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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 3 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 4 = 12
    2. 9 + 12 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●40
    Rechne: (5 + 8) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 8 = 13
    2. 13 · 3 = 39
    Ergebnis:
    39

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 9 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 2 = 18
    2. 6 + 18 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 10 und erhalte 60. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Ben rechnet 15 + 21 + 25 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
152125
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 25 + 21
  2. 15 + 25 = 40
  3. 40 + 21 = 61
  1. Vertauschen: 15 + 25 + 21
  2. 15 + 25 = 40
  3. 40 + 21 = 61
Ergebnis:
61

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 43 + 85 + 7 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    43857
    So fängst du an:
    Vertauschen: 43 + 7 + 85
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 43 + 7 + 85
    2. 43 + 7 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 85 = 135
    Ergebnis:
    135
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 39 + 25 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    153925
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 25 + 39
    2. 15 + 25 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 39 = 79
    Ergebnis:
    79
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 72 + 559 + 44 + 228 + 56 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    725594422856
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 72 + 228 + 44 + 56 + 559
    2. 72 + 228 = 300 und 44 + 56 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 559 = 959
    Ergebnis:
    959

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 93 = 200 + ___
19993
Schritt für Schritt
  1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
  2. Also muss 93 um 1 kleiner werden: 93 − 1 = 92
  3. 200 + 92 = 292
  1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
  2. Also muss 93 um 1 kleiner werden: 93 − 1 = 92
  3. 200 + 92 = 292
Ergebnis:
92

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 28
    29928
    So fängst du an:
    299 bekommt 1 dazu, 28 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 299 bekommt 1 dazu, 28 gibt 1 ab.
    2. 299 + 28 = 300 + 27
    3. 300 + 27 = 327
    Ergebnis:
    327
  2. ●5
    Aylin rechnet 199 + 33 als 200 + 33. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    19933
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 33 = 233.
    3. 1 wieder abziehen: 233 − 1 = 232
    Ergebnis:
    232
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 498 + 804 = 500 + ___
    498804
    Lösung zeigen
    1. 498 wird zu 500: 2 mehr.
    2. Also muss 804 um 2 kleiner werden: 804 − 2 = 802
    3. 500 + 802 = 1302
    Ergebnis:
    802

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
  3. 90 − 3 = 87
  1. 29 = 30 − 1
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
  3. 90 − 3 = 87
Ergebnis:
87

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Reihen mit je 66 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 66
    Lösung zeigen
    1. 8 · 66
    2. 66 = 60 + 6
    3. 8 · 60 = 480 und 8 · 6 = 48
    4. 480 + 48 = 528
    Ergebnis:
    528 Stühle
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
    3. 120 − 3 = 117
    Ergebnis:
    117
  3. ★9
    Es gibt 9 Reihen mit je 39 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 9 · 30 = 270 und 9 · 9 = 81
    4. 270 + 81 = 351
    Ergebnis:
    351 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 189 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 189 : 3?
189: 3
Schritt für Schritt
  1. 189 = 180 + 9
  2. 180 : 3 = 60 und 9 : 3 = 3
  3. 60 + 3 = 63
  1. 189 = 180 + 9
  2. 180 : 3 = 60 und 9 : 3 = 3
  3. 60 + 3 = 63
Ergebnis:
63

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 336 : 6
    So fängst du an:
    336 = 300 + 36
    Lösung zeigen
    1. 336 = 300 + 36
    2. 300 : 6 = 50 und 36 : 6 = 6
    3. 50 + 6 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●11
    Zerlege 112 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 112 : 8?
    112: 8
    Lösung zeigen
    1. 112 = 80 + 32
    2. 80 : 8 = 10 und 32 : 8 = 4
    3. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★12
    Zerlege 1336 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 1336 : 8?
    1336: 8
    Lösung zeigen
    1. 1336 = 1280 + 56
    2. 1280 : 8 = 160 und 56 : 8 = 7
    3. 160 + 7 = 167
    Ergebnis:
    167

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 72 − 18 = ___ − 19
Schritt für Schritt
  1. 18 wird zu 19: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 72 um 1 größer.
  3. 72 + 1 = 73
  1. 18 wird zu 19: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 72 um 1 größer.
  3. 72 + 1 = 73
Ergebnis:
73

