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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 3 + 20 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●40
    Rechne: (5 + 7) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 7 = 12
    2. 12 · 8 = 96
    Ergebnis:
    96

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 6 + 32 = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 25 und erhalte 61. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 9 + 74 + 11 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
97411
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 9 + 11 + 74
  2. 9 + 11 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 74 = 94
  1. Vertauschen: 9 + 11 + 74
  2. 9 + 11 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 74 = 94
Ergebnis:
94

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lina rechnet 72 + 62 + 28 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    726228
    So fängst du an:
    Vertauschen: 72 + 28 + 62
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 72 + 28 + 62
    2. 72 + 28 = 100
    3. 100 + 62 = 162
    Ergebnis:
    162
  2. ●2
    Rechne geschickt: 25 + 77 + 25
    257725
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 25 + 77
    2. 25 + 25 = 50
    3. 50 + 77 = 127
    Ergebnis:
    127
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 143 + 298 + 27 + 857 + 73 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    1432982785773
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 143 + 857 + 27 + 73 + 298
    2. 143 + 857 = 1000 und 27 + 73 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 298 = 1398
    Ergebnis:
    1398

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Noah rechnet 99 + 84 als 100 + 84. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
9984
Schritt für Schritt
  1. Noah hat 99 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 84 = 184.
  3. 1 wieder abziehen: 184 − 1 = 183
  1. Noah hat 99 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 84 = 184.
  3. 1 wieder abziehen: 184 − 1 = 183
Ergebnis:
183

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 25 = 100 + ___
    9825
    So fängst du an:
    98 wird zu 100: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 25 um 2 kleiner werden: 25 − 2 = 23
    3. 100 + 23 = 123
    Ergebnis:
    23
  2. ●5
    Mia rechnet 37 + 54 als 40 + 54. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    3754
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 54 = 94.
    3. 3 wieder abziehen: 94 − 3 = 91
    Ergebnis:
    91
  3. ★6
    Can rechnet 497 + 376 als 500 + 376. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    497376
    Lösung zeigen
    1. Can hat 497 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 500 + 376 = 876.
    3. 3 wieder abziehen: 876 − 3 = 873
    Ergebnis:
    873

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 15
Schritt für Schritt
  1. 15 = 10 + 5
  2. 4 · 10 = 40 und 4 · 5 = 20
  3. 40 + 20 = 60
  1. 15 = 10 + 5
  2. 4 · 10 = 40 und 4 · 5 = 20
  3. 40 + 20 = 60
Ergebnis:
60

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Tüten mit je 21 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 21
    Lösung zeigen
    1. 6 · 21
    2. 21 = 20 + 1
    3. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
    4. 120 + 6 = 126
    Ergebnis:
    126 Bonbons
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
    3. 160 − 4 = 156
    Ergebnis:
    156
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 79
    Lösung zeigen
    1. 79 = 70 + 9
    2. 8 · 70 = 560 und 8 · 9 = 72
    3. 560 + 72 = 632
    Ergebnis:
    632

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

186 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 186 : 6
  2. 186 = 180 + 6
  3. 180 : 6 = 30 und 6 : 6 = 1
  4. 30 + 1 = 31
  1. 186 : 6
  2. 186 = 180 + 6
  3. 180 : 6 = 30 und 6 : 6 = 1
  4. 30 + 1 = 31
Ergebnis:
31 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    288 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    288 : 8
    Lösung zeigen
    1. 288 : 8
    2. 288 = 240 + 48
    3. 240 : 8 = 30 und 48 : 8 = 6
    4. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36 Sticker
  2. ●11
    Zerlege 45 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 45 : 3?
    45: 3
    Lösung zeigen
    1. 45 = 30 + 15
    2. 30 : 3 = 10 und 15 : 3 = 5
    3. 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15
  3. ★12
    1155 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1155 : 7
    2. 1155 = 1120 + 35
    3. 1120 : 7 = 160 und 35 : 7 = 5
    4. 160 + 5 = 165
    Ergebnis:
    165 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 84 − 79 = ___ − 81
Schritt für Schritt
  1. 79 wird zu 81: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 84 um 2 größer.
  3. 84 + 2 = 86
  1. 79 wird zu 81: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 84 um 2 größer.
  3. 84 + 2 = 86
Ergebnis:
86

