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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 7 + 20 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●40
    Rechne: (4 + 9) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 9 = 13
    2. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 7 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 4 = 28
    2. 3 + 28 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 30 und erhalte 64. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 4 + 51 + 16
45116
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 4 + 16 + 51
  2. 4 + 16 = 20
  3. 20 + 51 = 71
  1. Vertauschen: 4 + 16 + 51
  2. 4 + 16 = 20
  3. 20 + 51 = 71
Ergebnis:
71

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 14 + 77 + 46
    147746
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 46 + 77
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 46 + 77
    2. 14 + 46 = 60
    3. 60 + 77 = 137
    Ergebnis:
    137
  2. ●2
    Can rechnet 7 + 77 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    77713
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 77
    2. 7 + 13 = 20
    3. 20 + 77 = 97
    Ergebnis:
    97
  3. ★3
    Zeynep rechnet 212 + 707 + 88 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    21270788
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 212 + 88 + 707
    2. 212 + 88 = 300
    3. 300 + 707 = 1007
    Ergebnis:
    1007

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 84
29784
Schritt für Schritt
  1. 297 bekommt 3 dazu, 84 gibt 3 ab.
  2. 297 + 84 = 300 + 81
  3. 300 + 81 = 381
  1. 297 bekommt 3 dazu, 84 gibt 3 ab.
  2. 297 + 84 = 300 + 81
  3. 300 + 81 = 381
Ergebnis:
381

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 96
    19896
    So fängst du an:
    198 bekommt 2 dazu, 96 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 198 bekommt 2 dazu, 96 gibt 2 ab.
    2. 198 + 96 = 200 + 94
    3. 200 + 94 = 294
    Ergebnis:
    294
  2. ●5
    Lea rechnet 68 + 75 als 70 + 75. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    6875
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 75 = 145.
    3. 2 wieder abziehen: 145 − 2 = 143
    Ergebnis:
    143
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 396 + 236 = 400 + ___
    396236
    Lösung zeigen
    1. 396 wird zu 400: 4 mehr.
    2. Also muss 236 um 4 kleiner werden: 236 − 4 = 232
    3. 400 + 232 = 632
    Ergebnis:
    232

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Reihen mit je 43 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 43
  2. 43 = 40 + 3
  3. 9 · 40 = 360 und 9 · 3 = 27
  4. 360 + 27 = 387
  1. 9 · 43
  2. 43 = 40 + 3
  3. 9 · 40 = 360 und 9 · 3 = 27
  4. 360 + 27 = 387
Ergebnis:
387 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
    3. 150 − 3 = 147
    Ergebnis:
    147
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
    3. 200 − 4 = 196
    Ergebnis:
    196
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    3. 160 − 8 = 152
    Ergebnis:
    152

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 186 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 186 : 6?
186: 6
Schritt für Schritt
  1. 186 = 180 + 6
  2. 180 : 6 = 30 und 6 : 6 = 1
  3. 30 + 1 = 31
  1. 186 = 180 + 6
  2. 180 : 6 = 30 und 6 : 6 = 1
  3. 30 + 1 = 31
Ergebnis:
31

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    192 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    192 : 8
    Lösung zeigen
    1. 192 : 8
    2. 192 = 160 + 32
    3. 160 : 8 = 20 und 32 : 8 = 4
    4. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24 Sticker
  2. ●11
    141 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 141 : 3
    2. 141 = 120 + 21
    3. 120 : 3 = 40 und 21 : 3 = 7
    4. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47 Murmeln
  3. ★12
    180 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 180 : 5
    2. 180 = 150 + 30
    3. 150 : 5 = 30 und 30 : 5 = 6
    4. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 8 = 3 · ___
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
Ergebnis:
16

