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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 39 − 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 39 − 18 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●40
    Rechne: (8 + 3) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 3 = 11
    2. 11 · 7 = 77
    Ergebnis:
    77

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 5 + 14 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 26 und erhalte 69. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 29 + 25 + 21
292521
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 29 + 21 + 25
  2. 29 + 21 = 50
  3. 50 + 25 = 75
  1. Vertauschen: 29 + 21 + 25
  2. 29 + 21 = 50
  3. 50 + 25 = 75
Ergebnis:
75

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Jonas rechnet 11 + 46 + 19 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    114619
    So fängst du an:
    Vertauschen: 11 + 19 + 46
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 19 + 46
    2. 11 + 19 = 30
    3. 30 + 46 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 25 + 31 + 25 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    253125
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 25 + 31
    2. 25 + 25 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 31 = 81
    Ergebnis:
    81
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 46 + 787 + 82 + 54 + 18 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    46787825418
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 46 + 54 + 82 + 18 + 787
    2. 46 + 54 = 100 und 82 + 18 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 100 + 787 = 987
    Ergebnis:
    987

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 53 = 300 + ___
29853
Schritt für Schritt
  1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
  2. Also muss 53 um 2 kleiner werden: 53 − 2 = 51
  3. 300 + 51 = 351
  1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
  2. Also muss 53 um 2 kleiner werden: 53 − 2 = 51
  3. 300 + 51 = 351
Ergebnis:
51

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 94
    6994
    So fängst du an:
    69 bekommt 1 dazu, 94 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 69 bekommt 1 dazu, 94 gibt 1 ab.
    2. 69 + 94 = 70 + 93
    3. 70 + 93 = 163
    Ergebnis:
    163
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 25 = 100 + ___
    9725
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 25 um 3 kleiner werden: 25 − 3 = 22
    3. 100 + 22 = 122
    Ergebnis:
    22
  3. ★6
    Can rechnet 1998 + 349 als 2000 + 349. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    1998349
    Lösung zeigen
    1. Can hat 1998 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 2000 + 349 = 2349.
    3. 2 wieder abziehen: 2349 − 2 = 2347
    Ergebnis:
    2347

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 3 Tüten mit je 31 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 3 · 31
  2. 31 = 30 + 1
  3. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
  4. 90 + 3 = 93
  1. 3 · 31
  2. 31 = 30 + 1
  3. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
  4. 90 + 3 = 93
Ergebnis:
93 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
    3. 360 − 6 = 354
    Ergebnis:
    354
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
    3. 120 − 3 = 117
    Ergebnis:
    117
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
    3. 240 − 8 = 232
    Ergebnis:
    232

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 117 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 117 : 9?
117: 9
Schritt für Schritt
  1. 117 = 90 + 27
  2. 90 : 9 = 10 und 27 : 9 = 3
  3. 10 + 3 = 13
  1. 117 = 90 + 27
  2. 90 : 9 = 10 und 27 : 9 = 3
  3. 10 + 3 = 13
Ergebnis:
13

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    162 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    162 : 3
    Lösung zeigen
    1. 162 : 3
    2. 162 = 150 + 12
    3. 150 : 3 = 50 und 12 : 3 = 4
    4. 50 + 4 = 54
    Ergebnis:
    54 Sticker
  2. ●11
    135 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 135 : 5
    2. 135 = 100 + 35
    3. 100 : 5 = 20 und 35 : 5 = 7
    4. 20 + 7 = 27
    Ergebnis:
    27 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 456 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 456 : 6?
    456: 6
    Lösung zeigen
    1. 456 = 420 + 36
    2. 420 : 6 = 70 und 36 : 6 = 6
    3. 70 + 6 = 76
    Ergebnis:
    76

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 69 − 62 = ___ − 64
Schritt für Schritt
  1. 62 wird zu 64: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 2 größer.
  3. 69 + 2 = 71
  1. 62 wird zu 64: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 2 größer.
  3. 69 + 2 = 71
Ergebnis:
71

