Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 38 − 4 · 8
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
2. 38 − 32 = 6
Ergebnis:
6
●40
Rechne: (4 + 2) · 7
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 4 + 2 = 6
2. 6 · 7 = 42
Ergebnis:
42

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 6 + 3 · 9
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
2. 6 + 27 = 33
Ergebnis:
33
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 14 und erhalte 61. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
47

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 95 + 81 + 5 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Vertauschen: 95 + 5 + 81
95 + 5 = 100
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 81 = 181

Vertauschen: 95 + 5 + 81
95 + 5 = 100
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 81 = 181

Ergebnis:

181

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Welche Zahlen fasst du bei 89 + 32 + 11 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
So fängst du an:
Vertauschen: 89 + 11 + 32
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 89 + 11 + 32
2. 89 + 11 = 100
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 32 = 132
Ergebnis:
132
●2
Welche Zahlen fasst du bei 27 + 56 + 23 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 27 + 23 + 56
2. 27 + 23 = 50
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 56 = 106
Ergebnis:
106
★3
Welche Zahlen fasst du bei 788 + 489 + 212 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 788 + 212 + 489
2. 788 + 212 = 1000
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 489 = 1489
Ergebnis:
1489

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 64 = 300 + ___

Schritt für Schritt

297 wird zu 300: 3 mehr.
Also muss 64 um 3 kleiner werden: 64 − 3 = 61
300 + 61 = 361

297 wird zu 300: 3 mehr.
Also muss 64 um 3 kleiner werden: 64 − 3 = 61
300 + 61 = 361

Ergebnis:

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 63 = 40 + ___
So fängst du an:
38 wird zu 40: 2 mehr.
Lösung zeigen
1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
2. Also muss 63 um 2 kleiner werden: 63 − 2 = 61
3. 40 + 61 = 101
Ergebnis:
61
●5
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 68
Lösung zeigen
1. 298 bekommt 2 dazu, 68 gibt 2 ab.
2. 298 + 68 = 300 + 66
3. 300 + 66 = 366
Ergebnis:
366
★6
Can rechnet 999 + 854 als 1000 + 854. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Can hat 999 um 1 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 1000 + 854 = 1854.
3. 1 wieder abziehen: 1854 − 1 = 1853
Ergebnis:
1853

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39

Schritt für Schritt

39 = 40 − 1
3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
120 − 3 = 117

39 = 40 − 1
3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
120 − 3 = 117

Ergebnis:

117

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 59
So fängst du an:
59 = 60 − 1
Lösung zeigen
1. 59 = 60 − 1
2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
3. 540 − 9 = 531
Ergebnis:
531
●8
Es gibt 9 Tüten mit je 65 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 9 · 65
2. 65 = 60 + 5
3. 9 · 60 = 540 und 9 · 5 = 45
4. 540 + 45 = 585
Ergebnis:
585 Bonbons
★9
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 36
Lösung zeigen
1. 36 = 30 + 6
2. 5 · 30 = 150 und 5 · 6 = 30
3. 150 + 30 = 180
Ergebnis:
180

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 260 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 260 : 4?

Schritt für Schritt

260 = 240 + 20
240 : 4 = 60 und 20 : 4 = 5
60 + 5 = 65

260 = 240 + 20
240 : 4 = 60 und 20 : 4 = 5
60 + 5 = 65

Ergebnis:

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
Zerlege 416 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 416 : 8?
So fängst du an:
416 = 400 + 16
Lösung zeigen
1. 416 = 400 + 16
2. 400 : 8 = 50 und 16 : 8 = 2
3. 50 + 2 = 52
Ergebnis:
52
●11
Zerlege 150 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 150 : 6?
Lösung zeigen
1. 150 = 120 + 30
2. 120 : 6 = 20 und 30 : 6 = 5
3. 20 + 5 = 25
Ergebnis:
25
★12
600 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 600 : 8
2. 600 = 560 + 40
3. 560 : 8 = 70 und 40 : 8 = 5
4. 70 + 5 = 75
Ergebnis:
75 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 54 − 47 = ___ − 48

Schritt für Schritt

47 wird zu 48: 1 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 1 größer.
54 + 1 = 55

47 wird zu 48: 1 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 1 größer.
54 + 1 = 55

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Ergänze die Lücke: 90 − 17 = ___ − 27
So fängst du an:
17 wird zu 27: 10 mehr.
Lösung zeigen
1. 17 wird zu 27: 10 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 90 um 10 größer.
3. 90 + 10 = 100
Ergebnis:
100
●14
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 48 − 36 = ___ − 41
Lösung zeigen
1. 36 wird zu 41: 5 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 48 um 5 größer.
3. 48 + 5 = 53
Ergebnis:
53
★15
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 58 − 30 = ___ − 40
Lösung zeigen
1. 30 wird zu 40: 10 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 58 um 10 größer.
3. 58 + 10 = 68
Ergebnis:
68

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Aylin verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?

