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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 2 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 5 = 10
    2. 9 + 10 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (9 + 6) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 6 = 15
    2. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 5 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 5 = 25
    2. 8 + 25 = 33
    Ergebnis:
    33
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 29 und erhalte 52. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Sofia rechnet 27 + 32 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
273213
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 27 + 13 + 32
  2. 27 + 13 = 40
  3. 40 + 32 = 72
  1. Vertauschen: 27 + 13 + 32
  2. 27 + 13 = 40
  3. 40 + 32 = 72
Ergebnis:
72

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 27 + 87 + 33 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    278733
    So fängst du an:
    Vertauschen: 27 + 33 + 87
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 33 + 87
    2. 27 + 33 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 87 = 147
    Ergebnis:
    147
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 11 + 24 + 19 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    112419
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 19 + 24
    2. 11 + 19 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 24 = 54
    Ergebnis:
    54
  3. ★3
    Lina rechnet 199 + 273 + 49 + 101 + 51 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    1992734910151
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 199 + 101 + 49 + 51 + 273
    2. 199 + 101 = 300 und 49 + 51 = 100
    3. 300 + 100 + 273 = 673
    Ergebnis:
    673

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 77 = 200 + ___
19977
Schritt für Schritt
  1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
  2. Also muss 77 um 1 kleiner werden: 77 − 1 = 76
  3. 200 + 76 = 276
  1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
  2. Also muss 77 um 1 kleiner werden: 77 − 1 = 76
  3. 200 + 76 = 276
Ergebnis:
76

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Can rechnet 99 + 46 als 100 + 46. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    9946
    So fängst du an:
    Can hat 99 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Can hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 46 = 146.
    3. 1 wieder abziehen: 146 − 1 = 145
    Ergebnis:
    145
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 85 = 200 + ___
    19885
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 85 um 2 kleiner werden: 85 − 2 = 83
    3. 200 + 83 = 283
    Ergebnis:
    83
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 396 + 638 = 400 + ___
    396638
    Lösung zeigen
    1. 396 wird zu 400: 4 mehr.
    2. Also muss 638 um 4 kleiner werden: 638 − 4 = 634
    3. 400 + 634 = 1034
    Ergebnis:
    634

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 22
Schritt für Schritt
  1. 22 = 20 + 2
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 2 = 8
  3. 80 + 8 = 88
  1. 22 = 20 + 2
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 2 = 8
  3. 80 + 8 = 88
Ergebnis:
88

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
    3. 450 − 9 = 441
    Ergebnis:
    441
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 198
    Lösung zeigen
    1. 198 = 200 − 2
    2. 3 · 200 = 600 und 3 · 2 = 6
    3. 600 − 6 = 594
    Ergebnis:
    594

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 147 : 7
Schritt für Schritt
  1. 147 = 140 + 7
  2. 140 : 7 = 20 und 7 : 7 = 1
  3. 20 + 1 = 21
  1. 147 = 140 + 7
  2. 140 : 7 = 20 und 7 : 7 = 1
  3. 20 + 1 = 21
Ergebnis:
21

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 351 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 351 : 9?
    351: 9
    So fängst du an:
    351 = 270 + 81
    Lösung zeigen
    1. 351 = 270 + 81
    2. 270 : 9 = 30 und 81 : 9 = 9
    3. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●11
    196 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 196 : 4
    2. 196 = 160 + 36
    3. 160 : 4 = 40 und 36 : 4 = 9
    4. 40 + 9 = 49
    Ergebnis:
    49 Sticker
  3. ★12
    952 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 952 : 7
    2. 952 = 910 + 42
    3. 910 : 7 = 130 und 42 : 7 = 6
    4. 130 + 6 = 136
    Ergebnis:
    136 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 29 + 60 = 31 + ___
29 + 60=31 + ?
Schritt für Schritt
  1. 29 wird zu 31: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 60 um 2 kleiner.
  3. 60 − 2 = 58
  1. 29 wird zu 31: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 60 um 2 kleiner.
  3. 60 − 2 = 58
Ergebnis:
58

