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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 45 − 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 45 − 15 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●40
    Rechne: (7 + 6) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 6 = 13
    2. 13 · 9 = 117
    Ergebnis:
    117

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
    2. 12 + 4 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 17 und erhalte 29. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 6 + 51 + 24 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
65124
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 6 + 24 + 51
  2. 6 + 24 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 51 = 81
  1. Vertauschen: 6 + 24 + 51
  2. 6 + 24 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 51 = 81
Ergebnis:
81

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 62 + 24 + 38
    622438
    So fängst du an:
    Vertauschen: 62 + 38 + 24
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 62 + 38 + 24
    2. 62 + 38 = 100
    3. 100 + 24 = 124
    Ergebnis:
    124
  2. ●2
    Lea rechnet 18 + 89 + 42 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    188942
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 42 + 89
    2. 18 + 42 = 60
    3. 60 + 89 = 149
    Ergebnis:
    149
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 293 + 482 + 18 + 707 + 82 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    2934821870782
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 293 + 707 + 18 + 82 + 482
    2. 293 + 707 = 1000 und 18 + 82 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 482 = 1582
    Ergebnis:
    1582

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 65 = 70 + ___
6765
Schritt für Schritt
  1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
  2. Also muss 65 um 3 kleiner werden: 65 − 3 = 62
  3. 70 + 62 = 132
  1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
  2. Also muss 65 um 3 kleiner werden: 65 − 3 = 62
  3. 70 + 62 = 132
Ergebnis:
62

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 39
    9839
    So fängst du an:
    98 bekommt 2 dazu, 39 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 39 gibt 2 ab.
    2. 98 + 39 = 100 + 37
    3. 100 + 37 = 137
    Ergebnis:
    137
  2. ●5
    Lea rechnet 47 + 67 als 50 + 67. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    4767
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 67 = 117.
    3. 3 wieder abziehen: 117 − 3 = 114
    Ergebnis:
    114
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1999 + 332 = 2000 + ___
    1999332
    Lösung zeigen
    1. 1999 wird zu 2000: 1 mehr.
    2. Also muss 332 um 1 kleiner werden: 332 − 1 = 331
    3. 2000 + 331 = 2331
    Ergebnis:
    331

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 69
Schritt für Schritt
  1. 69 = 60 + 9
  2. 5 · 60 = 300 und 5 · 9 = 45
  3. 300 + 45 = 345
  1. 69 = 60 + 9
  2. 5 · 60 = 300 und 5 · 9 = 45
  3. 300 + 45 = 345
Ergebnis:
345

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 5 Tüten mit je 34 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    5 · 34
    Lösung zeigen
    1. 5 · 34
    2. 34 = 30 + 4
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 4 = 20
    4. 150 + 20 = 170
    Ergebnis:
    170 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 7 Hefte mit je 65 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 65
    2. 65 = 60 + 5
    3. 7 · 60 = 420 und 7 · 5 = 35
    4. 420 + 35 = 455
    Ergebnis:
    455 Hefte
  3. ★9
    Es gibt 6 Tüten mit je 37 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 37
    2. 37 = 30 + 7
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 7 = 42
    4. 180 + 42 = 222
    Ergebnis:
    222 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

102 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 102 : 3
  2. 102 = 90 + 12
  3. 90 : 3 = 30 und 12 : 3 = 4
  4. 30 + 4 = 34
  1. 102 : 3
  2. 102 = 90 + 12
  3. 90 : 3 = 30 und 12 : 3 = 4
  4. 30 + 4 = 34
Ergebnis:
34 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 88 : 4
    So fängst du an:
    88 = 80 + 8
    Lösung zeigen
    1. 88 = 80 + 8
    2. 80 : 4 = 20 und 8 : 4 = 2
    3. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 228 : 6
    Lösung zeigen
    1. 228 = 180 + 48
    2. 180 : 6 = 30 und 48 : 6 = 8
    3. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★12
    456 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 456 : 8
    2. 456 = 400 + 56
    3. 400 : 8 = 50 und 56 : 8 = 7
    4. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 9 = 4 · ___
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
Ergebnis:
18

