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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 9 + 20 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●40
    Rechne: (6 + 3) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 3 = 9
    2. 9 · 8 = 72
    Ergebnis:
    72

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 10 + 20 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 30 und erhalte 67. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Ben rechnet 56 + 83 + 44 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
568344
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 56 + 44 + 83
  2. 56 + 44 = 100
  3. 100 + 83 = 183
  1. Vertauschen: 56 + 44 + 83
  2. 56 + 44 = 100
  3. 100 + 83 = 183
Ergebnis:
183

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 14 + 84 + 6 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    14846
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 6 + 84
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 84
    2. 14 + 6 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 84 = 104
    Ergebnis:
    104
  2. ●2
    Rechne geschickt: 39 + 82 + 11
    398211
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 39 + 11 + 82
    2. 39 + 11 = 50
    3. 50 + 82 = 132
    Ergebnis:
    132
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 129 + 664 + 71 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    12966471
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 129 + 71 + 664
    2. 129 + 71 = 200
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 664 = 864
    Ergebnis:
    864

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Can rechnet 298 + 83 als 300 + 83. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
29883
Schritt für Schritt
  1. Can hat 298 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 83 = 383.
  3. 2 wieder abziehen: 383 − 2 = 381
  1. Can hat 298 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 83 = 383.
  3. 2 wieder abziehen: 383 − 2 = 381
Ergebnis:
381

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 38 = 70 + ___
    6738
    So fängst du an:
    67 wird zu 70: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 38 um 3 kleiner werden: 38 − 3 = 35
    3. 70 + 35 = 105
    Ergebnis:
    35
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 69
    6769
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 69 gibt 3 ab.
    2. 67 + 69 = 70 + 66
    3. 70 + 66 = 136
    Ergebnis:
    136
  3. ★6
    Elias rechnet 997 + 179 als 1000 + 179. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    997179
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 997 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 1000 + 179 = 1179.
    3. 3 wieder abziehen: 1179 − 3 = 1176
    Ergebnis:
    1176

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 17
Schritt für Schritt
  1. 17 = 10 + 7
  2. 3 · 10 = 30 und 3 · 7 = 21
  3. 30 + 21 = 51
  1. 17 = 10 + 7
  2. 3 · 10 = 30 und 3 · 7 = 21
  3. 30 + 21 = 51
Ergebnis:
51

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 − 7 = 413
    Ergebnis:
    413
  2. ●8
    Es gibt 3 Tüten mit je 22 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 22
    2. 22 = 20 + 2
    3. 3 · 20 = 60 und 3 · 2 = 6
    4. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66 Bonbons
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 9 · 464
    Lösung zeigen
    1. 464 = 400 + 60 + 4
    2. 9 · 400 = 3600; 9 · 60 = 540; 9 · 4 = 36
    3. 3600 + 540 + 36 = 4176
    Ergebnis:
    4176

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

104 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 104 : 4
  2. 104 = 80 + 24
  3. 80 : 4 = 20 und 24 : 4 = 6
  4. 20 + 6 = 26
  1. 104 : 4
  2. 104 = 80 + 24
  3. 80 : 4 = 20 und 24 : 4 = 6
  4. 20 + 6 = 26
Ergebnis:
26 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 330 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 330 : 6?
    330: 6
    So fängst du an:
    330 = 300 + 30
    Lösung zeigen
    1. 330 = 300 + 30
    2. 300 : 6 = 50 und 30 : 6 = 5
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●11
    192 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 192 : 8
    2. 192 = 160 + 32
    3. 160 : 8 = 20 und 32 : 8 = 4
    4. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 1611 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 1611 : 9?
    1611: 9
    Lösung zeigen
    1. 1611 = 1530 + 81
    2. 1530 : 9 = 170 und 81 : 9 = 9
    3. 170 + 9 = 179
    Ergebnis:
    179

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 76 + 53 = 79 + ___
Schritt für Schritt
  1. 76 wird zu 79: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 53 um 3 kleiner.
  3. 53 − 3 = 50
  1. 76 wird zu 79: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 53 um 3 kleiner.
  3. 53 − 3 = 50
Ergebnis:
50

