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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 52 − 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 52 − 15 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●40
    Rechne: (5 + 2) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 2 = 7
    2. 7 · 4 = 28
    Ergebnis:
    28

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 4 + 21 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 32 und erhalte 37. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Noah rechnet 4 + 87 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
48726
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 4 + 26 + 87
  2. 4 + 26 = 30
  3. 30 + 87 = 117
  1. Vertauschen: 4 + 26 + 87
  2. 4 + 26 = 30
  3. 30 + 87 = 117
Ergebnis:
117

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lea rechnet 42 + 59 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    425918
    So fängst du an:
    Vertauschen: 42 + 18 + 59
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 42 + 18 + 59
    2. 42 + 18 = 60
    3. 60 + 59 = 119
    Ergebnis:
    119
  2. ●2
    Rechne geschickt: 13 + 48 + 37
    134837
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 37 + 48
    2. 13 + 37 = 50
    3. 50 + 48 = 98
    Ergebnis:
    98
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 117 + 178 + 83 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    11717883
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 117 + 83 + 178
    2. 117 + 83 = 200
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 178 = 378
    Ergebnis:
    378

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Paul rechnet 49 + 44 als 50 + 44. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
4944
Schritt für Schritt
  1. Paul hat 49 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 44 = 94.
  3. 1 wieder abziehen: 94 − 1 = 93
  1. Paul hat 49 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 44 = 94.
  3. 1 wieder abziehen: 94 − 1 = 93
Ergebnis:
93

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 59 = 70 + ___
    6759
    So fängst du an:
    67 wird zu 70: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 59 um 3 kleiner werden: 59 − 3 = 56
    3. 70 + 56 = 126
    Ergebnis:
    56
  2. ●5
    Aylin rechnet 67 + 25 als 70 + 25. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    6725
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 25 = 95.
    3. 3 wieder abziehen: 95 − 3 = 92
    Ergebnis:
    92
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 497 + 514
    497514
    Lösung zeigen
    1. 497 bekommt 3 dazu, 514 gibt 3 ab.
    2. 497 + 514 = 500 + 511
    3. 500 + 511 = 1011
    Ergebnis:
    1011

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 3 Reihen mit je 41 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 3 · 41
  2. 41 = 40 + 1
  3. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
  4. 120 + 3 = 123
  1. 3 · 41
  2. 41 = 40 + 1
  3. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
  4. 120 + 3 = 123
Ergebnis:
123 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 3 Tüten mit je 14 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    3 · 14
    Lösung zeigen
    1. 3 · 14
    2. 14 = 10 + 4
    3. 3 · 10 = 30 und 3 · 4 = 12
    4. 30 + 12 = 42
    Ergebnis:
    42 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 50 + 9
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 9 = 45
    3. 250 + 45 = 295
    Ergebnis:
    295
  3. ★9
    Es gibt 7 Tüten mit je 77 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 77
    2. 77 = 70 + 7
    3. 7 · 70 = 490 und 7 · 7 = 49
    4. 490 + 49 = 539
    Ergebnis:
    539 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 280 : 5
Schritt für Schritt
  1. 280 = 250 + 30
  2. 250 : 5 = 50 und 30 : 5 = 6
  3. 50 + 6 = 56
  1. 280 = 250 + 30
  2. 250 : 5 = 50 und 30 : 5 = 6
  3. 50 + 6 = 56
Ergebnis:
56

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 56 : 4
    So fängst du an:
    56 = 40 + 16
    Lösung zeigen
    1. 56 = 40 + 16
    2. 40 : 4 = 10 und 16 : 4 = 4
    3. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●11
    390 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 390 : 6
    2. 390 = 360 + 30
    3. 360 : 6 = 60 und 30 : 6 = 5
    4. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 973 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 973 : 7?
    973: 7
    Lösung zeigen
    1. 973 = 910 + 63
    2. 910 : 7 = 130 und 63 : 7 = 9
    3. 130 + 9 = 139
    Ergebnis:
    139

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 12 · 11 = 6 · ___
12 · 11=6 · ?
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
  3. 11 · 2 = 22
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
  3. 11 · 2 = 22
Ergebnis:
22

