Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 37 − 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 37 − 18 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (5 + 5) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 5 = 10
    2. 10 · 7 = 70
    Ergebnis:
    70

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 4 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 9 = 36
    2. 3 + 36 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 38 und erhalte 58. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 16 + 63 + 4 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
16634
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 16 + 4 + 63
  2. 16 + 4 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 63 = 83
  1. Vertauschen: 16 + 4 + 63
  2. 16 + 4 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 63 = 83
Ergebnis:
83

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Hanna rechnet 6 + 15 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    61514
    So fängst du an:
    Vertauschen: 6 + 14 + 15
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 15
    2. 6 + 14 = 20
    3. 20 + 15 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●2
    Ben rechnet 28 + 26 + 32 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    282632
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 32 + 26
    2. 28 + 32 = 60
    3. 60 + 26 = 86
    Ergebnis:
    86
  3. ★3
    Rechne geschickt: 764 + 274 + 236
    764274236
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 764 + 236 + 274
    2. 764 + 236 = 1000
    3. 1000 + 274 = 1274
    Ergebnis:
    1274

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 76 = 300 + ___
29876
Schritt für Schritt
  1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
  2. Also muss 76 um 2 kleiner werden: 76 − 2 = 74
  3. 300 + 74 = 374
  1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
  2. Also muss 76 um 2 kleiner werden: 76 − 2 = 74
  3. 300 + 74 = 374
Ergebnis:
74

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Hanna rechnet 68 + 23 als 70 + 23. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    6823
    So fängst du an:
    Hanna hat 68 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 23 = 93.
    3. 2 wieder abziehen: 93 − 2 = 91
    Ergebnis:
    91
  2. ●5
    Lea rechnet 49 + 55 als 50 + 55. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    4955
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 55 = 105.
    3. 1 wieder abziehen: 105 − 1 = 104
    Ergebnis:
    104
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1996 + 969
    1996969
    Lösung zeigen
    1. 1996 bekommt 4 dazu, 969 gibt 4 ab.
    2. 1996 + 969 = 2000 + 965
    3. 2000 + 965 = 2965
    Ergebnis:
    2965

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Reihen mit je 29 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 29
  2. 29 = 20 + 9
  3. 9 · 20 = 180 und 9 · 9 = 81
  4. 180 + 81 = 261
  1. 9 · 29
  2. 29 = 20 + 9
  3. 9 · 20 = 180 und 9 · 9 = 81
  4. 180 + 81 = 261
Ergebnis:
261 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
    3. 180 − 3 = 177
    Ergebnis:
    177
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
    3. 360 − 6 = 354
    Ergebnis:
    354
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 61
    Lösung zeigen
    1. 61 = 60 + 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 + 7 = 427
    Ergebnis:
    427

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 95 : 5
Schritt für Schritt
  1. 95 = 50 + 45
  2. 50 : 5 = 10 und 45 : 5 = 9
  3. 10 + 9 = 19
  1. 95 = 50 + 45
  2. 50 : 5 = 10 und 45 : 5 = 9
  3. 10 + 9 = 19
Ergebnis:
19

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    402 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    402 : 6
    Lösung zeigen
    1. 402 : 6
    2. 402 = 360 + 42
    3. 360 : 6 = 60 und 42 : 6 = 7
    4. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67 Murmeln
  2. ●11
    621 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 621 : 9
    2. 621 = 540 + 81
    3. 540 : 9 = 60 und 81 : 9 = 9
    4. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69 Bücher
  3. ★12
    Zerlege 366 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 366 : 6?
    366: 6
    Lösung zeigen
    1. 366 = 360 + 6
    2. 360 : 6 = 60 und 6 : 6 = 1
    3. 60 + 1 = 61
    Ergebnis:
    61

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 79 − 68 = ___ − 70
Schritt für Schritt
  1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 79 um 2 größer.
  3. 79 + 2 = 81
  1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 79 um 2 größer.
  3. 79 + 2 = 81
Ergebnis:
81

