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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 5 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 3 = 15
    2. 8 + 15 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●40
    Rechne: (2 + 4) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 4 = 6
    2. 6 · 9 = 54
    Ergebnis:
    54

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 7 + 40 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 18 und erhalte 29. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Emma rechnet 36 + 57 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
365714
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 36 + 14 + 57
  2. 36 + 14 = 50
  3. 50 + 57 = 107
  1. Vertauschen: 36 + 14 + 57
  2. 36 + 14 = 50
  3. 50 + 57 = 107
Ergebnis:
107

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 42 + 49 + 8 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    42498
    So fängst du an:
    Vertauschen: 42 + 8 + 49
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 42 + 8 + 49
    2. 42 + 8 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 49 = 99
    Ergebnis:
    99
  2. ●2
    Emma rechnet 14 + 11 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    14116
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 11
    2. 14 + 6 = 20
    3. 20 + 11 = 31
    Ergebnis:
    31
  3. ★3
    Sofia rechnet 73 + 294 + 227 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    73294227
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 73 + 227 + 294
    2. 73 + 227 = 300
    3. 300 + 294 = 594
    Ergebnis:
    594

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Tom rechnet 37 + 79 als 40 + 79. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
3779
Schritt für Schritt
  1. Tom hat 37 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 79 = 119.
  3. 3 wieder abziehen: 119 − 3 = 116
  1. Tom hat 37 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 79 = 119.
  3. 3 wieder abziehen: 119 − 3 = 116
Ergebnis:
116

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 83 = 70 + ___
    6883
    So fängst du an:
    68 wird zu 70: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 83 um 2 kleiner werden: 83 − 2 = 81
    3. 70 + 81 = 151
    Ergebnis:
    81
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 64
    3864
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 64 gibt 2 ab.
    2. 38 + 64 = 40 + 62
    3. 40 + 62 = 102
    Ergebnis:
    102
  3. ★6
    Tom rechnet 1999 + 917 als 2000 + 917. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    1999917
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 1999 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 2000 + 917 = 2917.
    3. 1 wieder abziehen: 2917 − 1 = 2916
    Ergebnis:
    2916

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 16
Schritt für Schritt
  1. 16 = 10 + 6
  2. 7 · 10 = 70 und 7 · 6 = 42
  3. 70 + 42 = 112
  1. 16 = 10 + 6
  2. 7 · 10 = 70 und 7 · 6 = 42
  3. 70 + 42 = 112
Ergebnis:
112

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 23
    So fängst du an:
    23 = 20 + 3
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 3 = 24
    3. 160 + 24 = 184
    Ergebnis:
    184
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
    3. 210 − 7 = 203
    Ergebnis:
    203
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 74
    Lösung zeigen
    1. 74 = 70 + 4
    2. 8 · 70 = 560 und 8 · 4 = 32
    3. 560 + 32 = 592
    Ergebnis:
    592

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 216 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 216 : 9?
216: 9
Schritt für Schritt
  1. 216 = 180 + 36
  2. 180 : 9 = 20 und 36 : 9 = 4
  3. 20 + 4 = 24
  1. 216 = 180 + 36
  2. 180 : 9 = 20 und 36 : 9 = 4
  3. 20 + 4 = 24
Ergebnis:
24

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 260 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 260 : 5?
    260: 5
    So fängst du an:
    260 = 250 + 10
    Lösung zeigen
    1. 260 = 250 + 10
    2. 250 : 5 = 50 und 10 : 5 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●11
    603 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 603 : 9
    2. 603 = 540 + 63
    3. 540 : 9 = 60 und 63 : 9 = 7
    4. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67 Sticker
  3. ★12
    Zerlege 1309 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 1309 : 7?
    1309: 7
    Lösung zeigen
    1. 1309 = 1260 + 49
    2. 1260 : 7 = 180 und 49 : 7 = 7
    3. 180 + 7 = 187
    Ergebnis:
    187

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 54 + 72 = 53 + ___
54 + 72=53 + ?
Schritt für Schritt
  1. 54 wird zu 53: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 72 um 1 größer.
  3. 72 + 1 = 73
  1. 54 wird zu 53: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 72 um 1 größer.
  3. 72 + 1 = 73
Ergebnis:
73