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 43 + 74 = 42 + ___
    So fängst du an:
    43 wird zu 42: 1 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 43 wird zu 42: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 74 um 1 größer.
    3. 74 + 1 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 17 + 69 = 27 + ___
    17 + 69=27 + ?
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 27: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 69 um 10 kleiner.
    3. 69 − 10 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 56 − 26 = ___ − 27
    Lösung zeigen
    1. 26 wird zu 27: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 56 um 1 größer.
    3. 56 + 1 = 57
    Ergebnis:
    57

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ben verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Tom verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 22 + 34 + 78? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 22 + 78 = 100
    3. 100 + 34 = 134
    Ergebnis:
    vertauschen, 134
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 59? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 59 = 50 + 9.
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 9 = 81
    3. Zusammen: 531
    Ergebnis:
    zerlegen, 531
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 8 · 34? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 34zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 34 = 30 + 4.
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 4 = 32
    3. Zusammen: 272
    Ergebnis:
    zerlegen, 272

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 839 − 270 und erhält 569. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 569 + 270 = 839
  2. 839 ist genau 839: Es stimmt.
  3. 839 − 270 = 569
  1. Umkehraufgabe: 569 + 270 = 839
  2. 839 ist genau 839: Es stimmt.
  3. 839 − 270 = 569
Ergebnis:
stimmt, 569

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea erhält für 31 · 38 das Ergebnis 1378. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 30 · 40 = 1200
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 40 = 1200
    2. 1378 liegt zu weit weg. Genau: 31 · 38 = 1178
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1178
  2. ●23
    Jonas rechnet 489 − 328 und erhält 261. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 261 + 328 = 589
    2. 589 ist nicht 489: Es ist falsch.
    3. 489 − 328 = 161
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 161
  3. ★24
    Zeynep rechnet 1284 : 3 und erhält 438. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1284 : 3Ergebnis 438?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 438 · 3 = 1314
    2. 1314 ist nicht 1284: Es ist falsch.
    3. 1284 : 3 = 428
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 428

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 91 + 76 + 9 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    91769
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 91 + 9 + 76
    2. 91 + 9 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 76 = 176
    Ergebnis:
    176
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 6 · 2 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    625
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 6
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60
  3. ●27
    Hanna rechnet 67 + 34 als 70 + 34. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    6734
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 34 = 104.
    3. 3 wieder abziehen: 104 − 3 = 101
    Ergebnis:
    101
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 81 − 39 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 81 um 1 größer: 82.
    3. 82 − 40 = 42
    Ergebnis:
    82
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 21
    Lösung zeigen
    1. 21 = 20 + 1
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    3. 100 + 5 = 105
    Ergebnis:
    105
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 12 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1024
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 10 = 40
    2. Rechter Teil: 4 · 2 = 8
    3. Zusammen: 40 + 8 = 48
    Ergebnis:
    48 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Aylin rechnet 36 + 19 + 64 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    361964
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    119

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Hanna rechnet 39 + 29 als 40 + 29. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    3929
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    68

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Tüten mit je 49 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    392 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 414 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 414 : 9?
    414: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    46

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 84 − 70 = ___ − 75
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    89

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 33? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 33zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 297

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 693 : 7 und erhält 99. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    693 : 7Ergebnis 99?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 99

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 135
  2. 79
  3. 959
  4. 327
  5. 232
  6. 802
  7. 528 Stühle
  8. 117
  9. 351 Stühle
  10. 56
  11. 14
  12. 167
  13. 75
  14. 59
  15. 57
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. 3000
  19. vertauschen, 134
  20. zerlegen, 531
  21. zerlegen, 272
  22. falsch, richtig ist 1178
  23. falsch, richtig ist 161
  24. falsch, richtig ist 428
  25. 176
  26. 60
  27. 101
  28. 82
  29. 105
  30. 48 Kästchen
  31. 119
  32. 68
  33. 392 Bonbons
  34. 46
  35. 89
  36. 400
  37. zerlegen, 297
  38. stimmt, 99
  39. 21
  40. 39
  41. 24
  42. 50