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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 6 + 20 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●40
    Rechne: (6 + 5) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 5 = 11
    2. 11 · 4 = 44
    Ergebnis:
    44

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 11 + 6 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 4 und erhalte 17. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Aylin rechnet 6 + 33 + 34 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
63334
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 6 + 34 + 33
  2. 6 + 34 = 40
  3. 40 + 33 = 73
  1. Vertauschen: 6 + 34 + 33
  2. 6 + 34 = 40
  3. 40 + 33 = 73
Ergebnis:
73

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 48 + 37 + 12
    483712
    So fängst du an:
    Vertauschen: 48 + 12 + 37
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 48 + 12 + 37
    2. 48 + 12 = 60
    3. 60 + 37 = 97
    Ergebnis:
    97
  2. ●2
    Elias rechnet 34 + 42 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    34426
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 6 + 42
    2. 34 + 6 = 40
    3. 40 + 42 = 82
    Ergebnis:
    82
  3. ★3
    Rechne geschickt: 237 + 586 + 21 + 763 + 79
    2375862176379
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 237 + 763 + 21 + 79 + 586
    2. 237 + 763 = 1000 und 21 + 79 = 100
    3. 1000 + 100 + 586 = 1686
    Ergebnis:
    1686

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 75 = 200 + ___
19775
Schritt für Schritt
  1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
  2. Also muss 75 um 3 kleiner werden: 75 − 3 = 72
  3. 200 + 72 = 272
  1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
  2. Also muss 75 um 3 kleiner werden: 75 − 3 = 72
  3. 200 + 72 = 272
Ergebnis:
72

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lea rechnet 199 + 78 als 200 + 78. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    19978
    So fängst du an:
    Lea hat 199 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 78 = 278.
    3. 1 wieder abziehen: 278 − 1 = 277
    Ergebnis:
    277
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 82 = 200 + ___
    19982
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 82 um 1 kleiner werden: 82 − 1 = 81
    3. 200 + 81 = 281
    Ergebnis:
    81
  3. ★6
    Milan rechnet 1997 + 737 als 2000 + 737. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    1997737
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 1997 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 2000 + 737 = 2737.
    3. 3 wieder abziehen: 2737 − 3 = 2734
    Ergebnis:
    2734

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Hefte mit je 37 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 37
  2. 37 = 30 + 7
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 7 = 35
  4. 150 + 35 = 185
  1. 5 · 37
  2. 37 = 30 + 7
  3. 5 · 30 = 150 und 5 · 7 = 35
  4. 150 + 35 = 185
Ergebnis:
185 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 41
    So fängst du an:
    41 = 40 + 1
    Lösung zeigen
    1. 41 = 40 + 1
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
    3. 200 + 5 = 205
    Ergebnis:
    205
  2. ●8
    Es gibt 3 Hefte mit je 32 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 32
    2. 32 = 30 + 2
    3. 3 · 30 = 90 und 3 · 2 = 6
    4. 90 + 6 = 96
    Ergebnis:
    96 Hefte
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 390 : 6
Schritt für Schritt
  1. 390 = 360 + 30
  2. 360 : 6 = 60 und 30 : 6 = 5
  3. 60 + 5 = 65
  1. 390 = 360 + 30
  2. 360 : 6 = 60 und 30 : 6 = 5
  3. 60 + 5 = 65
Ergebnis:
65

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    260 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    260 : 4
    Lösung zeigen
    1. 260 : 4
    2. 260 = 240 + 20
    3. 240 : 4 = 60 und 20 : 4 = 5
    4. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65 Bücher
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 91 : 7
    Lösung zeigen
    1. 91 = 70 + 21
    2. 70 : 7 = 10 und 21 : 7 = 3
    3. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    13
  3. ★12
    Zerlege 408 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 408 : 8?
    408: 8
    Lösung zeigen
    1. 408 = 400 + 8
    2. 400 : 8 = 50 und 8 : 8 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 78 + 67 = 79 + ___
78 + 67=79 + ?
Schritt für Schritt
  1. 78 wird zu 79: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 67 um 1 kleiner.
  3. 67 − 1 = 66
  1. 78 wird zu 79: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 67 um 1 kleiner.
  3. 67 − 1 = 66
Ergebnis:
66

