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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 3 + 18 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●40
    Rechne: (2 + 3) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 3 = 5
    2. 5 · 8 = 40
    Ergebnis:
    40

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 8 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 4 = 32
    2. 5 + 32 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 20 und erhalte 38. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 22 + 83 + 18
228318
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 22 + 18 + 83
  2. 22 + 18 = 40
  3. 40 + 83 = 123
  1. Vertauschen: 22 + 18 + 83
  2. 22 + 18 = 40
  3. 40 + 83 = 123
Ergebnis:
123

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Tom rechnet 5 + 88 + 25 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    58825
    So fängst du an:
    Vertauschen: 5 + 25 + 88
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 25 + 88
    2. 5 + 25 = 30
    3. 30 + 88 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●2
    Rechne geschickt: 36 + 82 + 24
    368224
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 36 + 24 + 82
    2. 36 + 24 = 60
    3. 60 + 82 = 142
    Ergebnis:
    142
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 61 + 805 + 39 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    6180539
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 61 + 39 + 805
    2. 61 + 39 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 805 = 905
    Ergebnis:
    905

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 25
6925
Schritt für Schritt
  1. 69 bekommt 1 dazu, 25 gibt 1 ab.
  2. 69 + 25 = 70 + 24
  3. 70 + 24 = 94
  1. 69 bekommt 1 dazu, 25 gibt 1 ab.
  2. 69 + 25 = 70 + 24
  3. 70 + 24 = 94
Ergebnis:
94

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Noah rechnet 297 + 86 als 300 + 86. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    29786
    So fängst du an:
    Noah hat 297 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 297 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 86 = 386.
    3. 3 wieder abziehen: 386 − 3 = 383
    Ergebnis:
    383
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 56
    19956
    Lösung zeigen
    1. 199 bekommt 1 dazu, 56 gibt 1 ab.
    2. 199 + 56 = 200 + 55
    3. 200 + 55 = 255
    Ergebnis:
    255
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 396 + 805 = 400 + ___
    396805
    Lösung zeigen
    1. 396 wird zu 400: 4 mehr.
    2. Also muss 805 um 4 kleiner werden: 805 − 4 = 801
    3. 400 + 801 = 1201
    Ergebnis:
    801

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Reihen mit je 55 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 55
  2. 55 = 50 + 5
  3. 4 · 50 = 200 und 4 · 5 = 20
  4. 200 + 20 = 220
  1. 4 · 55
  2. 55 = 50 + 5
  3. 4 · 50 = 200 und 4 · 5 = 20
  4. 200 + 20 = 220
Ergebnis:
220 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Tüten mit je 16 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 16
    Lösung zeigen
    1. 9 · 16
    2. 16 = 10 + 6
    3. 9 · 10 = 90 und 9 · 6 = 54
    4. 90 + 54 = 144
    Ergebnis:
    144 Bonbons
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    3. 180 − 6 = 174
    Ergebnis:
    174
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 75
    Lösung zeigen
    1. 75 = 70 + 5
    2. 6 · 70 = 420 und 6 · 5 = 30
    3. 420 + 30 = 450
    Ergebnis:
    450

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 243 : 9
Schritt für Schritt
  1. 243 = 180 + 63
  2. 180 : 9 = 20 und 63 : 9 = 7
  3. 20 + 7 = 27
  1. 243 = 180 + 63
  2. 180 : 9 = 20 und 63 : 9 = 7
  3. 20 + 7 = 27
Ergebnis:
27

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 52 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 52 : 4?
    52: 4
    So fängst du an:
    52 = 40 + 12
    Lösung zeigen
    1. 52 = 40 + 12
    2. 40 : 4 = 10 und 12 : 4 = 3
    3. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●11
    114 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 114 : 6
    2. 114 = 60 + 54
    3. 60 : 6 = 10 und 54 : 6 = 9
    4. 10 + 9 = 19
    Ergebnis:
    19 Sticker
  3. ★12
    Zerlege 522 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 522 : 3?
    522: 3
    Lösung zeigen
    1. 522 = 510 + 12
    2. 510 : 3 = 170 und 12 : 3 = 4
    3. 170 + 4 = 174
    Ergebnis:
    174

