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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 4 + 15 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (3 + 7) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 7 = 10
    2. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 9 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 4 = 36
    2. 12 + 36 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 29 und erhalte 87. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Milan rechnet 45 + 18 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
45185
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 45 + 5 + 18
  2. 45 + 5 = 50
  3. 50 + 18 = 68
  1. Vertauschen: 45 + 5 + 18
  2. 45 + 5 = 50
  3. 50 + 18 = 68
Ergebnis:
68

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 62 + 89 + 38
    628938
    So fängst du an:
    Vertauschen: 62 + 38 + 89
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 62 + 38 + 89
    2. 62 + 38 = 100
    3. 100 + 89 = 189
    Ergebnis:
    189
  2. ●2
    Mia rechnet 17 + 59 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    175923
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 23 + 59
    2. 17 + 23 = 40
    3. 40 + 59 = 99
    Ergebnis:
    99
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 37 + 669 + 63 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    3766963
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 63 + 669
    2. 37 + 63 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 669 = 769
    Ergebnis:
    769

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Paul rechnet 98 + 95 als 100 + 95. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
9895
Schritt für Schritt
  1. Paul hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 95 = 195.
  3. 2 wieder abziehen: 195 − 2 = 193
  1. Paul hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 95 = 195.
  3. 2 wieder abziehen: 195 − 2 = 193
Ergebnis:
193

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 47 = 70 + ___
    6747
    So fängst du an:
    67 wird zu 70: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 47 um 3 kleiner werden: 47 − 3 = 44
    3. 70 + 44 = 114
    Ergebnis:
    44
  2. ●5
    Lina rechnet 47 + 35 als 50 + 35. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    4735
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 35 = 85.
    3. 3 wieder abziehen: 85 − 3 = 82
    Ergebnis:
    82
  3. ★6
    Milan rechnet 997 + 415 als 1000 + 415. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    997415
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 997 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 1000 + 415 = 1415.
    3. 3 wieder abziehen: 1415 − 3 = 1412
    Ergebnis:
    1412

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
  3. 240 − 8 = 232
  1. 29 = 30 − 1
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
  3. 240 − 8 = 232
Ergebnis:
232

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
    3. 80 − 4 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    3. 100 − 5 = 95
    Ergebnis:
    95
  3. ★9
    Es gibt 4 Tüten mit je 28 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 28
    2. 28 = 20 + 8
    3. 4 · 20 = 80 und 4 · 8 = 32
    4. 80 + 32 = 112
    Ergebnis:
    112 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 70 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 70 : 5?
70: 5
Schritt für Schritt
  1. 70 = 50 + 20
  2. 50 : 5 = 10 und 20 : 5 = 4
  3. 10 + 4 = 14
  1. 70 = 50 + 20
  2. 50 : 5 = 10 und 20 : 5 = 4
  3. 10 + 4 = 14
Ergebnis:
14

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 210 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 210 : 5?
    210: 5
    So fängst du an:
    210 = 200 + 10
    Lösung zeigen
    1. 210 = 200 + 10
    2. 200 : 5 = 40 und 10 : 5 = 2
    3. 40 + 2 = 42
    Ergebnis:
    42
  2. ●11
    405 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 405 : 9
    2. 405 = 360 + 45
    3. 360 : 9 = 40 und 45 : 9 = 5
    4. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 462 : 3
    Lösung zeigen
    1. 462 = 450 + 12
    2. 450 : 3 = 150 und 12 : 3 = 4
    3. 150 + 4 = 154
    Ergebnis:
    154

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 97 − 30 = ___ − 35
Schritt für Schritt
  1. 30 wird zu 35: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 97 um 5 größer.
  3. 97 + 5 = 102
  1. 30 wird zu 35: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 97 um 5 größer.
  3. 97 + 5 = 102
Ergebnis:
102