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 86 + 26 = 96 + ___
    86 + 26=96 + ?
    So fängst du an:
    86 wird zu 96: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 86 wird zu 96: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 26 um 10 kleiner.
    3. 26 − 10 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 15 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 83 + 22 = 80 + ___
    Lösung zeigen
    1. 83 wird zu 80: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 22 um 3 größer.
    3. 22 + 3 = 25
    Ergebnis:
    25

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Hanna verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Milan verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  3. ★18
    Paul verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 32 + 68 + 68? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 32 + 68 = 100
    3. 100 + 68 = 168
    Ergebnis:
    vertauschen, 168
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 200 + 198? Nenne ihn und rechne.
    200 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 200 + 198 = 198 + 200
    3. 198 + 200 = 398
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 398
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 9 · 65? Nenne ihn und rechne.
    9 · 65zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 65 = 60 + 5.
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 5 = 45
    3. Zusammen: 585
    Ergebnis:
    zerlegen, 585

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan rechnet 548 − 359 und erhält 289. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 289 + 359 = 648
  2. 648 ist nicht 548: Es ist falsch.
  3. 548 − 359 = 189
  1. Umkehraufgabe: 289 + 359 = 648
  2. 648 ist nicht 548: Es ist falsch.
  3. 548 − 359 = 189
Ergebnis:
falsch, richtig ist 189

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 297 : 3 und erhält 100. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    297 : 3Ergebnis 100?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 100 · 3 = 300
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 100 · 3 = 300
    2. 300 ist nicht 297: Es ist falsch.
    3. 297 : 3 = 99
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 99
  2. ●23
    Zeynep rechnet 387 : 9 und erhält 44. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    387 : 9Ergebnis 44?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 44 · 9 = 396
    2. 396 ist nicht 387: Es ist falsch.
    3. 387 : 9 = 43
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 43
  3. ★24
    Jonas rechnet 2723 : 7 und erhält 389. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2723 : 7Ergebnis 389?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 389 · 7 = 2723
    2. 2723 ist genau 2723: Es stimmt.
    3. 2723 : 7 = 389
    Ergebnis:
    stimmt, 389

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Noah rechnet 14 + 44 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    144416
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 16 + 44
    2. 14 + 16 = 30
    3. 30 + 44 = 74
    Ergebnis:
    74
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Packungen. In jeder Packung sind 7 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Packungen7 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 7
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 7 = 700
    Ergebnis:
    700 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 27
    19927
    Lösung zeigen
    1. 199 bekommt 1 dazu, 27 gibt 1 ab.
    2. 199 + 27 = 200 + 26
    3. 200 + 26 = 226
    Ergebnis:
    226
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 122 − 17
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 122 − 17 = 125 − 20
    3. 125 − 20 = 105
    Ergebnis:
    105
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
    3. 360 − 6 = 354
    Ergebnis:
    354
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 21?
    2013
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 20 = 60
    2. Rechts: 3 · 1 = 3
    3. 3 · 21 = 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    3 · 20 und 3 · 1, zusammen 63

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 16 + 28 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    162814
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Elias rechnet 97 + 25 als 100 + 25. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    9725
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    122

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 68
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    476

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    176 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 78 + 36 = 80 + ___
    78 + 36=80 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can rechnet 245 : 5 und erhält 59. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    245 : 5Ergebnis 59?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 49

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 124
  2. 149
  3. 1582
  4. 137
  5. 114
  6. 331
  7. 170 Bonbons
  8. 455 Hefte
  9. 222 Bonbons
  10. 22
  11. 38
  12. 57 Murmeln
  13. 16
  14. 30
  15. 25
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. vertauschen, 168
  20. gegensinnig verändern, 398
  21. zerlegen, 585
  22. falsch, richtig ist 99
  23. falsch, richtig ist 43
  24. stimmt, 389
  25. 74
  26. 700 Bälle
  27. 226
  28. 105
  29. 354
  30. 3 · 20 und 3 · 1, zusammen 63
  31. 58
  32. 122
  33. 476
  34. 22 Bücher
  35. 34
  36. 400
  37. halbieren und verdoppeln, 70
  38. falsch, richtig ist 49
  39. 30
  40. 117
  41. 16
  42. 12