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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 2 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 3 = 6
    2. 8 + 6 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●40
    Rechne: (8 + 5) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 5 = 13
    2. 13 · 9 = 117
    Ergebnis:
    117

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 3 + 24 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 51. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 22 + 15 + 78 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
221578
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 22 + 78 + 15
  2. 22 + 78 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 15 = 115
  1. Vertauschen: 22 + 78 + 15
  2. 22 + 78 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 15 = 115
Ergebnis:
115

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Sofia rechnet 33 + 39 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    33397
    So fängst du an:
    Vertauschen: 33 + 7 + 39
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 7 + 39
    2. 33 + 7 = 40
    3. 40 + 39 = 79
    Ergebnis:
    79
  2. ●2
    Rechne geschickt: 91 + 28 + 9
    91289
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 91 + 9 + 28
    2. 91 + 9 = 100
    3. 100 + 28 = 128
    Ergebnis:
    128
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 338 + 85 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    1533885
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 85 + 338
    2. 15 + 85 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 338 = 438
    Ergebnis:
    438

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Jonas rechnet 37 + 77 als 40 + 77. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
3777
Schritt für Schritt
  1. Jonas hat 37 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 77 = 117.
  3. 3 wieder abziehen: 117 − 3 = 114
  1. Jonas hat 37 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 77 = 117.
  3. 3 wieder abziehen: 117 − 3 = 114
Ergebnis:
114

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Paul rechnet 39 + 24 als 40 + 24. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    3924
    So fängst du an:
    Paul hat 39 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 24 = 64.
    3. 1 wieder abziehen: 64 − 1 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 64
    6864
    Lösung zeigen
    1. 68 bekommt 2 dazu, 64 gibt 2 ab.
    2. 68 + 64 = 70 + 62
    3. 70 + 62 = 132
    Ergebnis:
    132
  3. ★6
    Noah rechnet 496 + 137 als 500 + 137. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    496137
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 496 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 500 + 137 = 637.
    3. 4 wieder abziehen: 637 − 4 = 633
    Ergebnis:
    633

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
  3. 360 − 6 = 354
  1. 59 = 60 − 1
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
  3. 360 − 6 = 354
Ergebnis:
354

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Hefte mit je 31 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 31
    Lösung zeigen
    1. 4 · 31
    2. 31 = 30 + 1
    3. 4 · 30 = 120 und 4 · 1 = 4
    4. 120 + 4 = 124
    Ergebnis:
    124 Hefte
  2. ●8
    Es gibt 6 Tüten mit je 19 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 19
    2. 19 = 10 + 9
    3. 6 · 10 = 60 und 6 · 9 = 54
    4. 60 + 54 = 114
    Ergebnis:
    114 Bonbons
  3. ★9
    Es gibt 4 Tüten mit je 45 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 45
    2. 45 = 40 + 5
    3. 4 · 40 = 160 und 4 · 5 = 20
    4. 160 + 20 = 180
    Ergebnis:
    180 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 232 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 232 : 8?
232: 8
Schritt für Schritt
  1. 232 = 160 + 72
  2. 160 : 8 = 20 und 72 : 8 = 9
  3. 20 + 9 = 29
  1. 232 = 160 + 72
  2. 160 : 8 = 20 und 72 : 8 = 9
  3. 20 + 9 = 29
Ergebnis:
29

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 171 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 171 : 3?
    171: 3
    So fängst du an:
    171 = 150 + 21
    Lösung zeigen
    1. 171 = 150 + 21
    2. 150 : 3 = 50 und 21 : 3 = 7
    3. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●11
    Zerlege 175 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 175 : 7?
    175: 7
    Lösung zeigen
    1. 175 = 140 + 35
    2. 140 : 7 = 20 und 35 : 7 = 5
    3. 20 + 5 = 25
    Ergebnis:
    25
  3. ★12
    266 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 266 : 7
    2. 266 = 210 + 56
    3. 210 : 7 = 30 und 56 : 7 = 8
    4. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 40 − 24 = ___ − 34
Schritt für Schritt
  1. 24 wird zu 34: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 40 um 10 größer.
  3. 40 + 10 = 50
  1. 24 wird zu 34: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 40 um 10 größer.
  3. 40 + 10 = 50
Ergebnis:
50

