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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 7 + 30 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●40
    Rechne: (7 + 9) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 9 = 16
    2. 16 · 4 = 64
    Ergebnis:
    64

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
    2. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 31 und erhalte 63. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 17 + 25 + 3
17253
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 17 + 3 + 25
  2. 17 + 3 = 20
  3. 20 + 25 = 45
  1. Vertauschen: 17 + 3 + 25
  2. 17 + 3 = 20
  3. 20 + 25 = 45
Ergebnis:
45

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 79 + 54 + 21
    795421
    So fängst du an:
    Vertauschen: 79 + 21 + 54
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 79 + 21 + 54
    2. 79 + 21 = 100
    3. 100 + 54 = 154
    Ergebnis:
    154
  2. ●2
    Paul rechnet 15 + 52 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    15525
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 5 + 52
    2. 15 + 5 = 20
    3. 20 + 52 = 72
    Ergebnis:
    72
  3. ★3
    Zeynep rechnet 187 + 457 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    18745713
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 187 + 13 + 457
    2. 187 + 13 = 200
    3. 200 + 457 = 657
    Ergebnis:
    657

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 74
19974
Schritt für Schritt
  1. 199 bekommt 1 dazu, 74 gibt 1 ab.
  2. 199 + 74 = 200 + 73
  3. 200 + 73 = 273
  1. 199 bekommt 1 dazu, 74 gibt 1 ab.
  2. 199 + 74 = 200 + 73
  3. 200 + 73 = 273
Ergebnis:
273

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Noah rechnet 38 + 93 als 40 + 93. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    3893
    So fängst du an:
    Noah hat 38 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 93 = 133.
    3. 2 wieder abziehen: 133 − 2 = 131
    Ergebnis:
    131
  2. ●5
    Ben rechnet 47 + 64 als 50 + 64. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    4764
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 64 = 114.
    3. 3 wieder abziehen: 114 − 3 = 111
    Ergebnis:
    111
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 497 + 829
    497829
    Lösung zeigen
    1. 497 bekommt 3 dazu, 829 gibt 3 ab.
    2. 497 + 829 = 500 + 826
    3. 500 + 826 = 1326
    Ergebnis:
    1326

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
  3. 120 − 6 = 114
  1. 19 = 20 − 1
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
  3. 120 − 6 = 114
Ergebnis:
114

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Reihen mit je 24 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 24
    Lösung zeigen
    1. 4 · 24
    2. 24 = 20 + 4
    3. 4 · 20 = 80 und 4 · 4 = 16
    4. 80 + 16 = 96
    Ergebnis:
    96 Stühle
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 48
    Lösung zeigen
    1. 48 = 40 + 8
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 8 = 32
    3. 160 + 32 = 192
    Ergebnis:
    192
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 9 · 131
    Lösung zeigen
    1. 131 = 100 + 30 + 1
    2. 9 · 100 = 900; 9 · 30 = 270; 9 · 1 = 9
    3. 900 + 270 + 9 = 1179
    Ergebnis:
    1179

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 216 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 216 : 8?
216: 8
Schritt für Schritt
  1. 216 = 160 + 56
  2. 160 : 8 = 20 und 56 : 8 = 7
  3. 20 + 7 = 27
  1. 216 = 160 + 56
  2. 160 : 8 = 20 und 56 : 8 = 7
  3. 20 + 7 = 27
Ergebnis:
27

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 95 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 95 : 5?
    95: 5
    So fängst du an:
    95 = 50 + 45
    Lösung zeigen
    1. 95 = 50 + 45
    2. 50 : 5 = 10 und 45 : 5 = 9
    3. 10 + 9 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●11
    Zerlege 279 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 279 : 9?
    279: 9
    Lösung zeigen
    1. 279 = 270 + 9
    2. 270 : 9 = 30 und 9 : 9 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31
  3. ★12
    Zerlege 792 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 792 : 8?
    792: 8
    Lösung zeigen
    1. 792 = 720 + 72
    2. 720 : 8 = 90 und 72 : 8 = 9
    3. 90 + 9 = 99
    Ergebnis:
    99

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 9 = 2 · ___
4 · 9=2 · ?
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
  3. 9 · 2 = 18
Ergebnis:
18

