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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 3 + 16 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (5 + 7) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 7 = 12
    2. 12 · 7 = 84
    Ergebnis:
    84

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 9 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 4 = 36
    2. 7 + 36 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 31 und erhalte 38. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 36 + 89 + 24
368924
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 36 + 24 + 89
  2. 36 + 24 = 60
  3. 60 + 89 = 149
  1. Vertauschen: 36 + 24 + 89
  2. 36 + 24 = 60
  3. 60 + 89 = 149
Ergebnis:
149

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 11 + 18 + 19
    111819
    So fängst du an:
    Vertauschen: 11 + 19 + 18
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 19 + 18
    2. 11 + 19 = 30
    3. 30 + 18 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●2
    Tom rechnet 5 + 23 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    52315
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 15 + 23
    2. 5 + 15 = 20
    3. 20 + 23 = 43
    Ergebnis:
    43
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 84 + 218 + 84 + 216 + 16 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    842188421616
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 84 + 216 + 84 + 16 + 218
    2. 84 + 216 = 300 und 84 + 16 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 218 = 618
    Ergebnis:
    618

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 23
4923
Schritt für Schritt
  1. 49 bekommt 1 dazu, 23 gibt 1 ab.
  2. 49 + 23 = 50 + 22
  3. 50 + 22 = 72
  1. 49 bekommt 1 dazu, 23 gibt 1 ab.
  2. 49 + 23 = 50 + 22
  3. 50 + 22 = 72
Ergebnis:
72

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Mia rechnet 39 + 28 als 40 + 28. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    3928
    So fängst du an:
    Mia hat 39 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 28 = 68.
    3. 1 wieder abziehen: 68 − 1 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 27 = 100 + ___
    9927
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 27 um 1 kleiner werden: 27 − 1 = 26
    3. 100 + 26 = 126
    Ergebnis:
    26
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 398 + 778 = 400 + ___
    398778
    Lösung zeigen
    1. 398 wird zu 400: 2 mehr.
    2. Also muss 778 um 2 kleiner werden: 778 − 2 = 776
    3. 400 + 776 = 1176
    Ergebnis:
    776

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
  3. 210 − 7 = 203
  1. 29 = 30 − 1
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
  3. 210 − 7 = 203
Ergebnis:
203

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 27
    So fängst du an:
    27 = 20 + 7
    Lösung zeigen
    1. 27 = 20 + 7
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 7 = 28
    3. 80 + 28 = 108
    Ergebnis:
    108
  2. ●8
    Es gibt 3 Tüten mit je 41 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 41
    2. 41 = 40 + 1
    3. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
    4. 120 + 3 = 123
    Ergebnis:
    123 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 6 Reihen mit je 36 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 36
    2. 36 = 30 + 6
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 6 = 36
    4. 180 + 36 = 216
    Ergebnis:
    216 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

168 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 168 : 6
  2. 168 = 120 + 48
  3. 120 : 6 = 20 und 48 : 6 = 8
  4. 20 + 8 = 28
  1. 168 : 6
  2. 168 = 120 + 48
  3. 120 : 6 = 20 und 48 : 6 = 8
  4. 20 + 8 = 28
Ergebnis:
28 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 477 : 9
    So fängst du an:
    477 = 450 + 27
    Lösung zeigen
    1. 477 = 450 + 27
    2. 450 : 9 = 50 und 27 : 9 = 3
    3. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 260 : 5
    Lösung zeigen
    1. 260 = 250 + 10
    2. 250 : 5 = 50 und 10 : 5 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 675 : 9
    Lösung zeigen
    1. 675 = 630 + 45
    2. 630 : 9 = 70 und 45 : 9 = 5
    3. 70 + 5 = 75
    Ergebnis:
    75

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 44 − 15 = ___ − 17
Schritt für Schritt
  1. 15 wird zu 17: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 44 um 2 größer.
  3. 44 + 2 = 46
  1. 15 wird zu 17: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 44 um 2 größer.
  3. 44 + 2 = 46
Ergebnis:
46

