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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 8 + 24 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●40
    Rechne: (3 + 2) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 2 = 5
    2. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 6 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 8 = 48
    2. 3 + 48 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 23 und erhalte 74. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 4 + 48 + 36 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
44836
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 4 + 36 + 48
  2. 4 + 36 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 48 = 88
  1. Vertauschen: 4 + 36 + 48
  2. 4 + 36 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 48 = 88
Ergebnis:
88

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 12 + 23 + 38
    122338
    So fängst du an:
    Vertauschen: 12 + 38 + 23
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 38 + 23
    2. 12 + 38 = 50
    3. 50 + 23 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●2
    Noah rechnet 11 + 65 + 19 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    116519
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 19 + 65
    2. 11 + 19 = 30
    3. 30 + 65 = 95
    Ergebnis:
    95
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 237 + 548 + 63 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    23754863
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 237 + 63 + 548
    2. 237 + 63 = 300
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 548 = 848
    Ergebnis:
    848

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 79 = 70 + ___
6979
Schritt für Schritt
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 79 um 1 kleiner werden: 79 − 1 = 78
  3. 70 + 78 = 148
  1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
  2. Also muss 79 um 1 kleiner werden: 79 − 1 = 78
  3. 70 + 78 = 148
Ergebnis:
78

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 46 = 50 + ___
    4746
    So fängst du an:
    47 wird zu 50: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 46 um 3 kleiner werden: 46 − 3 = 43
    3. 50 + 43 = 93
    Ergebnis:
    43
  2. ●5
    Noah rechnet 37 + 97 als 40 + 97. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    3797
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 97 = 137.
    3. 3 wieder abziehen: 137 − 3 = 134
    Ergebnis:
    134
  3. ★6
    Can rechnet 499 + 948 als 500 + 948. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    499948
    Lösung zeigen
    1. Can hat 499 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 500 + 948 = 1448.
    3. 1 wieder abziehen: 1448 − 1 = 1447
    Ergebnis:
    1447

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Hefte mit je 52 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 52
  2. 52 = 50 + 2
  3. 7 · 50 = 350 und 7 · 2 = 14
  4. 350 + 14 = 364
  1. 7 · 52
  2. 52 = 50 + 2
  3. 7 · 50 = 350 und 7 · 2 = 14
  4. 350 + 14 = 364
Ergebnis:
364 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Reihen mit je 43 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 43
    Lösung zeigen
    1. 7 · 43
    2. 43 = 40 + 3
    3. 7 · 40 = 280 und 7 · 3 = 21
    4. 280 + 21 = 301
    Ergebnis:
    301 Stühle
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 58
    Lösung zeigen
    1. 58 = 50 + 8
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 8 = 48
    3. 300 + 48 = 348
    Ergebnis:
    348
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 40 + 9
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 9 = 27
    3. 120 + 27 = 147
    Ergebnis:
    147

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 246 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 246 : 6?
246: 6
Schritt für Schritt
  1. 246 = 240 + 6
  2. 240 : 6 = 40 und 6 : 6 = 1
  3. 40 + 1 = 41
  1. 246 = 240 + 6
  2. 240 : 6 = 40 und 6 : 6 = 1
  3. 40 + 1 = 41
Ergebnis:
41

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 165 : 3
    So fängst du an:
    165 = 150 + 15
    Lösung zeigen
    1. 165 = 150 + 15
    2. 150 : 3 = 50 und 15 : 3 = 5
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 140 : 4
    Lösung zeigen
    1. 140 = 120 + 20
    2. 120 : 4 = 30 und 20 : 4 = 5
    3. 30 + 5 = 35
    Ergebnis:
    35
  3. ★12
    Zerlege 740 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 740 : 4?
    740: 4
    Lösung zeigen
    1. 740 = 720 + 20
    2. 720 : 4 = 180 und 20 : 4 = 5
    3. 180 + 5 = 185
    Ergebnis:
    185