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 13 = 4 · ___
    8 · 13=4 · ?
    So fängst du an:
    8 wird halb so groß: 4.
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 9 = 2 · ___
    4 · 9=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 45 + 8 · 2 = 8 · ___
    8 · 45 + 8 · 2=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 8.
    2. 8 mal 45 und 8 mal 2 sind zusammen 8 mal (45 + 2).
    3. 45 + 2 = 47
    Ergebnis:
    47

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
Schritt für Schritt
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 35 = 7 · 70
    3. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 7 · 85? Nenne ihn. Rechne danach.
7 · 85zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 85 = 80 + 5.
  2. 7 · 80 = 560 und 7 · 5 = 35
  3. Zusammen: 595
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 85 = 80 + 5.
  2. 7 · 80 = 560 und 7 · 5 = 35
  3. Zusammen: 595
Ergebnis:
zerlegen, 595

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 124 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    124 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 124 + 198 = 122 + 200
    3. 122 + 200 = 322
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 322
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 34? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 34 = 30 + 4.
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 4 = 16
    3. Zusammen: 136
    Ergebnis:
    zerlegen, 136

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan rechnet 546 : 7 und erhält 77. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
546 : 7Ergebnis 77?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 77 · 7 = 539
  2. 539 ist nicht 546: Es ist falsch.
  3. 546 : 7 = 78
  1. Umkehraufgabe: 77 · 7 = 539
  2. 539 ist nicht 546: Es ist falsch.
  3. 546 : 7 = 78
Ergebnis:
falsch, richtig ist 78

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin erhält für 79 · 48 das Ergebnis 3992. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 50 = 4000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 50 = 4000
    2. 3992 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 79 · 48 = 3792
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3792
  2. ●23
    Emma erhält für 86 · 24 das Ergebnis 1964. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 20 = 1800
    2. 1964 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 86 · 24 = 2064
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2064
  3. ★24
    Tom rechnet 1740 : 4 und erhält 436. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1740 : 4Ergebnis 436?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 436 · 4 = 1744
    2. 1744 ist nicht 1740: Es ist falsch.
    3. 1740 : 4 = 435
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 435

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 33 + 41 + 7
    33417
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 7 + 41
    2. 33 + 7 = 40
    3. 40 + 41 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 3 · 4 · 25 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    3425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 3
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 38 = 40 + ___
    3838
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 38 um 2 kleiner werden: 38 − 2 = 36
    3. 40 + 36 = 76
    Ergebnis:
    36
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 129 − 18 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 18 wird zu 20: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 129 um 2 größer: 131.
    3. 131 − 20 = 111
    Ergebnis:
    131
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 25
    Lösung zeigen
    1. 25 = 20 + 5
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 5 = 45
    3. 180 + 45 = 225
    Ergebnis:
    225
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 27?
    2077
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 7 = 49
    3. 7 · 27 = 140 + 49 = 189
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 7, zusammen 189

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 14 + 71 + 16 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    147116
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    101

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 79
    4879
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    127

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    294

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 87 : 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 31 + 83 = 30 + ___
    31 + 83=30 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Tom verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 382 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    382 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 781

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin rechnet 671 − 313 und erhält 368. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 358

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 97
  2. 82
  3. 1686
  4. 277
  5. 81
  6. 2734
  7. 205
  8. 96 Hefte
  9. 472
  10. 65 Bücher
  11. 13
  12. 51
  13. 26
  14. 18
  15. 47
  16. 400
  17. 400
  18. 490
  19. gegensinnig verändern, 322
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. zerlegen, 136
  22. falsch, richtig ist 3792
  23. falsch, richtig ist 2064
  24. falsch, richtig ist 435
  25. 81
  26. 300
  27. 36
  28. 131
  29. 225
  30. 7 · 20 und 7 · 7, zusammen 189
  31. 101
  32. 127
  33. 294
  34. 29
  35. 84
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. gegensinnig verändern, 781
  38. falsch, richtig ist 358
  39. 26
  40. 44
  41. 17
  42. 13