Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 46 − 2 · 7
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
2. 46 − 14 = 32
Ergebnis:
32
●40
Rechne: (3 + 5) · 8
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 3 + 5 = 8
2. 8 · 8 = 64
Ergebnis:
64

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 11 + 5 · 4
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
2. 11 + 20 = 31
Ergebnis:
31
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 8 und erhalte 34. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
26

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 24 + 39 + 16

Schritt für Schritt

Vertauschen: 24 + 16 + 39
24 + 16 = 40
40 + 39 = 79

Vertauschen: 24 + 16 + 39
24 + 16 = 40
40 + 39 = 79

Ergebnis:

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Rechne geschickt: 24 + 31 + 36
So fängst du an:
Vertauschen: 24 + 36 + 31
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 24 + 36 + 31
2. 24 + 36 = 60
3. 60 + 31 = 91
Ergebnis:
91
●2
Lina rechnet 7 + 66 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 7 + 13 + 66
2. 7 + 13 = 20
3. 20 + 66 = 86
Ergebnis:
86
★3
Can rechnet 115 + 898 + 72 + 185 + 28 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 115 + 185 + 72 + 28 + 898
2. 115 + 185 = 300 und 72 + 28 = 100
3. 300 + 100 + 898 = 1298
Ergebnis:
1298

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Emma rechnet 67 + 95 als 70 + 95. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?

Schritt für Schritt

Emma hat 67 um 3 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 95 = 165.
3 wieder abziehen: 165 − 3 = 162

Emma hat 67 um 3 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 95 = 165.
3 wieder abziehen: 165 − 3 = 162

Ergebnis:

162

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 66
So fängst du an:
198 bekommt 2 dazu, 66 gibt 2 ab.
Lösung zeigen
1. 198 bekommt 2 dazu, 66 gibt 2 ab.
2. 198 + 66 = 200 + 64
3. 200 + 64 = 264
Ergebnis:
264
●5
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 23
Lösung zeigen
1. 68 bekommt 2 dazu, 23 gibt 2 ab.
2. 68 + 23 = 70 + 21
3. 70 + 21 = 91
Ergebnis:
91
★6
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 398 + 527
Lösung zeigen
1. 398 bekommt 2 dazu, 527 gibt 2 ab.
2. 398 + 527 = 400 + 525
3. 400 + 525 = 925
Ergebnis:
925

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 28

Schritt für Schritt

28 = 20 + 8
4 · 20 = 80 und 4 · 8 = 32
80 + 32 = 112

28 = 20 + 8
4 · 20 = 80 und 4 · 8 = 32
80 + 32 = 112

Ergebnis:

112

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 17
So fängst du an:
17 = 10 + 7
Lösung zeigen
1. 17 = 10 + 7
2. 3 · 10 = 30 und 3 · 7 = 21
3. 30 + 21 = 51
Ergebnis:
51
●8
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 14
Lösung zeigen
1. 14 = 10 + 4
2. 7 · 10 = 70 und 7 · 4 = 28
3. 70 + 28 = 98
Ergebnis:
98
★9
Es gibt 8 Hefte mit je 21 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 8 · 21
2. 21 = 20 + 1
3. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
4. 160 + 8 = 168
Ergebnis:
168 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

294 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.

Schritt für Schritt

294 : 6
294 = 240 + 54
240 : 6 = 40 und 54 : 6 = 9
40 + 9 = 49

294 : 6
294 = 240 + 54
240 : 6 = 40 und 54 : 6 = 9
40 + 9 = 49

Ergebnis:

49 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
469 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
So fängst du an:
469 : 7
Lösung zeigen
1. 469 : 7
2. 469 = 420 + 49
3. 420 : 7 = 60 und 49 : 7 = 7
4. 60 + 7 = 67
Ergebnis:
67 Bücher
●11
162 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 162 : 9
2. 162 = 90 + 72
3. 90 : 9 = 10 und 72 : 9 = 8
4. 10 + 8 = 18
Ergebnis:
18 Bücher
★12
1044 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 1044 : 9
2. 1044 = 990 + 54
3. 990 : 9 = 110 und 54 : 9 = 6
4. 110 + 6 = 116
Ergebnis:
116 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 20 + 14 = 19 + ___

Schritt für Schritt

20 wird zu 19: 1 weniger.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 14 um 1 größer.
14 + 1 = 15

20 wird zu 19: 1 weniger.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 14 um 1 größer.
14 + 1 = 15

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 65 + 43 = 68 + ___
So fängst du an:
65 wird zu 68: 3 mehr.
Lösung zeigen
1. 65 wird zu 68: 3 mehr.
2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 43 um 3 kleiner.
3. 43 − 3 = 40
Ergebnis:
40
●14
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 15 = 2 · ___
Lösung zeigen
1. 4 wird halb so groß: 2.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
3. 15 · 2 = 30
Ergebnis:
30
★15
Ergänze die Lücke: 16 · 14 = 8 · ___
Lösung zeigen
1. 16 wird halb so groß: 8.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
3. 14 · 2 = 28
Ergebnis:
28

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Sofia verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?

