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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 7 + 20 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●40
    Rechne: (4 + 9) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 9 = 13
    2. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 7 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 4 = 28
    2. 3 + 28 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 30 und erhalte 64. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Zeynep rechnet 26 + 42 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
26424
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 26 + 4 + 42
  2. 26 + 4 = 30
  3. 30 + 42 = 72
  1. Vertauschen: 26 + 4 + 42
  2. 26 + 4 = 30
  3. 30 + 42 = 72
Ergebnis:
72

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 45 + 79 + 15 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    457915
    So fängst du an:
    Vertauschen: 45 + 15 + 79
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 45 + 15 + 79
    2. 45 + 15 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 79 = 139
    Ergebnis:
    139
  2. ●2
    Rechne geschickt: 31 + 76 + 9
    31769
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 9 + 76
    2. 31 + 9 = 40
    3. 40 + 76 = 116
    Ergebnis:
    116
  3. ★3
    Lina rechnet 654 + 341 + 79 + 346 + 21 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    6543417934621
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 654 + 346 + 79 + 21 + 341
    2. 654 + 346 = 1000 und 79 + 21 = 100
    3. 1000 + 100 + 341 = 1441
    Ergebnis:
    1441

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 27 = 40 + ___
3827
Schritt für Schritt
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 27 um 2 kleiner werden: 27 − 2 = 25
  3. 40 + 25 = 65
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 27 um 2 kleiner werden: 27 − 2 = 25
  3. 40 + 25 = 65
Ergebnis:
25

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 62 = 40 + ___
    3962
    So fängst du an:
    39 wird zu 40: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 62 um 1 kleiner werden: 62 − 1 = 61
    3. 40 + 61 = 101
    Ergebnis:
    61
  2. ●5
    Tom rechnet 97 + 38 als 100 + 38. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    9738
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 38 = 138.
    3. 3 wieder abziehen: 138 − 3 = 135
    Ergebnis:
    135
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 498 + 547 = 500 + ___
    498547
    Lösung zeigen
    1. 498 wird zu 500: 2 mehr.
    2. Also muss 547 um 2 kleiner werden: 547 − 2 = 545
    3. 500 + 545 = 1045
    Ergebnis:
    545

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
  3. 140 − 7 = 133
  1. 19 = 20 − 1
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
  3. 140 − 7 = 133
Ergebnis:
133

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Hefte mit je 51 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 51
    Lösung zeigen
    1. 9 · 51
    2. 51 = 50 + 1
    3. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
    4. 450 + 9 = 459
    Ergebnis:
    459 Hefte
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 25
    Lösung zeigen
    1. 25 = 20 + 5
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 5 = 40
    3. 160 + 40 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★9
    Es gibt 9 Reihen mit je 19 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 19
    2. 19 = 10 + 9
    3. 9 · 10 = 90 und 9 · 9 = 81
    4. 90 + 81 = 171
    Ergebnis:
    171 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

208 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 208 : 8
  2. 208 = 160 + 48
  3. 160 : 8 = 20 und 48 : 8 = 6
  4. 20 + 6 = 26
  1. 208 : 8
  2. 208 = 160 + 48
  3. 160 : 8 = 20 und 48 : 8 = 6
  4. 20 + 6 = 26
Ergebnis:
26 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 390 : 6
    So fängst du an:
    390 = 360 + 30
    Lösung zeigen
    1. 390 = 360 + 30
    2. 360 : 6 = 60 und 30 : 6 = 5
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 188 : 4
    Lösung zeigen
    1. 188 = 160 + 28
    2. 160 : 4 = 40 und 28 : 4 = 7
    3. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 896 : 7
    Lösung zeigen
    1. 896 = 840 + 56
    2. 840 : 7 = 120 und 56 : 7 = 8
    3. 120 + 8 = 128
    Ergebnis:
    128

