Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 7 + 3 · 9
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
2. 7 + 27 = 34
Ergebnis:
34
●40
Rechne: (2 + 2) · 4
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 2 + 2 = 4
2. 4 · 4 = 16
Ergebnis:
16

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 8 + 5 · 4
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
2. 8 + 20 = 28
Ergebnis:
28
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 25 und erhalte 35. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Zeynep rechnet 32 + 75 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.

Schritt für Schritt

Vertauschen: 32 + 18 + 75
32 + 18 = 50
50 + 75 = 125

Vertauschen: 32 + 18 + 75
32 + 18 = 50
50 + 75 = 125

Ergebnis:

125

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Zeynep rechnet 11 + 51 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
So fängst du an:
Vertauschen: 11 + 9 + 51
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 11 + 9 + 51
2. 11 + 9 = 20
3. 20 + 51 = 71
Ergebnis:
71
●2
Welche Zahlen fasst du bei 11 + 41 + 9 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 11 + 9 + 41
2. 11 + 9 = 20
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 41 = 61
Ergebnis:
61
★3
Rechne geschickt: 133 + 892 + 167
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 133 + 167 + 892
2. 133 + 167 = 300
3. 300 + 892 = 1192
Ergebnis:
1192

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 38

Schritt für Schritt

197 bekommt 3 dazu, 38 gibt 3 ab.
197 + 38 = 200 + 35
200 + 35 = 235

197 bekommt 3 dazu, 38 gibt 3 ab.
197 + 38 = 200 + 35
200 + 35 = 235

Ergebnis:

235

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 68
So fängst du an:
99 bekommt 1 dazu, 68 gibt 1 ab.
Lösung zeigen
1. 99 bekommt 1 dazu, 68 gibt 1 ab.
2. 99 + 68 = 100 + 67
3. 100 + 67 = 167
Ergebnis:
167
●5
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 26 = 40 + ___
Lösung zeigen
1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
2. Also muss 26 um 1 kleiner werden: 26 − 1 = 25
3. 40 + 25 = 65
Ergebnis:
25
★6
Noah rechnet 398 + 487 als 400 + 487. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Noah hat 398 um 2 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 400 + 487 = 887.
3. 2 wieder abziehen: 887 − 2 = 885
Ergebnis:
885

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 27

Schritt für Schritt

27 = 20 + 7
6 · 20 = 120 und 6 · 7 = 42
120 + 42 = 162

27 = 20 + 7
6 · 20 = 120 und 6 · 7 = 42
120 + 42 = 162

Ergebnis:

162

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
So fängst du an:
39 = 40 − 1
Lösung zeigen
1. 39 = 40 − 1
2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
3. 240 − 6 = 234
Ergebnis:
234
●8
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 24
Lösung zeigen
1. 24 = 20 + 4
2. 5 · 20 = 100 und 5 · 4 = 20
3. 100 + 20 = 120
Ergebnis:
120
★9
Es gibt 6 Hefte mit je 66 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 6 · 66
2. 66 = 60 + 6
3. 6 · 60 = 360 und 6 · 6 = 36
4. 360 + 36 = 396
Ergebnis:
396 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

220 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.

Schritt für Schritt

220 : 4
220 = 200 + 20
200 : 4 = 50 und 20 : 4 = 5
50 + 5 = 55

220 : 4
220 = 200 + 20
200 : 4 = 50 und 20 : 4 = 5
50 + 5 = 55

Ergebnis:

55 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
Zerlege 120 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 120 : 8?
So fängst du an:
120 = 80 + 40
Lösung zeigen
1. 120 = 80 + 40
2. 80 : 8 = 10 und 40 : 8 = 5
3. 10 + 5 = 15
Ergebnis:
15
●11
Zerlege 245 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 245 : 7?
Lösung zeigen
1. 245 = 210 + 35
2. 210 : 7 = 30 und 35 : 7 = 5
3. 30 + 5 = 35
Ergebnis:
35
★12
1392 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 1392 : 8
2. 1392 = 1360 + 32
3. 1360 : 8 = 170 und 32 : 8 = 4
4. 170 + 4 = 174
Ergebnis:
174 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 34 + 84 = 31 + ___

Schritt für Schritt

34 wird zu 31: 3 weniger.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 84 um 3 größer.
84 + 3 = 87

34 wird zu 31: 3 weniger.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 84 um 3 größer.
84 + 3 = 87

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 60 + 33 = 58 + ___
So fängst du an:
60 wird zu 58: 2 weniger.
Lösung zeigen
1. 60 wird zu 58: 2 weniger.
2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 33 um 2 größer.
3. 33 + 2 = 35
Ergebnis:
35
●14
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 9 = 2 · ___
Lösung zeigen
1. 4 wird halb so groß: 2.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
3. 9 · 2 = 18
Ergebnis:
18
★15
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 22 + 6 · 2 = 6 · ___
Lösung zeigen
1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
2. 6 mal 22 und 6 mal 2 sind zusammen 6 mal (22 + 2).
3. 22 + 2 = 24
Ergebnis:
24

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Sofia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?

