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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 28 − 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 28 − 16 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●40
    Rechne: (8 + 7) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 7 = 15
    2. 15 · 7 = 105
    Ergebnis:
    105

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 7 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 3 = 21
    2. 6 + 21 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 5 und erhalte 54. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    49

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 93 + 45 + 7
93457
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 93 + 7 + 45
  2. 93 + 7 = 100
  3. 100 + 45 = 145
  1. Vertauschen: 93 + 7 + 45
  2. 93 + 7 = 100
  3. 100 + 45 = 145
Ergebnis:
145

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Tom rechnet 9 + 58 + 31 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    95831
    So fängst du an:
    Vertauschen: 9 + 31 + 58
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 31 + 58
    2. 9 + 31 = 40
    3. 40 + 58 = 98
    Ergebnis:
    98
  2. ●2
    Lea rechnet 22 + 83 + 28 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    228328
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 28 + 83
    2. 22 + 28 = 50
    3. 50 + 83 = 133
    Ergebnis:
    133
  3. ★3
    Noah rechnet 295 + 349 + 66 + 705 + 34 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    2953496670534
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 295 + 705 + 66 + 34 + 349
    2. 295 + 705 = 1000 und 66 + 34 = 100
    3. 1000 + 100 + 349 = 1449
    Ergebnis:
    1449

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 73
19973
Schritt für Schritt
  1. 199 bekommt 1 dazu, 73 gibt 1 ab.
  2. 199 + 73 = 200 + 72
  3. 200 + 72 = 272
  1. 199 bekommt 1 dazu, 73 gibt 1 ab.
  2. 199 + 73 = 200 + 72
  3. 200 + 72 = 272
Ergebnis:
272

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Mia rechnet 47 + 65 als 50 + 65. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    4765
    So fängst du an:
    Mia hat 47 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 65 = 115.
    3. 3 wieder abziehen: 115 − 3 = 112
    Ergebnis:
    112
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 43 = 300 + ___
    29943
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 43 um 1 kleiner werden: 43 − 1 = 42
    3. 300 + 42 = 342
    Ergebnis:
    42
  3. ★6
    Noah rechnet 996 + 395 als 1000 + 395. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    996395
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 996 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 1000 + 395 = 1395.
    3. 4 wieder abziehen: 1395 − 4 = 1391
    Ergebnis:
    1391

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 17
Schritt für Schritt
  1. 17 = 10 + 7
  2. 4 · 10 = 40 und 4 · 7 = 28
  3. 40 + 28 = 68
  1. 17 = 10 + 7
  2. 4 · 10 = 40 und 4 · 7 = 28
  3. 40 + 28 = 68
Ergebnis:
68

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Reihen mit je 34 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 34
    Lösung zeigen
    1. 9 · 34
    2. 34 = 30 + 4
    3. 9 · 30 = 270 und 9 · 4 = 36
    4. 270 + 36 = 306
    Ergebnis:
    306 Stühle
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
    3. 300 − 5 = 295
    Ergebnis:
    295
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 4 · 373
    Lösung zeigen
    1. 373 = 300 + 70 + 3
    2. 4 · 300 = 1200; 4 · 70 = 280; 4 · 3 = 12
    3. 1200 + 280 + 12 = 1492
    Ergebnis:
    1492

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 520 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 520 : 8?
520: 8
Schritt für Schritt
  1. 520 = 480 + 40
  2. 480 : 8 = 60 und 40 : 8 = 5
  3. 60 + 5 = 65
  1. 520 = 480 + 40
  2. 480 : 8 = 60 und 40 : 8 = 5
  3. 60 + 5 = 65
Ergebnis:
65

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 105 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 105 : 7?
    105: 7
    So fängst du an:
    105 = 70 + 35
    Lösung zeigen
    1. 105 = 70 + 35
    2. 70 : 7 = 10 und 35 : 7 = 5
    3. 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●11
    Zerlege 51 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 51 : 3?
    51: 3
    Lösung zeigen
    1. 51 = 30 + 21
    2. 30 : 3 = 10 und 21 : 3 = 7
    3. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17
  3. ★12
    Zerlege 220 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 220 : 4?
    220: 4
    Lösung zeigen
    1. 220 = 200 + 20
    2. 200 : 4 = 50 und 20 : 4 = 5
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 51 − 30 = ___ − 31
Schritt für Schritt
  1. 30 wird zu 31: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 51 um 1 größer.
  3. 51 + 1 = 52
  1. 30 wird zu 31: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 51 um 1 größer.
  3. 51 + 1 = 52
Ergebnis:
52