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 13 = 8 · ___
    16 · 13=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 88 + 71 = 90 + ___
    Lösung zeigen
    1. 88 wird zu 90: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 71 um 2 kleiner.
    3. 71 − 2 = 69
    Ergebnis:
    69
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 4 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
    3. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 36 · 5
    Lösung zeigen
    1. 36 · 5 = 18 · 10
    2. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 75? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 75 = 70 + 5.
  2. 4 · 70 = 280 und 4 · 5 = 20
  3. Zusammen: 300
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 75 = 70 + 5.
  2. 4 · 70 = 280 und 4 · 5 = 20
  3. Zusammen: 300
Ergebnis:
zerlegen, 300

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 39? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 39 = 30 + 9.
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 9 = 81
    3. Zusammen: 351
    Ergebnis:
    zerlegen, 351
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin erhält für 82 · 22 das Ergebnis 1704. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1704 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 82 · 22 = 1804
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1704 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 82 · 22 = 1804
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1804

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 276 : 4 und erhält 70. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    276 : 4Ergebnis 70?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 70 · 4 = 280
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 70 · 4 = 280
    2. 280 ist nicht 276: Es ist falsch.
    3. 276 : 4 = 69
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 69
  2. ●23
    Can rechnet 813 − 619 und erhält 204. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 204 + 619 = 823
    2. 823 ist nicht 813: Es ist falsch.
    3. 813 − 619 = 194
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 194
  3. ★24
    Zeynep rechnet 1148 : 4 und erhält 297. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1148 : 4Ergebnis 297?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 297 · 4 = 1188
    2. 1188 ist nicht 1148: Es ist falsch.
    3. 1148 : 4 = 287
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 287

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 4 + 41 + 16
    44116
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 16 + 41
    2. 4 + 16 = 20
    3. 20 + 41 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 14 · 20 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    14205
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 14
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 14 = 1400
    Ergebnis:
    1400
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 93
    6893
    Lösung zeigen
    1. 68 bekommt 2 dazu, 93 gibt 2 ab.
    2. 68 + 93 = 70 + 91
    3. 70 + 91 = 161
    Ergebnis:
    161
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 225 − 199 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 225 um 1 größer: 226.
    3. 226 − 200 = 26
    Ergebnis:
    226
  5. ●29
    Es gibt 9 Tüten mit je 66 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 66
    2. 66 = 60 + 6
    3. 9 · 60 = 540 und 9 · 6 = 54
    4. 540 + 54 = 594
    Ergebnis:
    594 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 28 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2084
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 20 = 80
    2. Rechter Teil: 4 · 8 = 32
    3. Zusammen: 80 + 32 = 112
    Ergebnis:
    112 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 11 + 28 + 9 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    11289
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 74 = 50 + ___
    4974
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    73

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    196

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    265 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 88 − 47 = ___ − 57
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    98

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 270 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    270 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 868

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin erhält für 30 · 19 das Ergebnis 570. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 570

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 162
  2. 127
  3. 1398
  4. 23
  5. 91
  6. 873
  7. 126 Bonbons
  8. 156
  9. 632
  10. 36 Sticker
  11. 15
  12. 165 Sticker
  13. 26
  14. 69
  15. 8
  16. 200
  17. 200
  18. 180
  19. halbieren und verdoppeln, 300
  20. zerlegen, 351
  21. halbieren und verdoppeln, 80
  22. falsch, richtig ist 69
  23. falsch, richtig ist 194
  24. falsch, richtig ist 287
  25. 61
  26. 1400
  27. 161
  28. 226
  29. 594 Bonbons
  30. 112 Kästchen
  31. 48
  32. 73
  33. 196
  34. 53 Sticker
  35. 98
  36. 80
  37. gegensinnig verändern, 868
  38. stimmt, 570
  39. 23
  40. 96
  41. 38
  42. 36