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 19 + 68 = 21 + ___
    So fängst du an:
    19 wird zu 21: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 19 wird zu 21: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 68 um 2 kleiner.
    3. 68 − 2 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 6 = 9 · ___
    18 · 6=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 16 · 12 = 8 · ___
    16 · 12=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    So fängst du an:
    14 · 15 = 7 · 30
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 35
    Lösung zeigen
    1. 14 · 35 = 7 · 70
    2. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 70? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
  2. 8 · 70 = 560 und 8 · 0 = 0
  3. Zusammen: 560
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
  2. 8 · 70 = 560 und 8 · 0 = 0
  3. Zusammen: 560
Ergebnis:
zerlegen, 560

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 29 + 32 + 71? Nenne ihn. Rechne danach.
    29 + 32 + 71zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 29 + 71 = 100
    3. 100 + 32 = 132
    Ergebnis:
    vertauschen, 132
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 34? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 34zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 34 = 30 + 4.
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 4 = 24
    3. Zusammen: 204
    Ergebnis:
    zerlegen, 204
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 184 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 184 + 598 = 182 + 600
    3. 182 + 600 = 782
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 782

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul rechnet 217 : 7 und erhält 30. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
217 : 7Ergebnis 30?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 30 · 7 = 210
  2. 210 ist nicht 217: Es ist falsch.
  3. 217 : 7 = 31
  1. Umkehraufgabe: 30 · 7 = 210
  2. 210 ist nicht 217: Es ist falsch.
  3. 217 : 7 = 31
Ergebnis:
falsch, richtig ist 31

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Hanna erhält für 39 · 44 das Ergebnis 1816. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 40 = 1600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 40 = 1600
    2. 1816 liegt zu weit weg. Genau: 39 · 44 = 1716
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1716
  2. ●23
    Ben erhält für 75 · 17 das Ergebnis 2275. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
    2. 2275 liegt zu weit weg. Genau: 75 · 17 = 1275
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1275
  3. ★24
    Emma erhält für 458 · 15 das Ergebnis 6870. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 500 · 20 = 10.000
    2. 6870 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 458 · 15 = 6870
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 6870

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 17 + 71 + 83
    177183
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 83 + 71
    2. 17 + 83 = 100
    3. 100 + 71 = 171
    Ergebnis:
    171
  2. ●26
    Rechne geschickt: 5 · 4 · 25
    5425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 5
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 5 = 500
    Ergebnis:
    500
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 59
    6959
    Lösung zeigen
    1. 69 bekommt 1 dazu, 59 gibt 1 ab.
    2. 69 + 59 = 70 + 58
    3. 70 + 58 = 128
    Ergebnis:
    128
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 110 − 48 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 110 um 2 größer: 112.
    3. 112 − 50 = 62
    Ergebnis:
    112
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 63
    Lösung zeigen
    1. 63 = 60 + 3
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 3 = 18
    3. 360 + 18 = 378
    Ergebnis:
    378
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 25 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2054
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 20 = 80
    2. Rechter Teil: 4 · 5 = 20
    3. Zusammen: 80 + 20 = 100
    Ergebnis:
    100 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 14 + 72 + 6
    14726
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    92

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 39 = 40 + ___
    3939
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    117

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 270 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 34 + 57 = 32 + ___
    34 + 57=32 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul rechnet 490 : 5 und erhält 100. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    490 : 5Ergebnis 100?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 98

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 119
  2. 98
  3. 378
  4. 56
  5. 92
  6. 1011
  7. 42 Bonbons
  8. 295
  9. 539 Bonbons
  10. 14
  11. 65 Bücher
  12. 139
  13. 66
  14. 12
  15. 24
  16. 210
  17. 80
  18. 490
  19. vertauschen, 132
  20. zerlegen, 204
  21. gegensinnig verändern, 782
  22. falsch, richtig ist 1716
  23. falsch, richtig ist 1275
  24. stimmt, 6870
  25. 171
  26. 500
  27. 128
  28. 112
  29. 378
  30. 100 Kästchen
  31. 92
  32. 38
  33. 117
  34. 54
  35. 59
  36. 400
  37. halbieren und verdoppeln, 200
  38. falsch, richtig ist 98
  39. 37
  40. 28
  41. 25
  42. 5