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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
    2. 9 + 4 = 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●40
    Rechne: (2 + 3) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 3 = 5
    2. 5 · 7 = 35
    Ergebnis:
    35

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 9 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 2 = 18
    2. 2 + 18 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 8 und erhalte 26. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lea rechnet 17 + 54 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
175413
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 17 + 13 + 54
  2. 17 + 13 = 30
  3. 30 + 54 = 84
  1. Vertauschen: 17 + 13 + 54
  2. 17 + 13 = 30
  3. 30 + 54 = 84
Ergebnis:
84

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Hanna rechnet 16 + 55 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    165514
    So fängst du an:
    Vertauschen: 16 + 14 + 55
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 14 + 55
    2. 16 + 14 = 30
    3. 30 + 55 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●2
    Lina rechnet 48 + 13 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    481312
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 48 + 12 + 13
    2. 48 + 12 = 60
    3. 60 + 13 = 73
    Ergebnis:
    73
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 639 + 863 + 361 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    639863361
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 639 + 361 + 863
    2. 639 + 361 = 1000
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 863 = 1863
    Ergebnis:
    1863

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Tom rechnet 49 + 93 als 50 + 93. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
4993
Schritt für Schritt
  1. Tom hat 49 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 93 = 143.
  3. 1 wieder abziehen: 143 − 1 = 142
  1. Tom hat 49 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 93 = 143.
  3. 1 wieder abziehen: 143 − 1 = 142
Ergebnis:
142

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 84 = 50 + ___
    4884
    So fängst du an:
    48 wird zu 50: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 84 um 2 kleiner werden: 84 − 2 = 82
    3. 50 + 82 = 132
    Ergebnis:
    82
  2. ●5
    Can rechnet 48 + 79 als 50 + 79. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    4879
    Lösung zeigen
    1. Can hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 79 = 129.
    3. 2 wieder abziehen: 129 − 2 = 127
    Ergebnis:
    127
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1997 + 809
    1997809
    Lösung zeigen
    1. 1997 bekommt 3 dazu, 809 gibt 3 ab.
    2. 1997 + 809 = 2000 + 806
    3. 2000 + 806 = 2806
    Ergebnis:
    2806

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Reihen mit je 68 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 68
  2. 68 = 60 + 8
  3. 8 · 60 = 480 und 8 · 8 = 64
  4. 480 + 64 = 544
  1. 8 · 68
  2. 68 = 60 + 8
  3. 8 · 60 = 480 und 8 · 8 = 64
  4. 480 + 64 = 544
Ergebnis:
544 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
    3. 200 − 4 = 196
    Ergebnis:
    196
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
    3. 540 − 9 = 531
    Ergebnis:
    531
  3. ★9
    Es gibt 8 Reihen mit je 57 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 57
    2. 57 = 50 + 7
    3. 8 · 50 = 400 und 8 · 7 = 56
    4. 400 + 56 = 456
    Ergebnis:
    456 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

105 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 105 : 7
  2. 105 = 70 + 35
  3. 70 : 7 = 10 und 35 : 7 = 5
  4. 10 + 5 = 15
  1. 105 : 7
  2. 105 = 70 + 35
  3. 70 : 7 = 10 und 35 : 7 = 5
  4. 10 + 5 = 15
Ergebnis:
15 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 100 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 100 : 4?
    100: 4
    So fängst du an:
    100 = 80 + 20
    Lösung zeigen
    1. 100 = 80 + 20
    2. 80 : 4 = 20 und 20 : 4 = 5
    3. 20 + 5 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 145 : 5
    Lösung zeigen
    1. 145 = 100 + 45
    2. 100 : 5 = 20 und 45 : 5 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  3. ★12
    Zerlege 1288 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 1288 : 7?
    1288: 7
    Lösung zeigen
    1. 1288 = 1260 + 28
    2. 1260 : 7 = 180 und 28 : 7 = 4
    3. 180 + 4 = 184
    Ergebnis:
    184

