Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 8 + 21 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●40
    Rechne: (9 + 9) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 9 = 18
    2. 18 · 7 = 126
    Ergebnis:
    126

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 11 + 16 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 69. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 15 + 84 + 5
15845
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 84
  2. 15 + 5 = 20
  3. 20 + 84 = 104
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 84
  2. 15 + 5 = 20
  3. 20 + 84 = 104
Ergebnis:
104

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 23 + 51 + 7
    23517
    So fängst du an:
    Vertauschen: 23 + 7 + 51
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 7 + 51
    2. 23 + 7 = 30
    3. 30 + 51 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●2
    Rechne geschickt: 26 + 47 + 74
    264774
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 74 + 47
    2. 26 + 74 = 100
    3. 100 + 47 = 147
    Ergebnis:
    147
  3. ★3
    Milan rechnet 129 + 672 + 171 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    129672171
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 129 + 171 + 672
    2. 129 + 171 = 300
    3. 300 + 672 = 972
    Ergebnis:
    972

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 76 = 100 + ___
9776
Schritt für Schritt
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 76 um 3 kleiner werden: 76 − 3 = 73
  3. 100 + 73 = 173
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 76 um 3 kleiner werden: 76 − 3 = 73
  3. 100 + 73 = 173
Ergebnis:
73

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Hanna rechnet 298 + 53 als 300 + 53. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    29853
    So fängst du an:
    Hanna hat 298 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 53 = 353.
    3. 2 wieder abziehen: 353 − 2 = 351
    Ergebnis:
    351
  2. ●5
    Lea rechnet 97 + 66 als 100 + 66. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    9766
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 66 = 166.
    3. 3 wieder abziehen: 166 − 3 = 163
    Ergebnis:
    163
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 997 + 387
    997387
    Lösung zeigen
    1. 997 bekommt 3 dazu, 387 gibt 3 ab.
    2. 997 + 387 = 1000 + 384
    3. 1000 + 384 = 1384
    Ergebnis:
    1384

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 27
Schritt für Schritt
  1. 27 = 20 + 7
  2. 5 · 20 = 100 und 5 · 7 = 35
  3. 100 + 35 = 135
  1. 27 = 20 + 7
  2. 5 · 20 = 100 und 5 · 7 = 35
  3. 100 + 35 = 135
Ergebnis:
135

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Reihen mit je 59 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 59
    Lösung zeigen
    1. 6 · 59
    2. 59 = 50 + 9
    3. 6 · 50 = 300 und 6 · 9 = 54
    4. 300 + 54 = 354
    Ergebnis:
    354 Stühle
  2. ●8
    Es gibt 7 Tüten mit je 49 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 49
    2. 49 = 40 + 9
    3. 7 · 40 = 280 und 7 · 9 = 63
    4. 280 + 63 = 343
    Ergebnis:
    343 Bonbons
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 3 · 320
    Lösung zeigen
    1. 320 = 300 + 20
    2. 3 · 300 = 900; 3 · 20 = 60
    3. 900 + 60 = 960
    Ergebnis:
    960

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

264 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 264 : 8
  2. 264 = 240 + 24
  3. 240 : 8 = 30 und 24 : 8 = 3
  4. 30 + 3 = 33
  1. 264 : 8
  2. 264 = 240 + 24
  3. 240 : 8 = 30 und 24 : 8 = 3
  4. 30 + 3 = 33
Ergebnis:
33 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    198 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    198 : 3
    Lösung zeigen
    1. 198 : 3
    2. 198 = 180 + 18
    3. 180 : 3 = 60 und 18 : 3 = 6
    4. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 75 : 3
    Lösung zeigen
    1. 75 = 60 + 15
    2. 60 : 3 = 20 und 15 : 3 = 5
    3. 20 + 5 = 25
    Ergebnis:
    25
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 711 : 9
    Lösung zeigen
    1. 711 = 630 + 81
    2. 630 : 9 = 70 und 81 : 9 = 9
    3. 70 + 9 = 79
    Ergebnis:
    79

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 18 · 3 = 9 · ___
18 · 3=9 · ?
Schritt für Schritt
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
  1. 18 wird halb so groß: 9.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 48 − 27 = ___ − 28
    So fängst du an:
    27 wird zu 28: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 28: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 48 um 1 größer.
    3. 48 + 1 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 58 + 27 = 59 + ___
    58 + 27=59 + ?
    Lösung zeigen
    1. 58 wird zu 59: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 27 um 1 kleiner.
    3. 27 − 1 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 58 − 21 = ___ − 31
    Lösung zeigen
    1. 21 wird zu 31: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 58 um 10 größer.
    3. 58 + 10 = 68
    Ergebnis:
    68

