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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 44 − 5 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 2 = 10
    2. 44 − 10 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●40
    Rechne: (4 + 5) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 5 = 9
    2. 9 · 3 = 27
    Ergebnis:
    27

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 7 + 32 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 68. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 32 + 54 + 28 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
325428
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 32 + 28 + 54
  2. 32 + 28 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 54 = 114
  1. Vertauschen: 32 + 28 + 54
  2. 32 + 28 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 54 = 114
Ergebnis:
114

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 14 + 32 + 46
    143246
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 46 + 32
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 46 + 32
    2. 14 + 46 = 60
    3. 60 + 32 = 92
    Ergebnis:
    92
  2. ●2
    Can rechnet 13 + 16 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    13167
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 7 + 16
    2. 13 + 7 = 20
    3. 20 + 16 = 36
    Ergebnis:
    36
  3. ★3
    Rechne geschickt: 85 + 826 + 115
    85826115
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 85 + 115 + 826
    2. 85 + 115 = 200
    3. 200 + 826 = 1026
    Ergebnis:
    1026

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 68
19868
Schritt für Schritt
  1. 198 bekommt 2 dazu, 68 gibt 2 ab.
  2. 198 + 68 = 200 + 66
  3. 200 + 66 = 266
  1. 198 bekommt 2 dazu, 68 gibt 2 ab.
  2. 198 + 68 = 200 + 66
  3. 200 + 66 = 266
Ergebnis:
266

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Aylin rechnet 69 + 86 als 70 + 86. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    6986
    So fängst du an:
    Aylin hat 69 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 86 = 156.
    3. 1 wieder abziehen: 156 − 1 = 155
    Ergebnis:
    155
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 23 = 200 + ___
    19923
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 23 um 1 kleiner werden: 23 − 1 = 22
    3. 200 + 22 = 222
    Ergebnis:
    22
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 999 + 124 = 1000 + ___
    999124
    Lösung zeigen
    1. 999 wird zu 1000: 1 mehr.
    2. Also muss 124 um 1 kleiner werden: 124 − 1 = 123
    3. 1000 + 123 = 1123
    Ergebnis:
    123

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Tüten mit je 52 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 52
  2. 52 = 50 + 2
  3. 5 · 50 = 250 und 5 · 2 = 10
  4. 250 + 10 = 260
  1. 5 · 52
  2. 52 = 50 + 2
  3. 5 · 50 = 250 und 5 · 2 = 10
  4. 250 + 10 = 260
Ergebnis:
260 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Hefte mit je 59 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 59
    Lösung zeigen
    1. 6 · 59
    2. 59 = 50 + 9
    3. 6 · 50 = 300 und 6 · 9 = 54
    4. 300 + 54 = 354
    Ergebnis:
    354 Hefte
  2. ●8
    Es gibt 9 Hefte mit je 16 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 16
    2. 16 = 10 + 6
    3. 9 · 10 = 90 und 9 · 6 = 54
    4. 90 + 54 = 144
    Ergebnis:
    144 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 3 · 442
    Lösung zeigen
    1. 442 = 400 + 40 + 2
    2. 3 · 400 = 1200; 3 · 40 = 120; 3 · 2 = 6
    3. 1200 + 120 + 6 = 1326
    Ergebnis:
    1326

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 282 : 6
Schritt für Schritt
  1. 282 = 240 + 42
  2. 240 : 6 = 40 und 42 : 6 = 7
  3. 40 + 7 = 47
  1. 282 = 240 + 42
  2. 240 : 6 = 40 und 42 : 6 = 7
  3. 40 + 7 = 47
Ergebnis:
47

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 87 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 87 : 3?
    87: 3
    So fängst du an:
    87 = 60 + 27
    Lösung zeigen
    1. 87 = 60 + 27
    2. 60 : 3 = 20 und 27 : 3 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●11
    Zerlege 270 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 270 : 6?
    270: 6
    Lösung zeigen
    1. 270 = 240 + 30
    2. 240 : 6 = 40 und 30 : 6 = 5
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 1152 : 9
    Lösung zeigen
    1. 1152 = 1080 + 72
    2. 1080 : 9 = 120 und 72 : 9 = 8
    3. 120 + 8 = 128
    Ergebnis:
    128

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 31 + 80 = 30 + ___
31 + 80=30 + ?
Schritt für Schritt
  1. 31 wird zu 30: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 80 um 1 größer.
  3. 80 + 1 = 81
  1. 31 wird zu 30: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 80 um 1 größer.
  3. 80 + 1 = 81
Ergebnis:
81