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 7 = 2 · ___
    So fängst du an:
    4 wird halb so groß: 2.
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 8 = 7 · ___
    14 · 8=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 55 + 6 · 8 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
    2. 6 mal 55 und 6 mal 8 sind zusammen 6 mal (55 + 8).
    3. 55 + 8 = 63
    Ergebnis:
    63

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Tom verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Elias verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 36? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 36zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 36 = 30 + 6.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 36 = 30 + 6.
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 6 = 36
    3. Zusammen: 216
    Ergebnis:
    zerlegen, 216
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 44 + 57 + 56? Nenne ihn. Rechne danach.
    44 + 57 + 56zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 44 + 56 = 100
    3. 100 + 57 = 157
    Ergebnis:
    vertauschen, 157
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 30 + 76 + 70? Nenne ihn. Rechne danach.
    30 + 76 + 70zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 30 + 70 = 100
    3. 100 + 76 = 176
    Ergebnis:
    vertauschen, 176

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea rechnet 621 : 9 und erhält 71. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
621 : 9Ergebnis 71?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 71 · 9 = 639
  2. 639 ist nicht 621: Es ist falsch.
  3. 621 : 9 = 69
  1. Umkehraufgabe: 71 · 9 = 639
  2. 639 ist nicht 621: Es ist falsch.
  3. 621 : 9 = 69
Ergebnis:
falsch, richtig ist 69

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 588 : 6 und erhält 99. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    588 : 6Ergebnis 99?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 99 · 6 = 594
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 99 · 6 = 594
    2. 594 ist nicht 588: Es ist falsch.
    3. 588 : 6 = 98
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 98
  2. ●23
    Milan erhält für 54 · 24 das Ergebnis 2296. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
    2. 2296 liegt zu weit weg. Genau: 54 · 24 = 1296
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1296
  3. ★24
    Paul rechnet 1169 : 7 und erhält 167. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1169 : 7Ergebnis 167?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 167 · 7 = 1169
    2. 1169 ist genau 1169: Es stimmt.
    3. 1169 : 7 = 167
    Ergebnis:
    stimmt, 167

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 37 + 71 + 13 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    377113
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 13 + 71
    2. 37 + 13 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 71 = 121
    Ergebnis:
    121
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 13 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kartons13 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 13
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 13 = 1300
    Ergebnis:
    1300 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 37 = 100 + ___
    9937
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 37 um 1 kleiner werden: 37 − 1 = 36
    3. 100 + 36 = 136
    Ergebnis:
    36
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 104 − 39 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 104 um 1 größer: 105.
    3. 105 − 40 = 65
    Ergebnis:
    105
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
    3. 150 − 5 = 145
    Ergebnis:
    145
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 14 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1046
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 10 = 60
    2. Rechter Teil: 6 · 4 = 24
    3. Zusammen: 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Milan rechnet 13 + 84 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    138417
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    114

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Noah rechnet 67 + 26 als 70 + 26. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    6726
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    93

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Reihen mit je 37 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    185 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 132 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 89 + 78 = 90 + ___
    89 + 78=90 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    77

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Sofia verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea erhält für 44 · 17 das Ergebnis 848. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 748

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 48
  2. 43
  3. 618
  4. 67
  5. 26
  6. 776
  7. 108
  8. 123 Bonbons
  9. 216 Stühle
  10. 53
  11. 52
  12. 75
  13. 14
  14. 16
  15. 63
  16. 400
  17. 200
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. zerlegen, 216
  20. vertauschen, 157
  21. vertauschen, 176
  22. falsch, richtig ist 98
  23. falsch, richtig ist 1296
  24. stimmt, 167
  25. 121
  26. 1300 Bälle
  27. 36
  28. 105
  29. 145
  30. 84 Kästchen
  31. 114
  32. 93
  33. 185 Stühle
  34. 22
  35. 77
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  37. halbieren und verdoppeln, 80
  38. falsch, richtig ist 748
  39. 19
  40. 84
  41. 43
  42. 7