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 47 + 30 = 57 + ___
Schritt für Schritt
  1. 47 wird zu 57: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 30 um 10 kleiner.
  3. 30 − 10 = 20
  1. 47 wird zu 57: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 30 um 10 kleiner.
  3. 30 − 10 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 37 + 75 = 38 + ___
    37 + 75=38 + ?
    So fängst du an:
    37 wird zu 38: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 38: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 1 kleiner.
    3. 75 − 1 = 74
    Ergebnis:
    74
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 79 + 58 = 89 + ___
    79 + 58=89 + ?
    Lösung zeigen
    1. 79 wird zu 89: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 58 um 10 kleiner.
    3. 58 − 10 = 48
    Ergebnis:
    48
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 45 + 66 = 55 + ___
    Lösung zeigen
    1. 45 wird zu 55: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 66 um 10 kleiner.
    3. 66 − 10 = 56
    Ergebnis:
    56

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Jonas verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Milan verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 30 + 55 + 70? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 30 + 70 = 100
  3. 100 + 55 = 155
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 30 + 70 = 100
  3. 100 + 55 = 155
Ergebnis:
vertauschen, 155

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 25 + 75 + 75? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 25 + 75 = 100
    3. 100 + 75 = 175
    Ergebnis:
    vertauschen, 175
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 30 + 57 + 70? Nenne ihn. Rechne danach.
    30 + 57 + 70zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 30 + 70 = 100
    3. 100 + 57 = 157
    Ergebnis:
    vertauschen, 157

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can rechnet 741 − 220 und erhält 541. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 541 + 220 = 761
  2. 761 ist nicht 741: Es ist falsch.
  3. 741 − 220 = 521
  1. Umkehraufgabe: 541 + 220 = 761
  2. 761 ist nicht 741: Es ist falsch.
  3. 741 − 220 = 521
Ergebnis:
falsch, richtig ist 521

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea erhält für 52 · 25 das Ergebnis 1300. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 30 = 1500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 30 = 1500
    2. 1300 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 52 · 25 = 1300
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1300
  2. ●23
    Noah rechnet 375 : 5 und erhält 75. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    375 : 5Ergebnis 75?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 75 · 5 = 375
    2. 375 ist genau 375: Es stimmt.
    3. 375 : 5 = 75
    Ergebnis:
    stimmt, 75
  3. ★24
    Elias rechnet 5323 − 651 und erhält 4672. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4672 + 651 = 5323
    2. 5323 ist genau 5323: Es stimmt.
    3. 5323 − 651 = 4672
    Ergebnis:
    stimmt, 4672

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 23 + 11 + 17
    231117
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 17 + 11
    2. 23 + 17 = 40
    3. 40 + 11 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 11 · 50 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    11502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 11
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 11 = 1100
    Ergebnis:
    1100
  3. ●27
    Zeynep rechnet 49 + 56 als 50 + 56. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    4956
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 56 = 106.
    3. 1 wieder abziehen: 106 − 1 = 105
    Ergebnis:
    105
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 97 − 18
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 97 − 18 = 99 − 20
    3. 99 − 20 = 79
    Ergebnis:
    79
  5. ●29
    Es gibt 4 Tüten mit je 25 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 25
    2. 25 = 20 + 5
    3. 4 · 20 = 80 und 4 · 5 = 20
    4. 80 + 20 = 100
    Ergebnis:
    100 Bonbons
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 21?
    2016
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 20 = 120
    2. Rechts: 6 · 1 = 6
    3. 6 · 21 = 120 + 6 = 126
    Ergebnis:
    6 · 20 und 6 · 1, zusammen 126

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 8 + 58 + 22
    85822
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    88

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 46
    9846
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    144

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 35
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    140

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    276 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    46 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 32 + 31 = 22 + ___
    32 + 31=22 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna rechnet 455 − 227 und erhält 228. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 228

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 139
  2. 116
  3. 1441
  4. 61
  5. 135
  6. 545
  7. 459 Hefte
  8. 200
  9. 171 Stühle
  10. 65
  11. 47
  12. 128
  13. 74
  14. 48
  15. 56
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. 180
  19. vertauschen, 175
  20. halbieren und verdoppeln, 200
  21. vertauschen, 157
  22. stimmt, 1300
  23. stimmt, 75
  24. stimmt, 4672
  25. 51
  26. 1100
  27. 105
  28. 79
  29. 100 Bonbons
  30. 6 · 20 und 6 · 1, zusammen 126
  31. 88
  32. 144
  33. 140
  34. 46 Bücher
  35. 41
  36. 180
  37. halbieren und verdoppeln, 80
  38. stimmt, 228
  39. 27
  40. 26
  41. 31
  42. 34