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 10 = 4 · ___
8 · 10=4 · ?
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 21 + 76 = 19 + ___
    21 + 76=19 + ?
    So fängst du an:
    21 wird zu 19: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 21 wird zu 19: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 76 um 2 größer.
    3. 76 + 2 = 78
    Ergebnis:
    78
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 89 − 37 = ___ − 47
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 47: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 89 um 10 größer.
    3. 89 + 10 = 99
    Ergebnis:
    99
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 5 = 2 · ___
    4 · 5=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 36 · 5
    Lösung zeigen
    1. 36 · 5 = 18 · 10
    2. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 79? Nenne ihn und rechne.
6 · 79zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 79 = 70 + 9.
  2. 6 · 70 = 420 und 6 · 9 = 54
  3. Zusammen: 474
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 79 = 70 + 9.
  2. 6 · 70 = 420 und 6 · 9 = 54
  3. Zusammen: 474
Ergebnis:
zerlegen, 474

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 7187 − 2556? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 7187 − 2556 = 4631
    Ergebnis:
    schriftlich, 4631

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina erhält für 89 · 29 das Ergebnis 2681. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 90 · 30 = 2700
  2. 2681 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 89 · 29 = 2581
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 90 · 30 = 2700
  2. 2681 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 89 · 29 = 2581
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2581

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 809 − 742 und erhält 77. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 77 + 742 = 819
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 77 + 742 = 819
    2. 819 ist nicht 809: Es ist falsch.
    3. 809 − 742 = 67
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 67
  2. ●23
    Lea erhält für 52 · 35 das Ergebnis 2020. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 40 = 2000
    2. 2020 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 52 · 35 = 1820
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1820
  3. ★24
    Tom rechnet 1636 : 4 und erhält 409. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1636 : 4Ergebnis 409?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 409 · 4 = 1636
    2. 1636 ist genau 1636: Es stimmt.
    3. 1636 : 4 = 409
    Ergebnis:
    stimmt, 409

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Aylin rechnet 15 + 81 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    158115
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 15 + 81
    2. 15 + 15 = 30
    3. 30 + 81 = 111
    Ergebnis:
    111
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 13 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Packungen13 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 13
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 13 = 130
    Ergebnis:
    130 Bälle
  3. ●27
    Sofia rechnet 48 + 65 als 50 + 65. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    4865
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 65 = 115.
    3. 2 wieder abziehen: 115 − 2 = 113
    Ergebnis:
    113
  4. ●28
    Aylin rechnet 60 − 29 als 60 − 30 und erhält 30. Ist das schon das Ergebnis?
    60 − 2960 − 30
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    Nein, 31
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 58
    Lösung zeigen
    1. 58 = 50 + 8
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 8 = 72
    3. 450 + 72 = 522
    Ergebnis:
    522
  6. ●30
    Elias rechnet 7 · 12 so: erst 7 · 10, dann 2 dazu. Elias erhält 72. Zeige am Bild, was fehlt.
    1027
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 7 · 2 = 14
    3. 70 + 14 = 84
    Ergebnis:
    84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 19 + 48 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    121948
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    79

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 68 = 70 + ___
    6868
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Reihen mit je 24 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    424 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 8 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 78? Nenne ihn und rechne.
    8 · 78zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 624

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can erhält für 56 · 35 das Ergebnis 2960. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1960

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 73
  2. 95
  3. 848
  4. 43
  5. 134
  6. 1447
  7. 301 Stühle
  8. 348
  9. 147
  10. 55
  11. 35
  12. 185
  13. 78
  14. 99
  15. 10
  16. 200
  17. 70
  18. 180
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. halbieren und verdoppeln, 200
  21. schriftlich, 4631
  22. falsch, richtig ist 67
  23. falsch, richtig ist 1820
  24. stimmt, 409
  25. 111
  26. 130 Bälle
  27. 113
  28. Nein, 31
  29. 522
  30. 84
  31. 79
  32. 66
  33. 72 Stühle
  34. 53 Sticker
  35. 16
  36. 400
  37. zerlegen, 624
  38. falsch, richtig ist 1960
  39. 32
  40. 10
  41. 51
  42. 51