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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 52 − 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 52 − 32 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●40
    Rechne: (8 + 6) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 6 = 14
    2. 14 · 9 = 126
    Ergebnis:
    126

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 3 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
    2. 3 + 27 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 67. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 33 + 13 + 67 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
331367
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 33 + 67 + 13
  2. 33 + 67 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 13 = 113
  1. Vertauschen: 33 + 67 + 13
  2. 33 + 67 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 13 = 113
Ergebnis:
113

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Tom rechnet 88 + 85 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    888512
    So fängst du an:
    Vertauschen: 88 + 12 + 85
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 88 + 12 + 85
    2. 88 + 12 = 100
    3. 100 + 85 = 185
    Ergebnis:
    185
  2. ●2
    Rechne geschickt: 88 + 56 + 12
    885612
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 88 + 12 + 56
    2. 88 + 12 = 100
    3. 100 + 56 = 156
    Ergebnis:
    156
  3. ★3
    Hanna rechnet 256 + 756 + 14 + 744 + 86 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    2567561474486
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 256 + 744 + 14 + 86 + 756
    2. 256 + 744 = 1000 und 14 + 86 = 100
    3. 1000 + 100 + 756 = 1856
    Ergebnis:
    1856

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Noah rechnet 69 + 29 als 70 + 29. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
6929
Schritt für Schritt
  1. Noah hat 69 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 29 = 99.
  3. 1 wieder abziehen: 99 − 1 = 98
  1. Noah hat 69 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 29 = 99.
  3. 1 wieder abziehen: 99 − 1 = 98
Ergebnis:
98

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 93
    19893
    So fängst du an:
    198 bekommt 2 dazu, 93 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 198 bekommt 2 dazu, 93 gibt 2 ab.
    2. 198 + 93 = 200 + 91
    3. 200 + 91 = 291
    Ergebnis:
    291
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 54 = 100 + ___
    9954
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 54 um 1 kleiner werden: 54 − 1 = 53
    3. 100 + 53 = 153
    Ergebnis:
    53
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 398 + 214
    398214
    Lösung zeigen
    1. 398 bekommt 2 dazu, 214 gibt 2 ab.
    2. 398 + 214 = 400 + 212
    3. 400 + 212 = 612
    Ergebnis:
    612

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Reihen mit je 19 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 19
  2. 19 = 10 + 9
  3. 8 · 10 = 80 und 8 · 9 = 72
  4. 80 + 72 = 152
  1. 8 · 19
  2. 19 = 10 + 9
  3. 8 · 10 = 80 und 8 · 9 = 72
  4. 80 + 72 = 152
Ergebnis:
152 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Reihen mit je 66 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 66
    Lösung zeigen
    1. 7 · 66
    2. 66 = 60 + 6
    3. 7 · 60 = 420 und 7 · 6 = 42
    4. 420 + 42 = 462
    Ergebnis:
    462 Stühle
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 8 · 374
    Lösung zeigen
    1. 374 = 300 + 70 + 4
    2. 8 · 300 = 2400; 8 · 70 = 560; 8 · 4 = 32
    3. 2400 + 560 + 32 = 2992
    Ergebnis:
    2992

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 114 : 6
Schritt für Schritt
  1. 114 = 60 + 54
  2. 60 : 6 = 10 und 54 : 6 = 9
  3. 10 + 9 = 19
  1. 114 = 60 + 54
  2. 60 : 6 = 10 und 54 : 6 = 9
  3. 10 + 9 = 19
Ergebnis:
19

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 406 : 7
    So fängst du an:
    406 = 350 + 56
    Lösung zeigen
    1. 406 = 350 + 56
    2. 350 : 7 = 50 und 56 : 7 = 8
    3. 50 + 8 = 58
    Ergebnis:
    58
  2. ●11
    Zerlege 192 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 192 : 6?
    192: 6
    Lösung zeigen
    1. 192 = 180 + 12
    2. 180 : 6 = 30 und 12 : 6 = 2
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32
  3. ★12
    Zerlege 335 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 335 : 5?
    335: 5
    Lösung zeigen
    1. 335 = 300 + 35
    2. 300 : 5 = 60 und 35 : 5 = 7
    3. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 8 = 3 · ___
6 · 8=3 · ?
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
Ergebnis:
16