Schritt für Schritt

Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.

Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.

Ergebnis:

Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Jonas verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
So fängst du an:
Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180
●17
Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 12 · 15 = 6 · 30
3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180
★18
Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 14 · 35 = 7 · 70
3. 7 · 70 = 490
Ergebnis:
490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 45 + 42 + 55? Nenne ihn. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
45 + 55 = 100
100 + 42 = 142

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
45 + 55 = 100
100 + 42 = 142

Ergebnis:

vertauschen, 142

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
So fängst du an:
5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
Lösung zeigen
1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
2. 14 · 5 = 7 · 10
3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70
●20
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 60? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 60 = 60 + 0.
2. 7 · 60 = 420 und 7 · 0 = 0
3. Zusammen: 420
Ergebnis:
zerlegen, 420
★21
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 28 + 59 + 72? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
2. 28 + 72 = 100
3. 100 + 59 = 159
Ergebnis:
vertauschen, 159

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 270 : 6 und erhält 55. Prüfe mit der Umkehraufgabe.

Schritt für Schritt

Umkehraufgabe: 55 · 6 = 330
330 ist nicht 270: Es ist falsch.
270 : 6 = 45

Umkehraufgabe: 55 · 6 = 330
330 ist nicht 270: Es ist falsch.
270 : 6 = 45

Ergebnis:

falsch, richtig ist 45

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas rechnet 397 − 275 und erhält 132. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
So fängst du an:
Umkehraufgabe: 132 + 275 = 407
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 132 + 275 = 407
2. 407 ist nicht 397: Es ist falsch.
3. 397 − 275 = 122
Ergebnis:
falsch, richtig ist 122
●23
Mia rechnet 556 − 185 und erhält 381. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 381 + 185 = 566
2. 566 ist nicht 556: Es ist falsch.
3. 556 − 185 = 371
Ergebnis:
falsch, richtig ist 371
★24
Aylin erhält für 232 · 24 das Ergebnis 5668. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 200 · 20 = 4000
2. 5668 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 232 · 24 = 5568
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 5568

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Rechne geschickt: 47 + 42 + 53
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 47 + 53 + 42
2. 47 + 53 = 100
3. 100 + 42 = 142
Ergebnis:
142
●26
In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 15 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
Lösung zeigen
1. Bälle: 50 · 2 · 15
2. 50 · 2 = 100
3. 100 · 15 = 1500
Ergebnis:
1500 Bälle
●27
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 88
Lösung zeigen
1. 37 bekommt 3 dazu, 88 gibt 3 ab.
2. 37 + 88 = 40 + 85
3. 40 + 85 = 125
Ergebnis:
125
●28
Paul rechnet 108 − 48 als 108 − 50 und erhält 58. Ist das schon das Ergebnis?
Lösung zeigen
1. Paul hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
3. 58 + 2 = 60
Ergebnis:
Nein, 60
●29
Es gibt 8 Tüten mit je 61 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 8 · 61
2. 61 = 60 + 1
3. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
4. 480 + 8 = 488
Ergebnis:
488 Bonbons
●30
Sofia rechnet 6 · 18 so: erst 6 · 10, dann 8 dazu. Sofia erhält 68. Zeige am Bild, was fehlt.
Lösung zeigen
1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 8 Kästchen, nicht nur 8.
2. Rechter Teil: 6 · 8 = 48
3. 60 + 48 = 108
Ergebnis:
108

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Rechne geschickt: 58 + 36 + 42
Lösung zeigen
Ergebnis:
136
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 83 = 70 + ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
81
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
Lösung zeigen
Ergebnis:
343
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
Rechne halbschriftlich: 413 : 7
Lösung zeigen
Ergebnis:
59
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 12 = 4 · ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
24
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Sofia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
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Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 41? Nenne ihn. Rechne danach.
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Ergebnis:
zerlegen, 369
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Lina erhält für 34 · 47 das Ergebnis 1498. Prüfe mit einem Überschlag.
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Ergebnis:
falsch, richtig ist 1598

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

71
61
1192
167
25
885
234
120
396 Hefte
15
35
174 Bücher
35
18
24
Nein, viermal so groß; richtig ist 180
180
490
halbieren und verdoppeln, 70
zerlegen, 420
vertauschen, 159
falsch, richtig ist 122
falsch, richtig ist 371
falsch, richtig ist 5568
142
1500 Bälle
125
Nein, 60
488 Bonbons
108
136
81
343
59
24
Nein, viermal so groß; richtig ist 180
zerlegen, 369
falsch, richtig ist 1598
34
16
28
10