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 96 − 79 = ___ − 84
    So fängst du an:
    79 wird zu 84: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 79 wird zu 84: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 96 um 5 größer.
    3. 96 + 5 = 101
    Ergebnis:
    101
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 12 · 8 = 6 · ___
    12 · 8=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 69 − 18 = ___ − 23
    Lösung zeigen
    1. 18 wird zu 23: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 5 größer.
    3. 69 + 5 = 74
    Ergebnis:
    74

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lea verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Emma verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 46 + 61 + 54? Nenne ihn. Rechne danach.
46 + 61 + 54zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 46 + 54 = 100
  3. 100 + 61 = 161
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 46 + 54 = 100
  3. 100 + 61 = 161
Ergebnis:
vertauschen, 161

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 6 · 68? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 68zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 68 = 60 + 8.
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 8 = 48
    3. Zusammen: 408
    Ergebnis:
    zerlegen, 408
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 656 − 283 und erhält 373. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 373 + 283 = 656
  2. 656 ist genau 656: Es stimmt.
  3. 656 − 283 = 373
  1. Umkehraufgabe: 373 + 283 = 656
  2. 656 ist genau 656: Es stimmt.
  3. 656 − 283 = 373
Ergebnis:
stimmt, 373

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mia rechnet 120 : 4 und erhält 31. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    120 : 4Ergebnis 31?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 31 · 4 = 124
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 31 · 4 = 124
    2. 124 ist nicht 120: Es ist falsch.
    3. 120 : 4 = 30
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 30
  2. ●23
    Milan rechnet 863 − 603 und erhält 250. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 250 + 603 = 853
    2. 853 ist nicht 863: Es ist falsch.
    3. 863 − 603 = 260
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 260
  3. ★24
    Emma rechnet 8747 − 933 und erhält 7824. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 7824 + 933 = 8757
    2. 8757 ist nicht 8747: Es ist falsch.
    3. 8747 − 933 = 7814
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 7814

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 14 + 29 + 36
    142936
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 36 + 29
    2. 14 + 36 = 50
    3. 50 + 29 = 79
    Ergebnis:
    79
  2. ●26
    Rechne geschickt: 12 · 20 · 5
    12205
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 12
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 64 = 70 + ___
    6964
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Also muss 64 um 1 kleiner werden: 64 − 1 = 63
    3. 70 + 63 = 133
    Ergebnis:
    63
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 77 − 47 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 77 um 3 größer: 80.
    3. 80 − 50 = 30
    Ergebnis:
    80
  5. ●29
    Es gibt 9 Tüten mit je 65 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 65
    2. 65 = 60 + 5
    3. 9 · 60 = 540 und 9 · 5 = 45
    4. 540 + 45 = 585
    Ergebnis:
    585 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 14 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1045
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 10 = 50
    2. Rechter Teil: 5 · 4 = 20
    3. Zusammen: 50 + 20 = 70
    Ergebnis:
    70 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Aylin rechnet 4 + 25 + 36 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    42536
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 54
    4954
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    103

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 9 Tüten mit je 25 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    225 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    102 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 34 + 40 = 32 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Milan verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 164 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 762

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias erhält für 81 · 32 das Ergebnis 3592. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2592

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 79
  2. 128
  3. 438
  4. 63
  5. 132
  6. 633
  7. 124 Hefte
  8. 114 Bonbons
  9. 180 Bonbons
  10. 57
  11. 25
  12. 38 Murmeln
  13. 101
  14. 16
  15. 74
  16. 200
  17. 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 330
  19. halbieren und verdoppeln, 70
  20. zerlegen, 408
  21. halbieren und verdoppeln, 300
  22. falsch, richtig ist 30
  23. falsch, richtig ist 260
  24. falsch, richtig ist 7814
  25. 79
  26. 1200
  27. 63
  28. 80
  29. 585 Bonbons
  30. 70 Kästchen
  31. 65
  32. 103
  33. 225 Bonbons
  34. 34 Sticker
  35. 42
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. gegensinnig verändern, 762
  38. falsch, richtig ist 2592
  39. 14
  40. 117
  41. 27
  42. 23