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 80 + 85 = 78 + ___
    80 + 85=78 + ?
    So fängst du an:
    80 wird zu 78: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 80 wird zu 78: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 85 um 2 größer.
    3. 85 + 2 = 87
    Ergebnis:
    87
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 22 + 80 = 19 + ___
    Lösung zeigen
    1. 22 wird zu 19: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 80 um 3 größer.
    3. 80 + 3 = 83
    Ergebnis:
    83
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 55 − 34 = ___ − 35
    Lösung zeigen
    1. 34 wird zu 35: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 55 um 1 größer.
    3. 55 + 1 = 56
    Ergebnis:
    56

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 28? Nenne ihn. Rechne danach.
6 · 28zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 28 = 20 + 8.
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 8 = 48
  3. Zusammen: 168
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 28 = 20 + 8.
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 8 = 48
  3. Zusammen: 168
Ergebnis:
zerlegen, 168

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 24? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 24 = 20 + 4.
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 4 = 24
    3. Zusammen: 144
    Ergebnis:
    zerlegen, 144
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 5361 − 4708? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 5361 − 4708 = 653
    Ergebnis:
    schriftlich, 653

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can erhält für 49 · 22 das Ergebnis 1078. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
  2. 1078 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 49 · 22 = 1078
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
  2. 1078 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 49 · 22 = 1078
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 1078

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina erhält für 48 · 38 das Ergebnis 1824. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 40 = 2000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
    2. 1824 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 48 · 38 = 1824
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1824
  2. ●23
    Aylin rechnet 507 − 118 und erhält 409. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 409 + 118 = 527
    2. 527 ist nicht 507: Es ist falsch.
    3. 507 − 118 = 389
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 389
  3. ★24
    Noah erhält für 429 · 17 das Ergebnis 7293. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 20 = 8000
    2. 7293 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 429 · 17 = 7293
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 7293

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 11 + 62 + 9
    11629
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 9 + 62
    2. 11 + 9 = 20
    3. 20 + 62 = 82
    Ergebnis:
    82
  2. ●26
    Rechne geschickt: 9 · 2 · 5
    925
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 9
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ●27
    Sofia rechnet 197 + 84 als 200 + 84. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    19784
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 84 = 284.
    3. 3 wieder abziehen: 284 − 3 = 281
    Ergebnis:
    281
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 103 − 19 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 19 wird zu 20: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 103 um 1 größer: 104.
    3. 104 − 20 = 84
    Ergebnis:
    104
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 54
    Lösung zeigen
    1. 54 = 50 + 4
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 4 = 28
    3. 350 + 28 = 378
    Ergebnis:
    378
  6. ●30
    Aylin rechnet 5 · 25 so: erst 5 · 20, dann 5 dazu. Aylin erhält 105. Zeige am Bild, was fehlt.
    2055
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 5 Kästchen, nicht nur 5.
    2. Rechter Teil: 5 · 5 = 25
    3. 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    125

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Mia rechnet 17 + 19 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    171933
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 44
    3844
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    82

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Tüten mit je 53 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    371 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    198 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 8 · 14 = 4 · ___
    8 · 14=4 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Ben verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 + 25 + 84? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 + 25 + 84zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 125

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can rechnet 389 − 133 und erhält 266. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 256

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 185
  2. 156
  3. 1856
  4. 291
  5. 53
  6. 612
  7. 462 Stühle
  8. 57
  9. 2992
  10. 58
  11. 32
  12. 67
  13. 87
  14. 83
  15. 56
  16. 80
  17. 70
  18. 900
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. zerlegen, 144
  21. schriftlich, 653
  22. stimmt, 1824
  23. falsch, richtig ist 389
  24. stimmt, 7293
  25. 82
  26. 90
  27. 281
  28. 104
  29. 378
  30. 125
  31. 69
  32. 82
  33. 371 Bonbons
  34. 33 Murmeln
  35. 28
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. vertauschen, 125
  38. falsch, richtig ist 256
  39. 20
  40. 126
  41. 30
  42. 39