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 61 − 34 = ___ − 39
    So fängst du an:
    34 wird zu 39: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 34 wird zu 39: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 5 größer.
    3. 61 + 5 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 42 + 79 = 40 + ___
    Lösung zeigen
    1. 42 wird zu 40: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 79 um 2 größer.
    3. 79 + 2 = 81
    Ergebnis:
    81
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 9 · 40 + 9 · 5 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 9.
    2. 9 mal 40 und 9 mal 5 sind zusammen 9 mal (40 + 5).
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
Schritt für Schritt
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Paul verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Warum ist 24 · 125 dasselbe wie 12 · 250? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 24 · 125 = 12 · 250
    3. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 211 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
211 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 211 + 598 = 209 + 600
  3. 209 + 600 = 809
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 211 + 598 = 209 + 600
  3. 209 + 600 = 809
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 809

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 52? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 52 = 50 + 2.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 52 = 50 + 2.
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 2 = 18
    3. Zusammen: 468
    Ergebnis:
    zerlegen, 468
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 60? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 60 = 60 + 0.
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 0 = 0
    3. Zusammen: 540
    Ergebnis:
    zerlegen, 540
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 51? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 51 = 50 + 1.
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
    3. Zusammen: 204
    Ergebnis:
    zerlegen, 204

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna erhält für 70 · 40 das Ergebnis 2900. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
  2. 2900 liegt zu weit weg. Genau: 70 · 40 = 2800
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
  2. 2900 liegt zu weit weg. Genau: 70 · 40 = 2800
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2800

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 304 : 8 und erhält 38. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    304 : 8Ergebnis 38?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 38 · 8 = 304
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 38 · 8 = 304
    2. 304 ist genau 304: Es stimmt.
    3. 304 : 8 = 38
    Ergebnis:
    stimmt, 38
  2. ●23
    Milan rechnet 559 − 328 und erhält 231. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 231 + 328 = 559
    2. 559 ist genau 559: Es stimmt.
    3. 559 − 328 = 231
    Ergebnis:
    stimmt, 231
  3. ★24
    Mia rechnet 3558 : 6 und erhält 593. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3558 : 6Ergebnis 593?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 593 · 6 = 3558
    2. 3558 ist genau 3558: Es stimmt.
    3. 3558 : 6 = 593
    Ergebnis:
    stimmt, 593

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Emma rechnet 12 + 72 + 38 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    127238
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 38 + 72
    2. 12 + 38 = 50
    3. 50 + 72 = 122
    Ergebnis:
    122
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 18 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kartons18 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 18
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 18 = 180
    Ergebnis:
    180 Bälle
  3. ●27
    Can rechnet 47 + 64 als 50 + 64. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    4764
    Lösung zeigen
    1. Can hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 64 = 114.
    3. 3 wieder abziehen: 114 − 3 = 111
    Ergebnis:
    111
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 100 − 47
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 100 − 47 = 103 − 50
    3. 103 − 50 = 53
    Ergebnis:
    53
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
    3. 80 − 4 = 76
    Ergebnis:
    76
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 13?
    1035
    Lösung zeigen
    1. Links: 5 · 10 = 50
    2. Rechts: 5 · 3 = 15
    3. 5 · 13 = 50 + 15 = 65
    Ergebnis:
    5 · 10 und 5 · 3, zusammen 65

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Zeynep rechnet 4 + 55 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    45516
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 42 = 50 + ___
    4942
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    125

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 175 : 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 22 + 44 = 20 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    46

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 63? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 441

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea rechnet 408 : 6 und erhält 67. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    408 : 6Ergebnis 67?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 68

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 92
  2. 36
  3. 1026
  4. 155
  5. 22
  6. 123
  7. 354 Hefte
  8. 144 Hefte
  9. 1326
  10. 29
  11. 45
  12. 128
  13. 66
  14. 81
  15. 45
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. 90
  18. 3000
  19. zerlegen, 468
  20. zerlegen, 540
  21. zerlegen, 204
  22. stimmt, 38
  23. stimmt, 231
  24. stimmt, 593
  25. 122
  26. 180 Bälle
  27. 111
  28. 53
  29. 76
  30. 5 · 10 und 5 · 3, zusammen 65
  31. 75
  32. 41
  33. 125
  34. 25
  35. 46
  36. 70
  37. zerlegen, 441
  38. falsch, richtig ist 68
  39. 34
  40. 27
  41. 39
  42. 40