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 10 = 8 · ___
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
  3. 10 · 2 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 12 = 6 · ___
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 52 − 38 = ___ − 48
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 48: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 52 um 10 größer.
    3. 52 + 10 = 62
    Ergebnis:
    62
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 61 + 6 · 6 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
    2. 6 mal 61 und 6 mal 6 sind zusammen 6 mal (61 + 6).
    3. 61 + 6 = 67
    Ergebnis:
    67

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Aylin verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Tom verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 19 + 45 + 81? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 19 + 81 = 100
  3. 100 + 45 = 145
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 19 + 81 = 100
  3. 100 + 45 = 145
Ergebnis:
vertauschen, 145

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 56? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 56 = 50 + 6.
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 6 = 54
    3. Zusammen: 504
    Ergebnis:
    zerlegen, 504
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 24 + 38 + 76? Nenne ihn. Rechne danach.
    24 + 38 + 76zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 24 + 76 = 100
    3. 100 + 38 = 138
    Ergebnis:
    vertauschen, 138

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 306 : 6 und erhält 50. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
306 : 6Ergebnis 50?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 50 · 6 = 300
  2. 300 ist nicht 306: Es ist falsch.
  3. 306 : 6 = 51
  1. Umkehraufgabe: 50 · 6 = 300
  2. 300 ist nicht 306: Es ist falsch.
  3. 306 : 6 = 51
Ergebnis:
falsch, richtig ist 51

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 625 − 265 und erhält 370. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 370 + 265 = 635
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 370 + 265 = 635
    2. 635 ist nicht 625: Es ist falsch.
    3. 625 − 265 = 360
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 360
  2. ●23
    Milan rechnet 928 − 484 und erhält 464. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 464 + 484 = 948
    2. 948 ist nicht 928: Es ist falsch.
    3. 928 − 484 = 444
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 444
  3. ★24
    Hanna rechnet 9253 − 5053 und erhält 4200. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4200 + 5053 = 9253
    2. 9253 ist genau 9253: Es stimmt.
    3. 9253 − 5053 = 4200
    Ergebnis:
    stimmt, 4200

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 25 + 41 + 15
    254115
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 15 + 41
    2. 25 + 15 = 40
    3. 40 + 41 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 18 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Packungen18 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 18
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 18 = 1800
    Ergebnis:
    1800 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 56
    6756
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 56 gibt 3 ab.
    2. 67 + 56 = 70 + 53
    3. 70 + 53 = 123
    Ergebnis:
    123
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 120 − 19
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 120 − 19 = 121 − 20
    3. 121 − 20 = 101
    Ergebnis:
    101
  5. ●29
    Es gibt 8 Tüten mit je 51 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 51
    2. 51 = 50 + 1
    3. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    4. 400 + 8 = 408
    Ergebnis:
    408 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 15 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1055
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 10 = 50
    2. Rechter Teil: 5 · 5 = 25
    3. Zusammen: 50 + 25 = 75
    Ergebnis:
    75 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Hanna rechnet 26 + 61 + 34 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    266134
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    121

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 56 = 100 + ___
    9856
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Reihen mit je 31 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    248 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    141 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 17 + 78 = 20 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Elias verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 45 + 36 + 55? Nenne ihn. Rechne danach.
    45 + 36 + 55zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 136

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna erhält für 59 · 44 das Ergebnis 2796. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2596

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 85
  2. 73
  3. 1863
  4. 82
  5. 127
  6. 2806
  7. 196
  8. 531
  9. 456 Stühle
  10. 25
  11. 29
  12. 184
  13. 24
  14. 62
  15. 67
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. 80
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. zerlegen, 504
  21. vertauschen, 138
  22. falsch, richtig ist 360
  23. falsch, richtig ist 444
  24. stimmt, 4200
  25. 81
  26. 1800 Bälle
  27. 123
  28. 101
  29. 408 Bonbons
  30. 75 Kästchen
  31. 121
  32. 54
  33. 248 Stühle
  34. 47 Murmeln
  35. 75
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. vertauschen, 136
  38. falsch, richtig ist 2596
  39. 13
  40. 35
  41. 20
  42. 18