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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 28 − 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 28 − 20 = 8
    Ergebnis:
    8
  2. ●40
    Rechne: (4 + 9) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 9 = 13
    2. 13 · 6 = 78
    Ergebnis:
    78

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 6 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 5 = 30
    2. 6 + 30 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 38 und erhalte 96. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Can rechnet 4 + 37 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
43716
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 4 + 16 + 37
  2. 4 + 16 = 20
  3. 20 + 37 = 57
  1. Vertauschen: 4 + 16 + 37
  2. 4 + 16 = 20
  3. 20 + 37 = 57
Ergebnis:
57

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 12 + 21 + 8
    12218
    So fängst du an:
    Vertauschen: 12 + 8 + 21
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 8 + 21
    2. 12 + 8 = 20
    3. 20 + 21 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●2
    Rechne geschickt: 29 + 49 + 31
    294931
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 29 + 31 + 49
    2. 29 + 31 = 60
    3. 60 + 49 = 109
    Ergebnis:
    109
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 36 + 302 + 64 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    3630264
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 64 + 302
    2. 36 + 64 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 302 = 402
    Ergebnis:
    402

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 95
19795
Schritt für Schritt
  1. 197 bekommt 3 dazu, 95 gibt 3 ab.
  2. 197 + 95 = 200 + 92
  3. 200 + 92 = 292
  1. 197 bekommt 3 dazu, 95 gibt 3 ab.
  2. 197 + 95 = 200 + 92
  3. 200 + 92 = 292
Ergebnis:
292

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Paul rechnet 39 + 27 als 40 + 27. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    3927
    So fängst du an:
    Paul hat 39 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 27 = 67.
    3. 1 wieder abziehen: 67 − 1 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●5
    Zeynep rechnet 99 + 78 als 100 + 78. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    9978
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 78 = 178.
    3. 1 wieder abziehen: 178 − 1 = 177
    Ergebnis:
    177
  3. ★6
    Mia rechnet 996 + 906 als 1000 + 906. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    996906
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 996 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 1000 + 906 = 1906.
    3. 4 wieder abziehen: 1906 − 4 = 1902
    Ergebnis:
    1902

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
  3. 450 − 9 = 441
  1. 49 = 50 − 1
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
  3. 450 − 9 = 441
Ergebnis:
441

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 45
    So fängst du an:
    45 = 40 + 5
    Lösung zeigen
    1. 45 = 40 + 5
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 5 = 45
    3. 360 + 45 = 405
    Ergebnis:
    405
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
    3. 300 − 6 = 294
    Ergebnis:
    294
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 6 · 157
    Lösung zeigen
    1. 157 = 100 + 50 + 7
    2. 6 · 100 = 600; 6 · 50 = 300; 6 · 7 = 42
    3. 600 + 300 + 42 = 942
    Ergebnis:
    942

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 330 : 5
Schritt für Schritt
  1. 330 = 300 + 30
  2. 300 : 5 = 60 und 30 : 5 = 6
  3. 60 + 6 = 66
  1. 330 = 300 + 30
  2. 300 : 5 = 60 und 30 : 5 = 6
  3. 60 + 6 = 66
Ergebnis:
66

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    252 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    252 : 6
    Lösung zeigen
    1. 252 : 6
    2. 252 = 240 + 12
    3. 240 : 6 = 40 und 12 : 6 = 2
    4. 40 + 2 = 42
    Ergebnis:
    42 Bücher
  2. ●11
    Zerlege 343 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 343 : 7?
    343: 7
    Lösung zeigen
    1. 343 = 280 + 63
    2. 280 : 7 = 40 und 63 : 7 = 9
    3. 40 + 9 = 49
    Ergebnis:
    49
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 189 : 3
    Lösung zeigen
    1. 189 = 180 + 9
    2. 180 : 3 = 60 und 9 : 3 = 3
    3. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 85 + 15 = 95 + ___
85 + 15=95 + ?
Schritt für Schritt
  1. 85 wird zu 95: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 15 um 10 kleiner.
  3. 15 − 10 = 5
  1. 85 wird zu 95: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 15 um 10 kleiner.
  3. 15 − 10 = 5
Ergebnis:
5