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 41 + 33 = 31 + ___
    41 + 33=31 + ?
    So fängst du an:
    41 wird zu 31: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 41 wird zu 31: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 33 um 10 größer.
    3. 33 + 10 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 90 − 65 = ___ − 67
    Lösung zeigen
    1. 65 wird zu 67: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 90 um 2 größer.
    3. 90 + 2 = 92
    Ergebnis:
    92
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 12 · 13 = 6 · ___
    12 · 13=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Elias verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Sofia verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 282 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
282 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 282 + 198 = 280 + 200
  3. 280 + 200 = 480
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 282 + 198 = 280 + 200
  3. 280 + 200 = 480
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 480

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 36 + 43 + 64? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 36 + 64 = 100
    3. 100 + 43 = 143
    Ergebnis:
    vertauschen, 143
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 152 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    152 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 152 + 598 = 150 + 600
    3. 150 + 600 = 750
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 750
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 15 + 21 + 85? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 15 + 85 = 100
    3. 100 + 21 = 121
    Ergebnis:
    vertauschen, 121

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lea rechnet 225 : 3 und erhält 75. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
225 : 3Ergebnis 75?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 75 · 3 = 225
  2. 225 ist genau 225: Es stimmt.
  3. 225 : 3 = 75
  1. Umkehraufgabe: 75 · 3 = 225
  2. 225 ist genau 225: Es stimmt.
  3. 225 : 3 = 75
Ergebnis:
stimmt, 75

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 935 − 737 und erhält 298. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 298 + 737 = 1035
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 298 + 737 = 1035
    2. 1035 ist nicht 935: Es ist falsch.
    3. 935 − 737 = 198
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 198
  2. ●23
    Ben rechnet 803 − 281 und erhält 542. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 542 + 281 = 823
    2. 823 ist nicht 803: Es ist falsch.
    3. 803 − 281 = 522
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 522
  3. ★24
    Ben erhält für 334 · 28 das Ergebnis 9152. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 30 = 9000
    2. 9152 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 334 · 28 = 9352
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 9352

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Sofia rechnet 27 + 44 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    274423
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 23 + 44
    2. 27 + 23 = 50
    3. 50 + 44 = 94
    Ergebnis:
    94
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 12 · 4 · 25 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    12425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 12
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 79 = 200 + ___
    19879
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 79 um 2 kleiner werden: 79 − 2 = 77
    3. 200 + 77 = 277
    Ergebnis:
    77
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 127 − 38 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 127 um 2 größer: 129.
    3. 129 − 40 = 89
    Ergebnis:
    129
  5. ●29
    Es gibt 5 Reihen mit je 56 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 56
    2. 56 = 50 + 6
    3. 5 · 50 = 250 und 5 · 6 = 30
    4. 250 + 30 = 280
    Ergebnis:
    280 Stühle
  6. ●30
    Emma rechnet 7 · 12 so: erst 7 · 10, dann 2 dazu. Emma erhält 72. Zeige am Bild, was fehlt.
    1027
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 7 · 2 = 14
    3. 70 + 14 = 84
    Ergebnis:
    84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Milan rechnet 9 + 28 + 21 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    92821
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 62
    29962
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    361

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 9 Reihen mit je 24 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    216 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    123 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 40 − 31 = ___ − 32
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Noah verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 65? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 455

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia erhält für 48 · 43 das Ergebnis 2064. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 2064

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 104
  2. 132
  3. 864
  4. 35
  5. 136
  6. 1176
  7. 413
  8. 66 Bonbons
  9. 4176
  10. 55
  11. 24 Murmeln
  12. 179
  13. 43
  14. 92
  15. 26
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. 400
  19. vertauschen, 143
  20. gegensinnig verändern, 750
  21. vertauschen, 121
  22. falsch, richtig ist 198
  23. falsch, richtig ist 522
  24. falsch, richtig ist 9352
  25. 94
  26. 1200
  27. 77
  28. 129
  29. 280 Stühle
  30. 84
  31. 58
  32. 361
  33. 216 Stühle
  34. 41 Bücher
  35. 41
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  37. zerlegen, 455
  38. stimmt, 2064
  39. 29
  40. 72
  41. 30
  42. 37