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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 9 + 20 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●40
    Rechne: (9 + 3) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 3 = 12
    2. 12 · 3 = 36
    Ergebnis:
    36

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 5 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 9 = 45
    2. 9 + 45 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 18 und erhalte 28. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 24 + 73 + 6
24736
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 6 + 73
  2. 24 + 6 = 30
  3. 30 + 73 = 103
  1. Vertauschen: 24 + 6 + 73
  2. 24 + 6 = 30
  3. 30 + 73 = 103
Ergebnis:
103

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 42 + 24 + 18 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    422418
    So fängst du an:
    Vertauschen: 42 + 18 + 24
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 42 + 18 + 24
    2. 42 + 18 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84
  2. ●2
    Emma rechnet 37 + 88 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    378823
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 23 + 88
    2. 37 + 23 = 60
    3. 60 + 88 = 148
    Ergebnis:
    148
  3. ★3
    Rechne geschickt: 604 + 473 + 34 + 396 + 66
    6044733439666
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 604 + 396 + 34 + 66 + 473
    2. 604 + 396 = 1000 und 34 + 66 = 100
    3. 1000 + 100 + 473 = 1573
    Ergebnis:
    1573

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 89
9789
Schritt für Schritt
  1. 97 bekommt 3 dazu, 89 gibt 3 ab.
  2. 97 + 89 = 100 + 86
  3. 100 + 86 = 186
  1. 97 bekommt 3 dazu, 89 gibt 3 ab.
  2. 97 + 89 = 100 + 86
  3. 100 + 86 = 186
Ergebnis:
186

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeynep rechnet 99 + 39 als 100 + 39. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    9939
    So fängst du an:
    Zeynep hat 99 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 39 = 139.
    3. 1 wieder abziehen: 139 − 1 = 138
    Ergebnis:
    138
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 49 = 200 + ___
    19749
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 49 um 3 kleiner werden: 49 − 3 = 46
    3. 200 + 46 = 246
    Ergebnis:
    46
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 496 + 287 = 500 + ___
    496287
    Lösung zeigen
    1. 496 wird zu 500: 4 mehr.
    2. Also muss 287 um 4 kleiner werden: 287 − 4 = 283
    3. 500 + 283 = 783
    Ergebnis:
    283

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 31
Schritt für Schritt
  1. 31 = 30 + 1
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
  3. 240 + 8 = 248
  1. 31 = 30 + 1
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
  3. 240 + 8 = 248
Ergebnis:
248

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
    3. 200 − 5 = 195
    Ergebnis:
    195
  2. ●8
    Es gibt 8 Reihen mit je 26 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 26
    2. 26 = 20 + 6
    3. 8 · 20 = 160 und 8 · 6 = 48
    4. 160 + 48 = 208
    Ergebnis:
    208 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 99
    Lösung zeigen
    1. 99 = 100 − 1
    2. 6 · 100 = 600 und 6 · 1 = 6
    3. 600 − 6 = 594
    Ergebnis:
    594

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

168 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 168 : 8
  2. 168 = 160 + 8
  3. 160 : 8 = 20 und 8 : 8 = 1
  4. 20 + 1 = 21
  1. 168 : 8
  2. 168 = 160 + 8
  3. 160 : 8 = 20 und 8 : 8 = 1
  4. 20 + 1 = 21
Ergebnis:
21 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    320 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    320 : 5
    Lösung zeigen
    1. 320 : 5
    2. 320 = 300 + 20
    3. 300 : 5 = 60 und 20 : 5 = 4
    4. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64 Bücher
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 287 : 7
    Lösung zeigen
    1. 287 = 280 + 7
    2. 280 : 7 = 40 und 7 : 7 = 1
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41
  3. ★12
    Zerlege 1024 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 1024 : 8?
    1024: 8
    Lösung zeigen
    1. 1024 = 960 + 64
    2. 960 : 8 = 120 und 64 : 8 = 8
    3. 120 + 8 = 128
    Ergebnis:
    128

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 4 = 2 · ___
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
Ergebnis:
8