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 91 − 22 = ___ − 32
    So fängst du an:
    22 wird zu 32: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 22 wird zu 32: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 91 um 10 größer.
    3. 91 + 10 = 101
    Ergebnis:
    101
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 3 = 4 · ___
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
    3. 3 · 2 = 6
    Ergebnis:
    6
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 86 + 45 = 89 + ___
    Lösung zeigen
    1. 86 wird zu 89: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 45 um 3 kleiner.
    3. 45 − 3 = 42
    Ergebnis:
    42

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
Schritt für Schritt
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Sofia verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 166 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
166 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 166 + 198 = 164 + 200
  3. 164 + 200 = 364
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 166 + 198 = 164 + 200
  3. 164 + 200 = 364
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 364

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 5 · 22? Nenne ihn. Rechne danach.
    5 · 22zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 22 = 20 + 2.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 22 = 20 + 2.
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 2 = 10
    3. Zusammen: 110
    Ergebnis:
    zerlegen, 110
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 135 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    135 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 135 + 497 = 132 + 500
    3. 132 + 500 = 632
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 632
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 17 + 58 + 83? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 17 + 83 = 100
    3. 100 + 58 = 158
    Ergebnis:
    vertauschen, 158

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 430 − 308 und erhält 222. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 222 + 308 = 530
  2. 530 ist nicht 430: Es ist falsch.
  3. 430 − 308 = 122
  1. Umkehraufgabe: 222 + 308 = 530
  2. 530 ist nicht 430: Es ist falsch.
  3. 430 − 308 = 122
Ergebnis:
falsch, richtig ist 122

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 630 − 245 und erhält 385. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 385 + 245 = 630
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 385 + 245 = 630
    2. 630 ist genau 630: Es stimmt.
    3. 630 − 245 = 385
    Ergebnis:
    stimmt, 385
  2. ●23
    Mia erhält für 83 · 42 das Ergebnis 3386. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
    2. 3386 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 83 · 42 = 3486
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3486
  3. ★24
    Lina rechnet 2349 : 9 und erhält 261. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2349 : 9Ergebnis 261?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 261 · 9 = 2349
    2. 2349 ist genau 2349: Es stimmt.
    3. 2349 : 9 = 261
    Ergebnis:
    stimmt, 261

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 77 + 77 + 23 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    777723
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 77 + 23 + 77
    2. 77 + 23 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 77 = 177
    Ergebnis:
    177
  2. ●26
    Rechne geschickt: 4 · 5 · 20
    4520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 4
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 4 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 42 = 40 + ___
    3942
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 42 um 1 kleiner werden: 42 − 1 = 41
    3. 40 + 41 = 81
    Ergebnis:
    41
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 126 − 97
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 126 − 97 = 129 − 100
    3. 129 − 100 = 29
    Ergebnis:
    29
  5. ●29
    Es gibt 5 Hefte mit je 23 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 23
    2. 23 = 20 + 3
    3. 5 · 20 = 100 und 5 · 3 = 15
    4. 100 + 15 = 115
    Ergebnis:
    115 Hefte
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 22 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2026
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 20 = 120
    2. Rechter Teil: 6 · 2 = 12
    3. Zusammen: 120 + 12 = 132
    Ergebnis:
    132 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 34 + 15 + 6 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    34156
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Elias rechnet 67 + 78 als 70 + 78. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    6778
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    145

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Tüten mit je 44 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    308 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 522 : 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 96 − 74 = ___ − 75
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    97

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 44 + 76 + 56? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 176

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom rechnet 628 − 408 und erhält 320. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 220

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 99
  2. 31
  3. 594
  4. 81
  5. 102
  6. 2916
  7. 184
  8. 203
  9. 592
  10. 52
  11. 67 Sticker
  12. 187
  13. 101
  14. 6
  15. 42
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. 400
  19. zerlegen, 110
  20. gegensinnig verändern, 632
  21. vertauschen, 158
  22. stimmt, 385
  23. falsch, richtig ist 3486
  24. stimmt, 261
  25. 177
  26. 400
  27. 41
  28. 29
  29. 115 Hefte
  30. 132 Kästchen
  31. 55
  32. 145
  33. 308 Bonbons
  34. 58
  35. 97
  36. 70
  37. vertauschen, 176
  38. falsch, richtig ist 220
  39. 23
  40. 54
  41. 47
  42. 11