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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 32 − 2 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 3 = 6
    2. 32 − 6 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●40
    Rechne: (8 + 2) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 2 = 10
    2. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 9 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 4 = 36
    2. 12 + 36 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 7 und erhalte 16. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 27 + 26 + 3
27263
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 27 + 3 + 26
  2. 27 + 3 = 30
  3. 30 + 26 = 56
  1. Vertauschen: 27 + 3 + 26
  2. 27 + 3 = 30
  3. 30 + 26 = 56
Ergebnis:
56

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 52 + 83 + 48 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    528348
    So fängst du an:
    Vertauschen: 52 + 48 + 83
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 52 + 48 + 83
    2. 52 + 48 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 83 = 183
    Ergebnis:
    183
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 45 + 14 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    64514
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 45
    2. 6 + 14 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 45 = 65
    Ergebnis:
    65
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 79 + 274 + 59 + 21 + 41 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    79274592141
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 79 + 21 + 59 + 41 + 274
    2. 79 + 21 = 100 und 59 + 41 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 100 + 274 = 474
    Ergebnis:
    474

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 29
3829
Schritt für Schritt
  1. 38 bekommt 2 dazu, 29 gibt 2 ab.
  2. 38 + 29 = 40 + 27
  3. 40 + 27 = 67
  1. 38 bekommt 2 dazu, 29 gibt 2 ab.
  2. 38 + 29 = 40 + 27
  3. 40 + 27 = 67
Ergebnis:
67

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 34
    9934
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 34 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 34 gibt 1 ab.
    2. 99 + 34 = 100 + 33
    3. 100 + 33 = 133
    Ergebnis:
    133
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 54 = 100 + ___
    9954
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 54 um 1 kleiner werden: 54 − 1 = 53
    3. 100 + 53 = 153
    Ergebnis:
    53
  3. ★6
    Lea rechnet 497 + 346 als 500 + 346. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    497346
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 497 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 500 + 346 = 846.
    3. 3 wieder abziehen: 846 − 3 = 843
    Ergebnis:
    843

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Tüten mit je 27 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 27
  2. 27 = 20 + 7
  3. 7 · 20 = 140 und 7 · 7 = 49
  4. 140 + 49 = 189
  1. 7 · 27
  2. 27 = 20 + 7
  3. 7 · 20 = 140 und 7 · 7 = 49
  4. 140 + 49 = 189
Ergebnis:
189 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Hefte mit je 18 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 18
    Lösung zeigen
    1. 8 · 18
    2. 18 = 10 + 8
    3. 8 · 10 = 80 und 8 · 8 = 64
    4. 80 + 64 = 144
    Ergebnis:
    144 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    3. 280 − 7 = 273
    Ergebnis:
    273
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 98
    Lösung zeigen
    1. 98 = 100 − 2
    2. 9 · 100 = 900 und 9 · 2 = 18
    3. 900 − 18 = 882
    Ergebnis:
    882

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 126 : 7
Schritt für Schritt
  1. 126 = 70 + 56
  2. 70 : 7 = 10 und 56 : 7 = 8
  3. 10 + 8 = 18
  1. 126 = 70 + 56
  2. 70 : 7 = 10 und 56 : 7 = 8
  3. 10 + 8 = 18
Ergebnis:
18

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 155 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 155 : 5?
    155: 5
    So fängst du an:
    155 = 150 + 5
    Lösung zeigen
    1. 155 = 150 + 5
    2. 150 : 5 = 30 und 5 : 5 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●11
    126 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 126 : 9
    2. 126 = 90 + 36
    3. 90 : 9 = 10 und 36 : 9 = 4
    4. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 885 : 5
    Lösung zeigen
    1. 885 = 850 + 35
    2. 850 : 5 = 170 und 35 : 5 = 7
    3. 170 + 7 = 177
    Ergebnis:
    177

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 14 + 46 = 12 + ___
14 + 46=12 + ?
Schritt für Schritt
  1. 14 wird zu 12: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 46 um 2 größer.
  3. 46 + 2 = 48
  1. 14 wird zu 12: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 46 um 2 größer.
  3. 46 + 2 = 48
Ergebnis:
48

