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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 26 − 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 26 − 20 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●40
    Rechne: (8 + 7) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 7 = 15
    2. 15 · 4 = 60
    Ergebnis:
    60

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 10 + 20 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 19 und erhalte 48. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 16 + 62 + 44 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
166244
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 16 + 44 + 62
  2. 16 + 44 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 62 = 122
  1. Vertauschen: 16 + 44 + 62
  2. 16 + 44 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 62 = 122
Ergebnis:
122

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 27 + 51 + 3
    27513
    So fängst du an:
    Vertauschen: 27 + 3 + 51
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 3 + 51
    2. 27 + 3 = 30
    3. 30 + 51 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●2
    Rechne geschickt: 43 + 34 + 7
    43347
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 43 + 7 + 34
    2. 43 + 7 = 50
    3. 50 + 34 = 84
    Ergebnis:
    84
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 86 + 543 + 15 + 114 + 85 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    865431511485
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 86 + 114 + 15 + 85 + 543
    2. 86 + 114 = 200 und 15 + 85 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 100 + 543 = 843
    Ergebnis:
    843

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 89
29889
Schritt für Schritt
  1. 298 bekommt 2 dazu, 89 gibt 2 ab.
  2. 298 + 89 = 300 + 87
  3. 300 + 87 = 387
  1. 298 bekommt 2 dazu, 89 gibt 2 ab.
  2. 298 + 89 = 300 + 87
  3. 300 + 87 = 387
Ergebnis:
387

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Milan rechnet 38 + 24 als 40 + 24. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    3824
    So fängst du an:
    Milan hat 38 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 24 = 64.
    3. 2 wieder abziehen: 64 − 2 = 62
    Ergebnis:
    62
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 89
    3889
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 89 gibt 2 ab.
    2. 38 + 89 = 40 + 87
    3. 40 + 87 = 127
    Ergebnis:
    127
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1996 + 868 = 2000 + ___
    1996868
    Lösung zeigen
    1. 1996 wird zu 2000: 4 mehr.
    2. Also muss 868 um 4 kleiner werden: 868 − 4 = 864
    3. 2000 + 864 = 2864
    Ergebnis:
    864

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Hefte mit je 25 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25
  2. 25 = 20 + 5
  3. 8 · 20 = 160 und 8 · 5 = 40
  4. 160 + 40 = 200
  1. 8 · 25
  2. 25 = 20 + 5
  3. 8 · 20 = 160 und 8 · 5 = 40
  4. 160 + 40 = 200
Ergebnis:
200 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    3. 180 − 6 = 174
    Ergebnis:
    174
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 27
    Lösung zeigen
    1. 27 = 20 + 7
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 7 = 42
    3. 120 + 42 = 162
    Ergebnis:
    162
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 31
    Lösung zeigen
    1. 31 = 30 + 1
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
    3. 150 + 5 = 155
    Ergebnis:
    155

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 399 : 7
Schritt für Schritt
  1. 399 = 350 + 49
  2. 350 : 7 = 50 und 49 : 7 = 7
  3. 50 + 7 = 57
  1. 399 = 350 + 49
  2. 350 : 7 = 50 und 49 : 7 = 7
  3. 50 + 7 = 57
Ergebnis:
57

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 265 : 5
    So fängst du an:
    265 = 250 + 15
    Lösung zeigen
    1. 265 = 250 + 15
    2. 250 : 5 = 50 und 15 : 5 = 3
    3. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●11
    Zerlege 552 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 552 : 8?
    552: 8
    Lösung zeigen
    1. 552 = 480 + 72
    2. 480 : 8 = 60 und 72 : 8 = 9
    3. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 459 : 9
    Lösung zeigen
    1. 459 = 450 + 9
    2. 450 : 9 = 50 und 9 : 9 = 1
    3. 50 + 1 = 51
    Ergebnis:
    51

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 3 = 8 · ___
16 · 3=8 · ?
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 6 = 9 · ___
    18 · 6=9 · ?
    So fängst du an:
    18 wird halb so groß: 9.
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 95 − 83 = ___ − 93
    Lösung zeigen
    1. 83 wird zu 93: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 95 um 10 größer.
    3. 95 + 10 = 105
    Ergebnis:
    105
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 29 + 4 · 4 = 4 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 4.
    2. 4 mal 29 und 4 mal 4 sind zusammen 4 mal (29 + 4).
    3. 29 + 4 = 33
    Ergebnis:
    33