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 11 = 6 · ___
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 16 · 9 = 8 · ___
    16 · 9=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 5 · 57 + 5 · 3 = 5 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 57 und 5 mal 3 sind zusammen 5 mal (57 + 3).
    3. 57 + 3 = 60
    Ergebnis:
    60

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Lea verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 36 · 5
    Lösung zeigen
    1. 36 · 5 = 18 · 10
    2. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 8 · 79? Nenne ihn und rechne.
8 · 79zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 79 = 70 + 9.
  2. 8 · 70 = 560 und 8 · 9 = 72
  3. Zusammen: 632
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 79 = 70 + 9.
  2. 8 · 70 = 560 und 8 · 9 = 72
  3. Zusammen: 632
Ergebnis:
zerlegen, 632

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 13 + 49 + 87? Nenne ihn und rechne.
    13 + 49 + 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 13 + 87 = 100
    3. 100 + 49 = 149
    Ergebnis:
    vertauschen, 149
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 246 + 497? Nenne ihn und rechne.
    246 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 246 + 497 = 243 + 500
    3. 243 + 500 = 743
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 743

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Milan erhält für 73 · 15 das Ergebnis 1095. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
  2. 1095 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 73 · 15 = 1095
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
  2. 1095 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 73 · 15 = 1095
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 1095

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 801 − 336 und erhält 475. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 475 + 336 = 811
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 475 + 336 = 811
    2. 811 ist nicht 801: Es ist falsch.
    3. 801 − 336 = 465
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 465
  2. ●23
    Milan erhält für 75 · 35 das Ergebnis 2825. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
    2. 2825 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 75 · 35 = 2625
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2625
  3. ★24
    Zeynep rechnet 2184 : 8 und erhält 273. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2184 : 8Ergebnis 273?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 273 · 8 = 2184
    2. 2184 ist genau 2184: Es stimmt.
    3. 2184 : 8 = 273
    Ergebnis:
    stimmt, 273

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Noah rechnet 27 + 74 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    277433
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 33 + 74
    2. 27 + 33 = 60
    3. 60 + 74 = 134
    Ergebnis:
    134
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Packungen. In jeder Packung sind 12 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Packungen12 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 12
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 78
    29878
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 78 gibt 2 ab.
    2. 298 + 78 = 300 + 76
    3. 300 + 76 = 376
    Ergebnis:
    376
  4. ●28
    Hanna rechnet 124 − 97 als 124 − 100 und erhält 24. Ist das schon das Ergebnis?
    124 − 97124 − 100
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 24 + 3 = 27
    Ergebnis:
    Nein, 27
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 68
    Lösung zeigen
    1. 68 = 60 + 8
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 8 = 56
    3. 420 + 56 = 476
    Ergebnis:
    476
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 28 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2083
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 20 = 60
    2. Rechter Teil: 3 · 8 = 24
    3. Zusammen: 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Zeynep rechnet 3 + 69 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    36917
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    89

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 68 = 300 + ___
    29768
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 47
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    235

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    441 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 57 − 22 = ___ − 24
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 291 + 299? Nenne ihn und rechne.
    291 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 590

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom rechnet 822 − 150 und erhält 772. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 672

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 98
  2. 133
  3. 1449
  4. 112
  5. 42
  6. 1391
  7. 306 Stühle
  8. 295
  9. 1492
  10. 15
  11. 17
  12. 55
  13. 22
  14. 18
  15. 60
  16. 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. 180
  19. halbieren und verdoppeln, 400
  20. vertauschen, 149
  21. gegensinnig verändern, 743
  22. falsch, richtig ist 465
  23. falsch, richtig ist 2625
  24. stimmt, 273
  25. 134
  26. 1200 Bälle
  27. 376
  28. Nein, 27
  29. 476
  30. 84 Kästchen
  31. 89
  32. 65
  33. 235
  34. 63 Sticker
  35. 59
  36. 210
  37. gegensinnig verändern, 590
  38. falsch, richtig ist 672
  39. 12
  40. 105
  41. 27
  42. 49