Schritt für Schritt

Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.

Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.

Ergebnis:

Nein, viermal so groß; richtig ist 210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
So fängst du an:
Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 16 · 5 = 8 · 10
3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80
●17
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
Lösung zeigen
1. 18 · 5 = 9 · 10
2. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90
★18
Warum ist 24 · 125 dasselbe wie 12 · 250? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 24 · 125 = 12 · 250
3. 12 · 250 = 3000
Ergebnis:
3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 32 + 41 + 68? Nenne ihn. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
32 + 68 = 100
100 + 41 = 141

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
32 + 68 = 100
100 + 41 = 141

Ergebnis:

vertauschen, 141

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
So fängst du an:
5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
Lösung zeigen
1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
2. 14 · 5 = 7 · 10
3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70
●20
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 46? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 46 = 40 + 6.
2. 5 · 40 = 200 und 5 · 6 = 30
3. Zusammen: 230
Ergebnis:
zerlegen, 230
★21
Welcher Weg passt zu 7488 − 4529? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
2. 7488 − 4529 = 2959
Ergebnis:
schriftlich, 2959

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can rechnet 420 : 7 und erhält 60. Prüfe mit der Umkehraufgabe.

Schritt für Schritt

Umkehraufgabe: 60 · 7 = 420
420 ist genau 420: Es stimmt.
420 : 7 = 60

Umkehraufgabe: 60 · 7 = 420
420 ist genau 420: Es stimmt.
420 : 7 = 60

Ergebnis:

stimmt, 60

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Aylin erhält für 49 · 21 das Ergebnis 829. Prüfe mit einem Überschlag.
So fängst du an:
Überschlag: 50 · 20 = 1000
Lösung zeigen
1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
2. 829 liegt zu weit weg. Genau: 49 · 21 = 1029
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1029
●23
Hanna rechnet 327 − 264 und erhält 163. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 163 + 264 = 427
2. 427 ist nicht 327: Es ist falsch.
3. 327 − 264 = 63
Ergebnis:
falsch, richtig ist 63
★24
Emma rechnet 850 : 5 und erhält 170. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 170 · 5 = 850
2. 850 ist genau 850: Es stimmt.
3. 850 : 5 = 170
Ergebnis:
stimmt, 170

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Rechne geschickt: 18 + 24 + 12
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 18 + 12 + 24
2. 18 + 12 = 30
3. 30 + 24 = 54
Ergebnis:
54
●26
In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 15 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
Lösung zeigen
1. Bälle: 2 · 5 · 15
2. 2 · 5 = 10
3. 10 · 15 = 150
Ergebnis:
150 Bälle
●27
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 85
Lösung zeigen
1. 98 bekommt 2 dazu, 85 gibt 2 ab.
2. 98 + 85 = 100 + 83
3. 100 + 83 = 183
Ergebnis:
183
●28
Can rechnet 220 − 199 als 220 − 200 und erhält 20. Ist das schon das Ergebnis?
Lösung zeigen
1. Can hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
3. 20 + 1 = 21
Ergebnis:
Nein, 21
●29
Es gibt 4 Tüten mit je 56 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 4 · 56
2. 56 = 50 + 6
3. 4 · 50 = 200 und 4 · 6 = 24
4. 200 + 24 = 224
Ergebnis:
224 Bonbons
●30
Zeynep rechnet 3 · 23 so: erst 3 · 20, dann 3 dazu. Zeynep erhält 63. Zeige am Bild, was fehlt.
Lösung zeigen
1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
2. Rechter Teil: 3 · 3 = 9
3. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Paul rechnet 52 + 84 + 8 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
Ergebnis:
144
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Milan rechnet 297 + 35 als 300 + 35. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
Ergebnis:
332
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
Lösung zeigen
Ergebnis:
234
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
Rechne halbschriftlich: 244 : 4
Lösung zeigen
Ergebnis:
61
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 49 − 14 = ___ − 24
Lösung zeigen
Ergebnis:
59
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Aylin verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 26? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
Ergebnis:
zerlegen, 208
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Noah erhält für 74 · 46 das Ergebnis 3404. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
Ergebnis:
stimmt, 3404

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

132
106
1489
61
366
1853
531
585 Bonbons
180
52
25
75 Sticker
100
53
68
80
90
3000
halbieren und verdoppeln, 70
zerlegen, 230
schriftlich, 2959
falsch, richtig ist 1029
falsch, richtig ist 63
stimmt, 170
54
150 Bälle
183
Nein, 21
224 Bonbons
69
144
332
234
61
59
Nein, viermal so groß; richtig ist 400
zerlegen, 208
stimmt, 3404
6
42
33
47