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 14 · 3 = 7 · ___
14 · 3=7 · ?
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 14 = 9 · ___
    18 · 14=9 · ?
    So fängst du an:
    18 wird halb so groß: 9.
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 59 − 13 = ___ − 23
    Lösung zeigen
    1. 13 wird zu 23: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 10 größer.
    3. 59 + 10 = 69
    Ergebnis:
    69
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 39 + 72 = 42 + ___
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 42: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 72 um 3 kleiner.
    3. 72 − 3 = 69
    Ergebnis:
    69

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Jonas verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Can verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Lea verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 49? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 49 = 40 + 9.
  2. 7 · 40 = 280 und 7 · 9 = 63
  3. Zusammen: 343
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 49 = 40 + 9.
  2. 7 · 40 = 280 und 7 · 9 = 63
  3. Zusammen: 343
Ergebnis:
zerlegen, 343

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 44 + 64 + 56? Nenne ihn. Rechne danach.
    44 + 64 + 56zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 44 + 56 = 100
    3. 100 + 64 = 164
    Ergebnis:
    vertauschen, 164
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 33? Nenne ihn. Rechne danach.
    4 · 33zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 33 = 30 + 3.
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 3 = 12
    3. Zusammen: 132
    Ergebnis:
    zerlegen, 132

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias rechnet 723 − 433 und erhält 390. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 390 + 433 = 823
  2. 823 ist nicht 723: Es ist falsch.
  3. 723 − 433 = 290
  1. Umkehraufgabe: 390 + 433 = 823
  2. 823 ist nicht 723: Es ist falsch.
  3. 723 − 433 = 290
Ergebnis:
falsch, richtig ist 290

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 455 − 371 und erhält 84. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 84 + 371 = 455
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 84 + 371 = 455
    2. 455 ist genau 455: Es stimmt.
    3. 455 − 371 = 84
    Ergebnis:
    stimmt, 84
  2. ●23
    Emma rechnet 408 : 6 und erhält 69. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    408 : 6Ergebnis 69?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 69 · 6 = 414
    2. 414 ist nicht 408: Es ist falsch.
    3. 408 : 6 = 68
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 68
  3. ★24
    Emma erhält für 208 · 30 das Ergebnis 6340. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 30 = 6000
    2. 6340 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 208 · 30 = 6240
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6240

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 13 + 54 + 37
    135437
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 37 + 54
    2. 13 + 37 = 50
    3. 50 + 54 = 104
    Ergebnis:
    104
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 15 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kisten15 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 15
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 15 = 150
    Ergebnis:
    150 Bälle
  3. ●27
    Emma rechnet 68 + 84 als 70 + 84. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    6884
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 84 = 154.
    3. 2 wieder abziehen: 154 − 2 = 152
    Ergebnis:
    152
  4. ●28
    Lina rechnet 157 − 29 als 157 − 30 und erhält 127. Ist das schon das Ergebnis?
    157 − 29157 − 30
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 127 + 1 = 128
    Ergebnis:
    Nein, 128
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 15
    Lösung zeigen
    1. 15 = 10 + 5
    2. 3 · 10 = 30 und 3 · 5 = 15
    3. 30 + 15 = 45
    Ergebnis:
    45
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 18?
    1086
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 10 = 60
    2. Rechts: 6 · 8 = 48
    3. 6 · 18 = 60 + 48 = 108
    Ergebnis:
    6 · 10 und 6 · 8, zusammen 108

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 16 + 19 + 34
    161934
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 67 = 70 + ___
    6967
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 55
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    440

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 56 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 56 : 4?
    56: 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 30 + 80 = 29 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    81

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 289 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 487

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 366 : 6 und erhält 61. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    366 : 6Ergebnis 61?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 61

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 118
  2. 142
  3. 905
  4. 383
  5. 255
  6. 801
  7. 144 Bonbons
  8. 174
  9. 450
  10. 13
  11. 19 Sticker
  12. 174
  13. 28
  14. 69
  15. 69
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. vertauschen, 164
  20. halbieren und verdoppeln, 90
  21. zerlegen, 132
  22. stimmt, 84
  23. falsch, richtig ist 68
  24. falsch, richtig ist 6240
  25. 104
  26. 150 Bälle
  27. 152
  28. Nein, 128
  29. 45
  30. 6 · 10 und 6 · 8, zusammen 108
  31. 69
  32. 66
  33. 440
  34. 14
  35. 81
  36. 80
  37. gegensinnig verändern, 487
  38. stimmt, 61
  39. 21
  40. 40
  41. 37
  42. 18