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 56 + 44 = 58 + ___
    56 + 44=58 + ?
    So fängst du an:
    56 wird zu 58: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 56 wird zu 58: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 44 um 2 kleiner.
    3. 44 − 2 = 42
    Ergebnis:
    42
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 23 + 17 = 21 + ___
    Lösung zeigen
    1. 23 wird zu 21: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 17 um 2 größer.
    3. 17 + 2 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 64 + 8 · 3 = 8 · ___
    8 · 64 + 8 · 3=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 8.
    2. 8 mal 64 und 8 mal 3 sind zusammen 8 mal (64 + 3).
    3. 64 + 3 = 67
    Ergebnis:
    67

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
Schritt für Schritt
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Noah verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 234 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
234 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 234 + 399 = 233 + 400
  3. 233 + 400 = 633
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 234 + 399 = 233 + 400
  3. 233 + 400 = 633
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 633

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 40 + 44 + 60? Nenne ihn. Rechne danach.
    40 + 44 + 60zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 40 + 60 = 100
    3. 100 + 44 = 144
    Ergebnis:
    vertauschen, 144
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 54? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 54zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 54 = 50 + 4.
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 4 = 32
    3. Zusammen: 432
    Ergebnis:
    zerlegen, 432

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias rechnet 495 : 5 und erhält 99. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
495 : 5Ergebnis 99?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 99 · 5 = 495
  2. 495 ist genau 495: Es stimmt.
  3. 495 : 5 = 99
  1. Umkehraufgabe: 99 · 5 = 495
  2. 495 ist genau 495: Es stimmt.
  3. 495 : 5 = 99
Ergebnis:
stimmt, 99

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias erhält für 23 · 29 das Ergebnis 567. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 20 · 30 = 600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 20 · 30 = 600
    2. 567 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 23 · 29 = 667
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 667
  2. ●23
    Elias erhält für 23 · 15 das Ergebnis 345. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 20 · 20 = 400
    2. 345 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 23 · 15 = 345
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 345
  3. ★24
    Milan rechnet 1550 : 5 und erhält 312. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1550 : 5Ergebnis 312?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 312 · 5 = 1560
    2. 1560 ist nicht 1550: Es ist falsch.
    3. 1550 : 5 = 310
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 310

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Elias rechnet 7 + 49 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    74913
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 13 + 49
    2. 7 + 13 = 20
    3. 20 + 49 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 16 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    1652
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 16
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 16 = 160
    Ergebnis:
    160
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 94 = 100 + ___
    9994
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 94 um 1 kleiner werden: 94 − 1 = 93
    3. 100 + 93 = 193
    Ergebnis:
    93
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 188 − 99 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 188 um 1 größer: 189.
    3. 189 − 100 = 89
    Ergebnis:
    189
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
    3. 200 − 4 = 196
    Ergebnis:
    196
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 21?
    2016
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 20 = 120
    2. Rechts: 6 · 1 = 6
    3. 6 · 21 = 120 + 6 = 126
    Ergebnis:
    6 · 20 und 6 · 1, zusammen 126

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Lina rechnet 4 + 87 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    48716
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    107

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Noah rechnet 299 + 73 als 300 + 73. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    29973
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    372

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Reihen mit je 34 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    272 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 117 : 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 76 − 55 = ___ − 56
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    77

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Ben verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 7 · 64? Nenne ihn. Rechne danach.
    7 · 64zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 448

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep rechnet 288 : 9 und erhält 32. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    288 : 9Ergebnis 32?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 32

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 189
  2. 99
  3. 769
  4. 44
  5. 82
  6. 1412
  7. 76
  8. 95
  9. 112 Bonbons
  10. 42
  11. 45 Sticker
  12. 154
  13. 42
  14. 19
  15. 67
  16. 400
  17. 180
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. vertauschen, 144
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. zerlegen, 432
  22. falsch, richtig ist 667
  23. stimmt, 345
  24. falsch, richtig ist 310
  25. 69
  26. 160
  27. 93
  28. 189
  29. 196
  30. 6 · 20 und 6 · 1, zusammen 126
  31. 107
  32. 372
  33. 272 Stühle
  34. 13
  35. 77
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  37. zerlegen, 448
  38. stimmt, 32
  39. 19
  40. 90
  41. 48
  42. 58