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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 3 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 2 = 6
    2. 3 + 6 = 9
    Ergebnis:
    9
  2. ●40
    Rechne: (7 + 9) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 9 = 16
    2. 16 · 6 = 96
    Ergebnis:
    96

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 8 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 7 = 56
    2. 5 + 56 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 39 und erhalte 83. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    44

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 15 + 84 + 15 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
158415
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 15 + 84
  2. 15 + 15 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 84 = 114
  1. Vertauschen: 15 + 15 + 84
  2. 15 + 15 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 84 = 114
Ergebnis:
114

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 32 + 67 + 8 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    32678
    So fängst du an:
    Vertauschen: 32 + 8 + 67
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 32 + 8 + 67
    2. 32 + 8 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 67 = 107
    Ergebnis:
    107
  2. ●2
    Rechne geschickt: 32 + 37 + 18
    323718
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 32 + 18 + 37
    2. 32 + 18 = 50
    3. 50 + 37 = 87
    Ergebnis:
    87
  3. ★3
    Can rechnet 249 + 417 + 27 + 751 + 73 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    2494172775173
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 249 + 751 + 27 + 73 + 417
    2. 249 + 751 = 1000 und 27 + 73 = 100
    3. 1000 + 100 + 417 = 1517
    Ergebnis:
    1517

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 25 = 200 + ___
19925
Schritt für Schritt
  1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
  2. Also muss 25 um 1 kleiner werden: 25 − 1 = 24
  3. 200 + 24 = 224
  1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
  2. Also muss 25 um 1 kleiner werden: 25 − 1 = 24
  3. 200 + 24 = 224
Ergebnis:
24

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 23 = 50 + ___
    4823
    So fängst du an:
    48 wird zu 50: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 23 um 2 kleiner werden: 23 − 2 = 21
    3. 50 + 21 = 71
    Ergebnis:
    21
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 25
    3925
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 25 gibt 1 ab.
    2. 39 + 25 = 40 + 24
    3. 40 + 24 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 696 + 237
    696237
    Lösung zeigen
    1. 696 bekommt 4 dazu, 237 gibt 4 ab.
    2. 696 + 237 = 700 + 233
    3. 700 + 233 = 933
    Ergebnis:
    933

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
  3. 80 − 4 = 76
  1. 19 = 20 − 1
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
  3. 80 − 4 = 76
Ergebnis:
76

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Tüten mit je 68 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 68
    Lösung zeigen
    1. 7 · 68
    2. 68 = 60 + 8
    3. 7 · 60 = 420 und 7 · 8 = 56
    4. 420 + 56 = 476
    Ergebnis:
    476 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 45
    Lösung zeigen
    1. 45 = 40 + 5
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 5 = 35
    3. 280 + 35 = 315
    Ergebnis:
    315
  3. ★9
    Es gibt 8 Tüten mit je 94 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 94
    2. 94 = 90 + 4
    3. 8 · 90 = 720 und 8 · 4 = 32
    4. 720 + 32 = 752
    Ergebnis:
    752 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 135 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 135 : 5?
135: 5
Schritt für Schritt
  1. 135 = 100 + 35
  2. 100 : 5 = 20 und 35 : 5 = 7
  3. 20 + 7 = 27
  1. 135 = 100 + 35
  2. 100 : 5 = 20 und 35 : 5 = 7
  3. 20 + 7 = 27
Ergebnis:
27

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 198 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 198 : 3?
    198: 3
    So fängst du an:
    198 = 180 + 18
    Lösung zeigen
    1. 198 = 180 + 18
    2. 180 : 3 = 60 und 18 : 3 = 6
    3. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●11
    198 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 198 : 9
    2. 198 = 180 + 18
    3. 180 : 9 = 20 und 18 : 9 = 2
    4. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 440 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 440 : 5?
    440: 5
    Lösung zeigen
    1. 440 = 400 + 40
    2. 400 : 5 = 80 und 40 : 5 = 8
    3. 80 + 8 = 88
    Ergebnis:
    88