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 14 · 11 = 7 · ___
    14 · 11=7 · ?
    So fängst du an:
    14 wird halb so groß: 7.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 29 + 57 = 32 + ___
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 32: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 57 um 3 kleiner.
    3. 57 − 3 = 54
    Ergebnis:
    54
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 44 + 27 = 34 + ___
    44 + 27=34 + ?
    Lösung zeigen
    1. 44 wird zu 34: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 27 um 10 größer.
    3. 27 + 10 = 37
    Ergebnis:
    37

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Milan verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Tom verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 35
    Lösung zeigen
    1. 14 · 35 = 7 · 70
    2. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 256 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
256 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 256 + 299 = 255 + 300
  3. 255 + 300 = 555
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 256 + 299 = 255 + 300
  3. 255 + 300 = 555
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 555

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 30 + 64 + 70? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 30 + 70 = 100
    3. 100 + 64 = 164
    Ergebnis:
    vertauschen, 164
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 275 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 275 + 598 = 273 + 600
    3. 273 + 600 = 873
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 873
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah rechnet 276 : 3 und erhält 93. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
276 : 3Ergebnis 93?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 93 · 3 = 279
  2. 279 ist nicht 276: Es ist falsch.
  3. 276 : 3 = 92
  1. Umkehraufgabe: 93 · 3 = 279
  2. 279 ist nicht 276: Es ist falsch.
  3. 276 : 3 = 92
Ergebnis:
falsch, richtig ist 92

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 880 − 702 und erhält 178. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 178 + 702 = 880
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 178 + 702 = 880
    2. 880 ist genau 880: Es stimmt.
    3. 880 − 702 = 178
    Ergebnis:
    stimmt, 178
  2. ●23
    Sofia erhält für 36 · 15 das Ergebnis 640. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 20 = 800
    2. 640 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 36 · 15 = 540
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 540
  3. ★24
    Lea erhält für 222 · 40 das Ergebnis 9080. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 40 = 8000
    2. 9080 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 222 · 40 = 8880
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 8880

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 21 + 67 + 29 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    216729
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 29 + 67
    2. 21 + 29 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 67 = 117
    Ergebnis:
    117
  2. ●26
    Rechne geschickt: 15 · 25 · 4
    15254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 15
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 15 = 1500
    Ergebnis:
    1500
  3. ●27
    Mia rechnet 298 + 77 als 300 + 77. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    29877
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 77 = 377.
    3. 2 wieder abziehen: 377 − 2 = 375
    Ergebnis:
    375
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 161 − 28
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 161 − 28 = 163 − 30
    3. 163 − 30 = 133
    Ergebnis:
    133
  5. ●29
    Es gibt 8 Tüten mit je 51 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 51
    2. 51 = 50 + 1
    3. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    4. 400 + 8 = 408
    Ergebnis:
    408 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 25 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2054
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 20 = 80
    2. Rechter Teil: 4 · 5 = 20
    3. Zusammen: 80 + 20 = 100
    Ergebnis:
    100 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Sofia rechnet 14 + 57 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    14576
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    77

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ben rechnet 298 + 85 als 300 + 85. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    29885
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    383

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 66
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    396

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 504 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 504 : 9?
    504: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 50 + 29 = 40 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Elias verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 353 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    353 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 551

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep rechnet 172 : 4 und erhält 42. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    172 : 4Ergebnis 42?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 43

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 154
  2. 72
  3. 657
  4. 131
  5. 111
  6. 1326
  7. 96 Stühle
  8. 192
  9. 1179
  10. 19
  11. 31
  12. 99
  13. 22
  14. 54
  15. 37
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 490
  19. vertauschen, 164
  20. gegensinnig verändern, 873
  21. halbieren und verdoppeln, 90
  22. stimmt, 178
  23. falsch, richtig ist 540
  24. falsch, richtig ist 8880
  25. 117
  26. 1500
  27. 375
  28. 133
  29. 408 Bonbons
  30. 100 Kästchen
  31. 77
  32. 383
  33. 396
  34. 56
  35. 39
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. gegensinnig verändern, 551
  38. falsch, richtig ist 43
  39. 37
  40. 64
  41. 14
  42. 32