 2 · 50
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 50 · 2 · 15
2. 50 · 2 = 100
3. 100 · 15 = 1500
Ergebnis:
1500
●27
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 63 = 40 + ___
Lösung zeigen
1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
2. Also muss 63 um 2 kleiner werden: 63 − 2 = 61
3. 40 + 61 = 101
Ergebnis:
61
●28
Can rechnet 96 − 17 als 96 − 20 und erhält 76. Ist das schon das Ergebnis?
Lösung zeigen
1. Can hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
3. 76 + 3 = 79
Ergebnis:
Nein, 79
●29
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 63
Lösung zeigen
1. 63 = 60 + 3
2. 8 · 60 = 480 und 8 · 3 = 24
3. 480 + 24 = 504
Ergebnis:
504
●30
Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 14?
Lösung zeigen
1. Links: 7 · 10 = 70
2. Rechts: 7 · 4 = 28
3. 7 · 14 = 70 + 28 = 98
Ergebnis:
7 · 10 und 7 · 4, zusammen 98

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Zeynep rechnet 33 + 36 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
Ergebnis:
96
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 38 = 40 + ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
35
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
Lösung zeigen
Ergebnis:
273
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
Rechne halbschriftlich: 126 : 6
Lösung zeigen
Ergebnis:
21
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Ergänze die Lücke: 61 + 47 = 60 + ___
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Ergebnis:
48
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Sofia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
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Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
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Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 300
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Paul rechnet 387 : 9 und erhält 53. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
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Ergebnis:
falsch, richtig ist 43

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

77
94
1716
54
176
275
324
531 Bonbons
780
47 Sticker
32
192
101
90
30
Nein, viermal so groß; richtig ist 80
400
Nein, viermal so groß; richtig ist 330
vertauschen, 177
halbieren und verdoppeln, 200
schriftlich, 4909
falsch, richtig ist 76
stimmt, 503
falsch, richtig ist 2555
84
1500
61
Nein, 79
504
7 · 10 und 7 · 4, zusammen 98
96
35
273
21
48
Nein, viermal so groß; richtig ist 180
halbieren und verdoppeln, 300
falsch, richtig ist 43
24
99
33
32