Schritt für Schritt

Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.

Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.

Ergebnis:

Nein, viermal so groß; richtig ist 200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
So fängst du an:
12 · 15 = 6 · 30
Lösung zeigen
1. 12 · 15 = 6 · 30
2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180
●17
Milan verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70
★18
Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 16 · 25 = 8 · 50
3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 15 + 39 + 85? Nenne ihn. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
15 + 85 = 100
100 + 39 = 139

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
15 + 85 = 100
100 + 39 = 139

Ergebnis:

vertauschen, 139

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Welcher Weg passt zu 9 · 57? Nenne ihn. Rechne danach.
So fängst du an:
Den zweiten Faktor zerlegen: 57 = 50 + 7.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 57 = 50 + 7.
2. 9 · 50 = 450 und 9 · 7 = 63
3. Zusammen: 513
Ergebnis:
zerlegen, 513
●20
Wie rechnest du am schnellsten: 30 + 77 + 70? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
2. 30 + 70 = 100
3. 100 + 77 = 177
Ergebnis:
vertauschen, 177
★21
Wie rechnest du am schnellsten: 15 + 46 + 85? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
2. 15 + 85 = 100
3. 100 + 46 = 146
Ergebnis:
vertauschen, 146

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 305 : 5 und erhält 61. Prüfe mit der Umkehraufgabe.

Schritt für Schritt

Umkehraufgabe: 61 · 5 = 305
305 ist genau 305: Es stimmt.
305 : 5 = 61

Umkehraufgabe: 61 · 5 = 305
305 ist genau 305: Es stimmt.
305 : 5 = 61

Ergebnis:

stimmt, 61

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Elias rechnet 156 : 6 und erhält 28. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
So fängst du an:
Umkehraufgabe: 28 · 6 = 168
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 28 · 6 = 168
2. 168 ist nicht 156: Es ist falsch.
3. 156 : 6 = 26
Ergebnis:
falsch, richtig ist 26
●23
Paul rechnet 546 − 356 und erhält 190. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 190 + 356 = 546
2. 546 ist genau 546: Es stimmt.
3. 546 − 356 = 190
Ergebnis:
stimmt, 190
★24
Tom erhält für 374 · 44 das Ergebnis 16.456. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 400 · 40 = 16.000
2. 16.456 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 374 · 44 = 16.456
3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 16.456

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Rechne geschickt: 13 + 64 + 7
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 13 + 7 + 64
2. 13 + 7 = 20
3. 20 + 64 = 84
Ergebnis:
84
●26
Welche zwei Zahlen ergeben bei 25 · 16 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 25 · 4 · 16
2. 25 · 4 = 100
3. 100 · 16 = 1600
Ergebnis:
1600
●27
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 65 = 70 + ___
Lösung zeigen
1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
2. Also muss 65 um 1 kleiner werden: 65 − 1 = 64
3. 70 + 64 = 134
Ergebnis:
64
●28
Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 177 − 47 = ___ − 50
Lösung zeigen
1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 177 um 3 größer: 180.
3. 180 − 50 = 130
Ergebnis:
180
●29
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 23
Lösung zeigen
1. 23 = 20 + 3
2. 3 · 20 = 60 und 3 · 3 = 9
3. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69
●30
Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 12?
Lösung zeigen
1. Links: 5 · 10 = 50
2. Rechts: 5 · 2 = 10
3. 5 · 12 = 50 + 10 = 60
Ergebnis:
5 · 10 und 5 · 2, zusammen 60

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Welche Zahlen fasst du bei 6 + 63 + 14 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
Ergebnis:
83
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 36
Lösung zeigen
Ergebnis:
234
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Es gibt 3 Tüten mit je 21 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
Ergebnis:
63 Bonbons
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
224 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
Ergebnis:
56 Sticker
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Ergänze die Lücke: 18 · 3 = 9 · ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
6
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
Ergebnis:
200
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
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Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 400
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Jonas rechnet 256 : 8 und erhält 33. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
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Ergebnis:
falsch, richtig ist 32

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

91
86
1298
264
91
925
51
98
168 Hefte
67 Bücher
18 Bücher
116 Murmeln
40
30
28
180
Nein, viermal so groß; richtig ist 70
400
zerlegen, 513
vertauschen, 177
vertauschen, 146
falsch, richtig ist 26
stimmt, 190
stimmt, 16.456
84
1600
64
180
69
5 · 10 und 5 · 2, zusammen 60
83
234
63 Bonbons
56 Sticker
6
200
halbieren und verdoppeln, 400
falsch, richtig ist 32
32
64
31
26