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 88 − 19 = ___ − 24
    So fängst du an:
    19 wird zu 24: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 19 wird zu 24: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 88 um 5 größer.
    3. 88 + 5 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 79 + 39 = 80 + ___
    Lösung zeigen
    1. 79 wird zu 80: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 39 um 1 kleiner.
    3. 39 − 1 = 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 38 + 66 = 39 + ___
    38 + 66=39 + ?
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 39: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 66 um 1 kleiner.
    3. 66 − 1 = 65
    Ergebnis:
    65

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    So fängst du an:
    12 · 15 = 6 · 30
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Mia verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  3. ★18
    Warum ist 18 · 45 dasselbe wie 9 · 90? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 45 = 9 · 90
    3. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 25 + 69 + 75? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 25 + 75 = 100
  3. 100 + 69 = 169
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 25 + 75 = 100
  3. 100 + 69 = 169
Ergebnis:
vertauschen, 169

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 81? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 81zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 81 = 80 + 1.
    2. 8 · 80 = 640 und 8 · 1 = 8
    3. Zusammen: 648
    Ergebnis:
    zerlegen, 648
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 46 + 74 + 54? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 46 + 54 = 100
    3. 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    vertauschen, 174

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Jonas rechnet 493 − 133 und erhält 370. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 370 + 133 = 503
  2. 503 ist nicht 493: Es ist falsch.
  3. 493 − 133 = 360
  1. Umkehraufgabe: 370 + 133 = 503
  2. 503 ist nicht 493: Es ist falsch.
  3. 493 − 133 = 360
Ergebnis:
falsch, richtig ist 360

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 729 − 276 und erhält 553. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 553 + 276 = 829
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 553 + 276 = 829
    2. 829 ist nicht 729: Es ist falsch.
    3. 729 − 276 = 453
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 453
  2. ●23
    Tom erhält für 86 · 39 das Ergebnis 3554. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 40 = 3600
    2. 3554 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 86 · 39 = 3354
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3354
  3. ★24
    Can erhält für 311 · 22 das Ergebnis 6642. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 20 = 6000
    2. 6642 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 311 · 22 = 6842
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6842

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 17 + 62 + 13
    176213
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    1. Vertauschen: 17 + 13 + 62
    2. 17 + 13 = 30
    3. 30 + 62 = 92
    Ergebnis:
    92
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 18 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kartons18 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 18
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 18 = 1800
    Ergebnis:
    1800 Bälle
  3. ●27
    Aylin rechnet 197 + 24 als 200 + 24. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    19724
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 24 = 224.
    3. 3 wieder abziehen: 224 − 3 = 221
    Ergebnis:
    221
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 120 − 47
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    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 120 − 47 = 123 − 50
    3. 123 − 50 = 73
    Ergebnis:
    73
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 14
    Lösung zeigen
    1. 14 = 10 + 4
    2. 7 · 10 = 70 und 7 · 4 = 28
    3. 70 + 28 = 98
    Ergebnis:
    98
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 14?
    1043
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 10 = 30
    2. Rechts: 3 · 4 = 12
    3. 3 · 14 = 30 + 12 = 42
    Ergebnis:
    3 · 10 und 3 · 4, zusammen 42

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Paul rechnet 14 + 28 + 36 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    142836
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    78

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 59
    29759
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    356

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 56
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    392

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 392 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 392 : 7?
    392: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 99 − 24 = ___ − 26
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    101

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Aylin verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 75? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 75zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 675

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna rechnet 906 − 318 und erhält 608. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 588

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 147
  2. 54
  3. 673
  4. 145
  5. 83
  6. 634
  7. 392
  8. 441
  9. 594
  10. 39
  11. 49 Sticker
  12. 136 Bücher
  13. 93
  14. 38
  15. 65
  16. 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  18. 810
  19. halbieren und verdoppeln, 70
  20. zerlegen, 648
  21. vertauschen, 174
  22. falsch, richtig ist 453
  23. falsch, richtig ist 3354
  24. falsch, richtig ist 6842
  25. 92
  26. 1800 Bälle
  27. 221
  28. 73
  29. 98
  30. 3 · 10 und 3 · 4, zusammen 42
  31. 78
  32. 356
  33. 392
  34. 56
  35. 101
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  37. zerlegen, 675
  38. falsch, richtig ist 588
  39. 19
  40. 30
  41. 33
  42. 23