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
Schritt für Schritt
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Aylin verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 36 · 5
    Lösung zeigen
    1. 36 · 5 = 18 · 10
    2. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 19 + 31 + 81? Nenne ihn. Rechne danach.
19 + 31 + 81zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 19 + 81 = 100
  3. 100 + 31 = 131
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 19 + 81 = 100
  3. 100 + 31 = 131
Ergebnis:
vertauschen, 131

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 164 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    164 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 164 + 299 = 163 + 300
    3. 163 + 300 = 463
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 463
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 76? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 76zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 76 = 70 + 6.
    2. 9 · 70 = 630 und 9 · 6 = 54
    3. Zusammen: 684
    Ergebnis:
    zerlegen, 684
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 8377 − 4044? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 8377 − 4044 = 4333
    Ergebnis:
    schriftlich, 4333

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can rechnet 973 − 709 und erhält 284. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 284 + 709 = 993
  2. 993 ist nicht 973: Es ist falsch.
  3. 973 − 709 = 264
  1. Umkehraufgabe: 284 + 709 = 993
  2. 993 ist nicht 973: Es ist falsch.
  3. 973 − 709 = 264
Ergebnis:
falsch, richtig ist 264

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 224 : 8 und erhält 28. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    224 : 8Ergebnis 28?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 28 · 8 = 224
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 28 · 8 = 224
    2. 224 ist genau 224: Es stimmt.
    3. 224 : 8 = 28
    Ergebnis:
    stimmt, 28
  2. ●23
    Mia rechnet 759 − 383 und erhält 476. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 476 + 383 = 859
    2. 859 ist nicht 759: Es ist falsch.
    3. 759 − 383 = 376
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 376
  3. ★24
    Elias rechnet 3100 − 356 und erhält 2764. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2764 + 356 = 3120
    2. 3120 ist nicht 3100: Es ist falsch.
    3. 3100 − 356 = 2744
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2744

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 4 + 49 + 16
    44916
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 16 + 49
    2. 4 + 16 = 20
    3. 20 + 49 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●26
    Rechne geschickt: 13 · 4 · 25
    13425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 13
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 13 = 1300
    Ergebnis:
    1300
  3. ●27
    Can rechnet 47 + 79 als 50 + 79. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    4779
    Lösung zeigen
    1. Can hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 79 = 129.
    3. 3 wieder abziehen: 129 − 3 = 126
    Ergebnis:
    126
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 125 − 97 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 125 um 3 größer: 128.
    3. 128 − 100 = 28
    Ergebnis:
    128
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  6. ●30
    Paul rechnet 7 · 13 so: erst 7 · 10, dann 3 dazu. Paul erhält 73. Zeige am Bild, was fehlt.
    1037
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 7 · 3 = 21
    3. 70 + 21 = 91
    Ergebnis:
    91

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Tom rechnet 13 + 46 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    134617
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Milan rechnet 38 + 65 als 40 + 65. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    3865
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    103

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 53
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    318

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 60 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 60 : 5?
    60: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 4 · 12 = 2 · ___
    4 · 12=2 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom rechnet 148 : 4 und erhält 36. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    148 : 4Ergebnis 36?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 37

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 81
  2. 84
  3. 843
  4. 62
  5. 127
  6. 864
  7. 174
  8. 162
  9. 155
  10. 53
  11. 69
  12. 51
  13. 12
  14. 105
  15. 33
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. 80
  18. 180
  19. gegensinnig verändern, 463
  20. zerlegen, 684
  21. schriftlich, 4333
  22. stimmt, 28
  23. falsch, richtig ist 376
  24. falsch, richtig ist 2744
  25. 69
  26. 1300
  27. 126
  28. 128
  29. 472
  30. 91
  31. 76
  32. 103
  33. 318
  34. 12
  35. 24
  36. 80
  37. halbieren und verdoppeln, 70
  38. falsch, richtig ist 37
  39. 6
  40. 60
  41. 30
  42. 29