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Sofia verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Warum ist 32 · 25 dasselbe wie 16 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 32 · 25 = 16 · 50
    3. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 8 · 37? Nenne ihn. Rechne danach.
8 · 37zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 37 = 30 + 7.
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 7 = 56
  3. Zusammen: 296
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 37 = 30 + 7.
  2. 8 · 30 = 240 und 8 · 7 = 56
  3. Zusammen: 296
Ergebnis:
zerlegen, 296

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 7 · 58? Nenne ihn. Rechne danach.
    7 · 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 58 = 50 + 8.
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 8 = 56
    3. Zusammen: 406
    Ergebnis:
    zerlegen, 406
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 310 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    310 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 310 + 198 = 308 + 200
    3. 308 + 200 = 508
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 508

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia erhält für 60 · 41 das Ergebnis 2660. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 40 = 2400
  2. 2660 liegt zu weit weg. Genau: 60 · 41 = 2460
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 60 · 40 = 2400
  2. 2660 liegt zu weit weg. Genau: 60 · 41 = 2460
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2460

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Sofia rechnet 592 : 8 und erhält 74. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    592 : 8Ergebnis 74?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 74 · 8 = 592
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 74 · 8 = 592
    2. 592 ist genau 592: Es stimmt.
    3. 592 : 8 = 74
    Ergebnis:
    stimmt, 74
  2. ●23
    Lea rechnet 831 − 491 und erhält 340. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 340 + 491 = 831
    2. 831 ist genau 831: Es stimmt.
    3. 831 − 491 = 340
    Ergebnis:
    stimmt, 340
  3. ★24
    Mia rechnet 7905 − 5848 und erhält 2077. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2077 + 5848 = 7925
    2. 7925 ist nicht 7905: Es ist falsch.
    3. 7905 − 5848 = 2057
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2057

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Aylin rechnet 49 + 79 + 51 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    497951
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 49 + 51 + 79
    2. 49 + 51 = 100
    3. 100 + 79 = 179
    Ergebnis:
    179
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kisten. In jeder Kiste sind 12 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Kisten12 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 12
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 26 = 70 + ___
    6726
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 26 um 3 kleiner werden: 26 − 3 = 23
    3. 70 + 23 = 93
    Ergebnis:
    23
  4. ●28
    Zeynep rechnet 171 − 19 als 171 − 20 und erhält 151. Ist das schon das Ergebnis?
    171 − 19171 − 20
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 151 + 1 = 152
    Ergebnis:
    Nein, 152
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 10 + 9
    2. 9 · 10 = 90 und 9 · 9 = 81
    3. 90 + 81 = 171
    Ergebnis:
    171
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 15?
    1057
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 10 = 70
    2. Rechts: 7 · 5 = 35
    3. 7 · 15 = 70 + 35 = 105
    Ergebnis:
    7 · 10 und 7 · 5, zusammen 105

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 15 + 81 + 35
    158135
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    131

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 87
    6987
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    156

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    87

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 105 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 105 : 7?
    105: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 14 · 4 = 7 · ___
    14 · 4=7 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 15 + 21 + 85? Nenne ihn. Rechne danach.
    15 + 21 + 85zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 121

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia erhält für 88 · 35 das Ergebnis 3180. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3080

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 81
  2. 147
  3. 972
  4. 351
  5. 163
  6. 1384
  7. 354 Stühle
  8. 343 Bonbons
  9. 960
  10. 66 Murmeln
  11. 25
  12. 79
  13. 49
  14. 26
  15. 68
  16. 180
  17. 180
  18. 800
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. zerlegen, 406
  21. gegensinnig verändern, 508
  22. stimmt, 74
  23. stimmt, 340
  24. falsch, richtig ist 2057
  25. 179
  26. 1200 Bälle
  27. 23
  28. Nein, 152
  29. 171
  30. 7 · 10 und 7 · 5, zusammen 105
  31. 131
  32. 156
  33. 87
  34. 15
  35. 8
  36. 90
  37. vertauschen, 121
  38. falsch, richtig ist 3080
  39. 29
  40. 126
  41. 27
  42. 41