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 85 − 39 = ___ − 41
    So fängst du an:
    39 wird zu 41: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 41: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 2 größer.
    3. 85 + 2 = 87
    Ergebnis:
    87
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 55 + 76 = 56 + ___
    55 + 76=56 + ?
    Lösung zeigen
    1. 55 wird zu 56: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 76 um 1 kleiner.
    3. 76 − 1 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 7 · 47 + 7 · 7 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
    2. 7 mal 47 und 7 mal 7 sind zusammen 7 mal (47 + 7).
    3. 47 + 7 = 54
    Ergebnis:
    54

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 300

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 162 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    162 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 162 + 497 = 159 + 500
    3. 159 + 500 = 659
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 659
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 389 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    389 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 389 + 598 = 387 + 600
    3. 387 + 600 = 987
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 987
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 378 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    378 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 378 + 198 = 376 + 200
    3. 376 + 200 = 576
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 576

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 90 : 3 und erhält 32. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
90 : 3Ergebnis 32?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 32 · 3 = 96
  2. 96 ist nicht 90: Es ist falsch.
  3. 90 : 3 = 30
  1. Umkehraufgabe: 32 · 3 = 96
  2. 96 ist nicht 90: Es ist falsch.
  3. 90 : 3 = 30
Ergebnis:
falsch, richtig ist 30

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom erhält für 33 · 49 das Ergebnis 1417. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 30 · 50 = 1500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 50 = 1500
    2. 1417 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 33 · 49 = 1617
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1617
  2. ●23
    Elias erhält für 82 · 49 das Ergebnis 5018. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 50 = 4000
    2. 5018 liegt zu weit weg. Genau: 82 · 49 = 4018
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4018
  3. ★24
    Lea rechnet 1384 : 4 und erhält 345. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1384 : 4Ergebnis 345?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 345 · 4 = 1380
    2. 1380 ist nicht 1384: Es ist falsch.
    3. 1384 : 4 = 346
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 346

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Elias rechnet 57 + 71 + 43 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    577143
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 57 + 43 + 71
    2. 57 + 43 = 100
    3. 100 + 71 = 171
    Ergebnis:
    171
  2. ●26
    Rechne geschickt: 2 · 12 · 5
    2125
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 12
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 12 = 120
    Ergebnis:
    120
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 75 = 200 + ___
    19975
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 75 um 1 kleiner werden: 75 − 1 = 74
    3. 200 + 74 = 274
    Ergebnis:
    74
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 145 − 39
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 145 − 39 = 146 − 40
    3. 146 − 40 = 106
    Ergebnis:
    106
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
    3. 180 − 9 = 171
    Ergebnis:
    171
  6. ●30
    Paul rechnet 6 · 17 so: erst 6 · 10, dann 7 dazu. Paul erhält 67. Zeige am Bild, was fehlt.
    1076
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 7 Kästchen, nicht nur 7.
    2. Rechter Teil: 6 · 7 = 42
    3. 60 + 42 = 102
    Ergebnis:
    102

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Can rechnet 8 + 16 + 32 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    81632
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 92 = 100 + ___
    9992
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 63
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    189

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 84 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 84 : 6?
    84: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 58 − 27 = ___ − 32
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Tom verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can rechnet 656 : 8 und erhält 82. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    656 : 8Ergebnis 82?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 82

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 84
  2. 148
  3. 1573
  4. 138
  5. 46
  6. 283
  7. 195
  8. 208 Stühle
  9. 594
  10. 64 Bücher
  11. 41
  12. 128
  13. 87
  14. 75
  15. 54
  16. 90
  17. 210
  18. 400
  19. gegensinnig verändern, 659
  20. gegensinnig verändern, 987
  21. gegensinnig verändern, 576
  22. falsch, richtig ist 1617
  23. falsch, richtig ist 4018
  24. falsch, richtig ist 346
  25. 171
  26. 120
  27. 74
  28. 106
  29. 171
  30. 102
  31. 56
  32. 91
  33. 189
  34. 14
  35. 63
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. stimmt, 82
  39. 29
  40. 36
  41. 54
  42. 10