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 43 − 33 = ___ − 43
    So fängst du an:
    33 wird zu 43: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 33 wird zu 43: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 43 um 10 größer.
    3. 43 + 10 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 12 · 6 = 6 · ___
    12 · 6=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 79 + 58 = 89 + ___
    79 + 58=89 + ?
    Lösung zeigen
    1. 79 wird zu 89: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 58 um 10 kleiner.
    3. 58 − 10 = 48
    Ergebnis:
    48

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Paul verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Milan verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Tom verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 34? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 34 = 30 + 4.
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 4 = 28
  3. Zusammen: 238
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 34 = 30 + 4.
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 4 = 28
  3. Zusammen: 238
Ergebnis:
zerlegen, 238

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 43 + 65 + 57? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 43 + 57 = 100
    3. 100 + 65 = 165
    Ergebnis:
    vertauschen, 165
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 42 + 78 + 58? Nenne ihn. Rechne danach.
    42 + 78 + 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 42 + 58 = 100
    3. 100 + 78 = 178
    Ergebnis:
    vertauschen, 178

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can rechnet 747 : 9 und erhält 82. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
747 : 9Ergebnis 82?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 82 · 9 = 738
  2. 738 ist nicht 747: Es ist falsch.
  3. 747 : 9 = 83
  1. Umkehraufgabe: 82 · 9 = 738
  2. 738 ist nicht 747: Es ist falsch.
  3. 747 : 9 = 83
Ergebnis:
falsch, richtig ist 83

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 392 − 211 und erhält 201. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 201 + 211 = 412
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 201 + 211 = 412
    2. 412 ist nicht 392: Es ist falsch.
    3. 392 − 211 = 181
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 181
  2. ●23
    Sofia erhält für 37 · 21 das Ergebnis 777. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 20 = 800
    2. 777 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 37 · 21 = 777
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 777
  3. ★24
    Zeynep rechnet 4671 : 9 und erhält 520. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4671 : 9Ergebnis 520?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 520 · 9 = 4680
    2. 4680 ist nicht 4671: Es ist falsch.
    3. 4671 : 9 = 519
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 519

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 9 + 79 + 41
    97941
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 41 + 79
    2. 9 + 41 = 50
    3. 50 + 79 = 129
    Ergebnis:
    129
  2. ●26
    Rechne geschickt: 5 · 18 · 2
    5182
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 18
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 18 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ●27
    Zeynep rechnet 297 + 38 als 300 + 38. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    29738
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 297 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 38 = 338.
    3. 3 wieder abziehen: 338 − 3 = 335
    Ergebnis:
    335
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 45 − 28
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 45 − 28 = 47 − 30
    3. 47 − 30 = 17
    Ergebnis:
    17
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 35
    Lösung zeigen
    1. 35 = 30 + 5
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 5 = 25
    3. 150 + 25 = 175
    Ergebnis:
    175
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 28 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2084
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 20 = 80
    2. Rechter Teil: 4 · 8 = 32
    3. Zusammen: 80 + 32 = 112
    Ergebnis:
    112 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 9 + 28 + 11
    92811
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Tom rechnet 199 + 62 als 200 + 62. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    19962
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    261

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    354

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 260 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 260 : 4?
    260: 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 60 − 28 = ___ − 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    61

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia erhält für 47 · 39 das Ergebnis 1733. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1833

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 137
  2. 97
  3. 1007
  4. 294
  5. 143
  6. 232
  7. 147
  8. 196
  9. 152
  10. 24 Sticker
  11. 47 Murmeln
  12. 36 Murmeln
  13. 53
  14. 12
  15. 48
  16. 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. vertauschen, 165
  20. halbieren und verdoppeln, 200
  21. vertauschen, 178
  22. falsch, richtig ist 181
  23. stimmt, 777
  24. falsch, richtig ist 519
  25. 129
  26. 180
  27. 335
  28. 17
  29. 175
  30. 112 Kästchen
  31. 48
  32. 261
  33. 354
  34. 65
  35. 61
  36. 90
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 1833
  39. 27
  40. 26
  41. 31
  42. 34