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 10 = 7 · ___
    So fängst du an:
    14 wird halb so groß: 7.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 65 − 22 = ___ − 23
    Lösung zeigen
    1. 22 wird zu 23: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 65 um 1 größer.
    3. 65 + 1 = 66
    Ergebnis:
    66
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 36 + 88 = 38 + ___
    36 + 88=38 + ?
    Lösung zeigen
    1. 36 wird zu 38: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 88 um 2 kleiner.
    3. 88 − 2 = 86
    Ergebnis:
    86

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
Schritt für Schritt
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 22 · 15 = 11 · 30
    3. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 42 + 64 + 58? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 42 + 58 = 100
  3. 100 + 64 = 164
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 42 + 58 = 100
  3. 100 + 64 = 164
Ergebnis:
vertauschen, 164

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 17 + 32 + 83? Nenne ihn. Rechne danach.
    17 + 32 + 83zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 17 + 83 = 100
    3. 100 + 32 = 132
    Ergebnis:
    vertauschen, 132
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 36 + 25 + 64? Nenne ihn. Rechne danach.
    36 + 25 + 64zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 36 + 64 = 100
    3. 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    vertauschen, 125
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 6329 − 1719? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 6329 − 1719 = 4610
    Ergebnis:
    schriftlich, 4610

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 238 : 7 und erhält 33. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
238 : 7Ergebnis 33?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 33 · 7 = 231
  2. 231 ist nicht 238: Es ist falsch.
  3. 238 : 7 = 34
  1. Umkehraufgabe: 33 · 7 = 231
  2. 231 ist nicht 238: Es ist falsch.
  3. 238 : 7 = 34
Ergebnis:
falsch, richtig ist 34

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 405 : 9 und erhält 44. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    405 : 9Ergebnis 44?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 44 · 9 = 396
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 44 · 9 = 396
    2. 396 ist nicht 405: Es ist falsch.
    3. 405 : 9 = 45
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 45
  2. ●23
    Sofia rechnet 329 − 175 und erhält 164. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 164 + 175 = 339
    2. 339 ist nicht 329: Es ist falsch.
    3. 329 − 175 = 154
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 154
  3. ★24
    Lea rechnet 7623 − 6302 und erhält 1321. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1321 + 6302 = 7623
    2. 7623 ist genau 7623: Es stimmt.
    3. 7623 − 6302 = 1321
    Ergebnis:
    stimmt, 1321

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 31 + 13 + 19 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    311319
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 19 + 13
    2. 31 + 19 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 13 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●26
    Rechne geschickt: 4 · 50 · 2
    4502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 4
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 4 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 39 = 50 + ___
    4839
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 39 um 2 kleiner werden: 39 − 2 = 37
    3. 50 + 37 = 87
    Ergebnis:
    37
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 101 − 28 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 28 wird zu 30: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 101 um 2 größer: 103.
    3. 103 − 30 = 73
    Ergebnis:
    103
  5. ●29
    Es gibt 6 Hefte mit je 33 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 33
    2. 33 = 30 + 3
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 3 = 18
    4. 180 + 18 = 198
    Ergebnis:
    198 Hefte
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 19 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1097
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 10 = 70
    2. Rechter Teil: 7 · 9 = 63
    3. Zusammen: 70 + 63 = 133
    Ergebnis:
    133 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 39 + 26 + 21 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    392621
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    86

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 45 = 200 + ___
    19745
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 44
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    396

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 135 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 135 : 9?
    135: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 22 + 25 = 20 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom rechnet 600 : 8 und erhält 85. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    600 : 8Ergebnis 85?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 75

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 183
  2. 65
  3. 474
  4. 133
  5. 53
  6. 843
  7. 144 Hefte
  8. 273
  9. 882
  10. 31
  11. 14 Sticker
  12. 177
  13. 20
  14. 66
  15. 86
  16. 200
  17. 210
  18. 330
  19. vertauschen, 132
  20. vertauschen, 125
  21. schriftlich, 4610
  22. falsch, richtig ist 45
  23. falsch, richtig ist 154
  24. stimmt, 1321
  25. 63
  26. 400
  27. 37
  28. 103
  29. 198 Hefte
  30. 133 Kästchen
  31. 86
  32. 42
  33. 396
  34. 15
  35. 27
  36. 400
  37. halbieren und verdoppeln, 90
  38. falsch, richtig ist 75
  39. 26
  40. 20
  41. 48
  42. 9