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 6 · 11 = 3 · ___
6 · 11=3 · ?
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
  3. 11 · 2 = 22
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
  3. 11 · 2 = 22
Ergebnis:
22

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 11 = 9 · ___
    So fängst du an:
    18 wird halb so groß: 9.
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 70 − 47 = ___ − 57
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 57: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 70 um 10 größer.
    3. 70 + 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 30 + 24 = 29 + ___
    30 + 24=29 + ?
    Lösung zeigen
    1. 30 wird zu 29: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 24 um 1 größer.
    3. 24 + 1 = 25
    Ergebnis:
    25

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Noah verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 9 · 36? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 36zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 36 = 30 + 6.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 36 = 30 + 6.
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 6 = 54
    3. Zusammen: 324
    Ergebnis:
    zerlegen, 324
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 35? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 35 = 30 + 5.
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 5 = 25
    3. Zusammen: 175
    Ergebnis:
    zerlegen, 175

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 385 − 187 und erhält 298. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 298 + 187 = 485
  2. 485 ist nicht 385: Es ist falsch.
  3. 385 − 187 = 198
  1. Umkehraufgabe: 298 + 187 = 485
  2. 485 ist nicht 385: Es ist falsch.
  3. 385 − 187 = 198
Ergebnis:
falsch, richtig ist 198

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Hanna rechnet 816 − 141 und erhält 695. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 695 + 141 = 836
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 695 + 141 = 836
    2. 836 ist nicht 816: Es ist falsch.
    3. 816 − 141 = 675
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 675
  2. ●23
    Lea erhält für 85 · 24 das Ergebnis 2040. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 20 = 1800
    2. 2040 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 85 · 24 = 2040
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2040
  3. ★24
    Zeynep erhält für 360 · 15 das Ergebnis 5400. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 20 = 8000
    2. 5400 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 360 · 15 = 5400
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 5400

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 9 + 53 + 11 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    95311
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 11 + 53
    2. 9 + 11 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 53 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 16 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Packungen16 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 16
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 16 = 1600
    Ergebnis:
    1600 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 47 = 100 + ___
    9847
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 47 um 2 kleiner werden: 47 − 2 = 45
    3. 100 + 45 = 145
    Ergebnis:
    45
  4. ●28
    Ben rechnet 124 − 27 als 124 − 30 und erhält 94. Ist das schon das Ergebnis?
    124 − 27124 − 30
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 94 + 3 = 97
    Ergebnis:
    Nein, 97
  5. ●29
    Es gibt 3 Reihen mit je 63 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 63
    2. 63 = 60 + 3
    3. 3 · 60 = 180 und 3 · 3 = 9
    4. 180 + 9 = 189
    Ergebnis:
    189 Stühle
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 19 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1097
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 10 = 70
    2. Rechter Teil: 7 · 9 = 63
    3. Zusammen: 70 + 63 = 133
    Ergebnis:
    133 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 12 + 63 + 8
    12638
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    83

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Can rechnet 37 + 88 als 40 + 88. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    3788
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    125

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    156

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    168 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 6 · 13 = 3 · ___
    6 · 13=3 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 135 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 733

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia erhält für 30 · 26 das Ergebnis 1780. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 780

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 107
  2. 87
  3. 1517
  4. 21
  5. 64
  6. 933
  7. 476 Bonbons
  8. 315
  9. 752 Bonbons
  10. 66
  11. 22 Bücher
  12. 88
  13. 22
  14. 80
  15. 25
  16. 80
  17. 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 330
  19. zerlegen, 324
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. zerlegen, 175
  22. falsch, richtig ist 675
  23. stimmt, 2040
  24. stimmt, 5400
  25. 73
  26. 1600 Bälle
  27. 45
  28. Nein, 97
  29. 189 Stühle
  30. 133 Kästchen
  31. 83
  32. 125
  33. 156
  34. 56 Bücher
  35. 26
  36. 210
  37. gegensinnig verändern, 733
  38. falsch, richtig ist 780
  39. 9
  40. 96
  41. 61
  42. 44