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 14 = 4 · ___
    So fängst du an:
    8 wird halb so groß: 4.
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 98 − 40 = ___ − 42
    Lösung zeigen
    1. 40 wird zu 42: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 98 um 2 größer.
    3. 98 + 2 = 100
    Ergebnis:
    100
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 58 − 22 = ___ − 32
    Lösung zeigen
    1. 22 wird zu 32: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 58 um 10 größer.
    3. 58 + 10 = 68
    Ergebnis:
    68

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    So fängst du an:
    12 · 15 = 6 · 30
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 344 + 598? Nenne ihn und rechne.
344 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 344 + 598 = 342 + 600
  3. 342 + 600 = 942
  1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
  2. 344 + 598 = 342 + 600
  3. 342 + 600 = 942
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 942

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 171 + 399? Nenne ihn und rechne.
    171 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 171 + 399 = 170 + 400
    3. 170 + 400 = 570
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 570
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 9 · 86? Nenne ihn und rechne.
    9 · 86zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 86 = 80 + 6.
    2. 9 · 80 = 720 und 9 · 6 = 54
    3. Zusammen: 774
    Ergebnis:
    zerlegen, 774
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 31 + 71 + 69? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 31 + 69 = 100
    3. 100 + 71 = 171
    Ergebnis:
    vertauschen, 171

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can rechnet 186 : 6 und erhält 41. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
186 : 6Ergebnis 41?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 41 · 6 = 246
  2. 246 ist nicht 186: Es ist falsch.
  3. 186 : 6 = 31
  1. Umkehraufgabe: 41 · 6 = 246
  2. 246 ist nicht 186: Es ist falsch.
  3. 186 : 6 = 31
Ergebnis:
falsch, richtig ist 31

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan erhält für 81 · 42 das Ergebnis 3302. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 40 = 3200
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
    2. 3302 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 81 · 42 = 3402
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3402
  2. ●23
    Lea erhält für 68 · 34 das Ergebnis 2512. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 30 = 2100
    2. 2512 liegt zu weit weg. Genau: 68 · 34 = 2312
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2312
  3. ★24
    Jonas rechnet 2993 − 1853 und erhält 1150. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1150 + 1853 = 3003
    2. 3003 ist nicht 2993: Es ist falsch.
    3. 2993 − 1853 = 1140
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1140

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 21 + 85 + 9 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    21859
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 9 + 85
    2. 21 + 9 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 85 = 115
    Ergebnis:
    115
  2. ●26
    Rechne geschickt: 3 · 50 · 2
    3502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 3
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 52 = 50 + ___
    4952
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Also muss 52 um 1 kleiner werden: 52 − 1 = 51
    3. 50 + 51 = 101
    Ergebnis:
    51
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 55 − 28 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 28 wird zu 30: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 55 um 2 größer: 57.
    3. 57 − 30 = 27
    Ergebnis:
    57
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 65
    Lösung zeigen
    1. 65 = 60 + 5
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 5 = 25
    3. 300 + 25 = 325
    Ergebnis:
    325
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 28?
    2083
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 20 = 60
    2. Rechts: 3 · 8 = 24
    3. 3 · 28 = 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    3 · 20 und 3 · 8, zusammen 84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Sofia rechnet 43 + 59 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    435917
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    119

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 66
    4966
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    115

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 6 Tüten mit je 33 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    198 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 132 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 132 : 6?
    132: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 17 + 23 = 27 + ___
    17 + 23=27 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can erhält für 57 · 36 das Ergebnis 3052. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2052

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 35
  2. 86
  3. 1274
  4. 91
  5. 104
  6. 2965
  7. 177
  8. 354
  9. 427
  10. 67 Murmeln
  11. 69 Bücher
  12. 61
  13. 28
  14. 100
  15. 68
  16. 180
  17. 400
  18. 3000
  19. gegensinnig verändern, 570
  20. zerlegen, 774
  21. vertauschen, 171
  22. falsch, richtig ist 3402
  23. falsch, richtig ist 2312
  24. falsch, richtig ist 1140
  25. 115
  26. 300
  27. 51
  28. 57
  29. 325
  30. 3 · 20 und 3 · 8, zusammen 84
  31. 119
  32. 115
  33. 198 Bonbons
  34. 22
  35. 13
  36. 210
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 2052
  39. 19
  40. 70
  41. 39
  42. 20