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 38 + 39 = 48 + ___
    38 + 39=48 + ?
    So fängst du an:
    38 wird zu 48: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 48: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 39 um 10 kleiner.
    3. 39 − 10 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 70 + 28 = 68 + ___
    70 + 28=68 + ?
    Lösung zeigen
    1. 70 wird zu 68: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 28 um 2 größer.
    3. 28 + 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 95 − 49 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 95 um 1 größer.
    3. 95 + 1 = 96
    Ergebnis:
    96

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Emma verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Sofia verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 4 · 53? Nenne ihn. Rechne danach.
    4 · 53zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 53 = 50 + 3.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 53 = 50 + 3.
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 3 = 12
    3. Zusammen: 212
    Ergebnis:
    zerlegen, 212
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 338 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    338 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 338 + 399 = 337 + 400
    3. 337 + 400 = 737
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 737

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 688 − 199 und erhält 589. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 589 + 199 = 788
  2. 788 ist nicht 688: Es ist falsch.
  3. 688 − 199 = 489
  1. Umkehraufgabe: 589 + 199 = 788
  2. 788 ist nicht 688: Es ist falsch.
  3. 688 − 199 = 489
Ergebnis:
falsch, richtig ist 489

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas erhält für 28 · 48 das Ergebnis 1144. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 30 · 50 = 1500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 50 = 1500
    2. 1144 liegt zu weit weg. Genau: 28 · 48 = 1344
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1344
  2. ●23
    Can rechnet 487 − 220 und erhält 287. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 287 + 220 = 507
    2. 507 ist nicht 487: Es ist falsch.
    3. 487 − 220 = 267
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 267
  3. ★24
    Hanna rechnet 1227 : 3 und erhält 409. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1227 : 3Ergebnis 409?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 409 · 3 = 1227
    2. 1227 ist genau 1227: Es stimmt.
    3. 1227 : 3 = 409
    Ergebnis:
    stimmt, 409

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 15 + 19 + 35
    151935
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 35 + 19
    2. 15 + 35 = 50
    3. 50 + 19 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●26
    Rechne geschickt: 20 · 11 · 5
    20115
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 11
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 11 = 1100
    Ergebnis:
    1100
  3. ●27
    Can rechnet 49 + 89 als 50 + 89. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    4989
    Lösung zeigen
    1. Can hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 89 = 139.
    3. 1 wieder abziehen: 139 − 1 = 138
    Ergebnis:
    138
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 110 − 38 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 110 um 2 größer: 112.
    3. 112 − 40 = 72
    Ergebnis:
    112
  5. ●29
    Es gibt 7 Hefte mit je 25 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 25
    2. 25 = 20 + 5
    3. 7 · 20 = 140 und 7 · 5 = 35
    4. 140 + 35 = 175
    Ergebnis:
    175 Hefte
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 22?
    2027
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 2 = 14
    3. 7 · 22 = 140 + 14 = 154
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 2, zusammen 154

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Can rechnet 63 + 46 + 37 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    634637
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    146

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 96
    6896
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    164

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 14
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 230 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 230 : 5?
    230: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    46

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 59 + 82 = 61 + ___
    59 + 82=61 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Milan verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 6 · 85? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 85zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 510

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia rechnet 568 − 435 und erhält 153. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 133

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 41
  2. 109
  3. 402
  4. 66
  5. 177
  6. 1902
  7. 405
  8. 294
  9. 942
  10. 42 Bücher
  11. 49
  12. 63
  13. 29
  14. 30
  15. 96
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. zerlegen, 212
  20. halbieren und verdoppeln, 90
  21. gegensinnig verändern, 737
  22. falsch, richtig ist 1344
  23. falsch, richtig ist 267
  24. stimmt, 409
  25. 69
  26. 1100
  27. 138
  28. 112
  29. 175 Hefte
  30. 7 · 20 und 7 · 2, zusammen 154
  31. 146
  32. 164
  33. 56
  34. 46
  35. 80
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. zerlegen, 510
  38. falsch, richtig ist 133
  39. 8
  40. 78
  41. 36
  42. 58