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 85 − 48 = ___ − 50
    So fängst du an:
    48 wird zu 50: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 2 größer.
    3. 85 + 2 = 87
    Ergebnis:
    87
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 27 + 24 = 37 + ___
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 37: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 24 um 10 kleiner.
    3. 24 − 10 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 13 = 4 · ___
    8 · 13=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Emma verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 85? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 85 = 80 + 5.
  2. 8 · 80 = 640 und 8 · 5 = 40
  3. Zusammen: 680
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 85 = 80 + 5.
  2. 8 · 80 = 640 und 8 · 5 = 40
  3. Zusammen: 680
Ergebnis:
zerlegen, 680

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul erhält für 68 · 21 das Ergebnis 1328. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
  2. 1328 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 68 · 21 = 1428
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
  2. 1328 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 68 · 21 = 1428
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1428

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Hanna rechnet 90 : 3 und erhält 29. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    90 : 3Ergebnis 29?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 29 · 3 = 87
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 29 · 3 = 87
    2. 87 ist nicht 90: Es ist falsch.
    3. 90 : 3 = 30
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 30
  2. ●23
    Zeynep rechnet 320 : 5 und erhält 65. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    320 : 5Ergebnis 65?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 65 · 5 = 325
    2. 325 ist nicht 320: Es ist falsch.
    3. 320 : 5 = 64
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 64
  3. ★24
    Tom rechnet 9408 − 7085 und erhält 2313. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2313 + 7085 = 9398
    2. 9398 ist nicht 9408: Es ist falsch.
    3. 9408 − 7085 = 2323
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2323

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Sofia rechnet 37 + 29 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    372923
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 23 + 29
    2. 37 + 23 = 60
    3. 60 + 29 = 89
    Ergebnis:
    89
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 18 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kartons18 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 18
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 18 = 180
    Ergebnis:
    180 Bälle
  3. ●27
    Sofia rechnet 197 + 58 als 200 + 58. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    19758
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 58 = 258.
    3. 3 wieder abziehen: 258 − 3 = 255
    Ergebnis:
    255
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 49 − 28 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 28 wird zu 30: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 49 um 2 größer: 51.
    3. 51 − 30 = 21
    Ergebnis:
    51
  5. ●29
    Es gibt 3 Reihen mit je 25 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 25
    2. 25 = 20 + 5
    3. 3 · 20 = 60 und 3 · 5 = 15
    4. 60 + 15 = 75
    Ergebnis:
    75 Stühle
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 4 Reihen mit je 26 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2064
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 4 · 20 = 80
    2. Rechter Teil: 4 · 6 = 24
    3. Zusammen: 80 + 24 = 104
    Ergebnis:
    104 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 14 + 25 + 6
    14256
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 93
    9993
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    192

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 9 Reihen mit je 32 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    288 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 117 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 117 : 3?
    117: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 13 = 8 · ___
    16 · 13=8 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 44 + 71 + 56? Nenne ihn. Rechne danach.
    44 + 71 + 56zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 171

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 348 : 4 und erhält 86. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    348 : 4Ergebnis 86?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 87

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 76
  2. 81
  3. 987
  4. 163
  5. 22
  6. 2347
  7. 354
  8. 117
  9. 232
  10. 54 Sticker
  11. 27 Murmeln
  12. 76
  13. 87
  14. 14
  15. 26
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 400
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. halbieren und verdoppeln, 90
  22. falsch, richtig ist 30
  23. falsch, richtig ist 64
  24. falsch, richtig ist 2323
  25. 89
  26. 180 Bälle
  27. 255
  28. 51
  29. 75 Stühle
  30. 104 Kästchen
  31. 45
  32. 192
  33. 288 Stühle
  34. 39
  35. 26
  36. 200
  37. vertauschen, 171
  38. falsch, richtig ist 87
  39. 21
  40. 77
  41. 19
  42. 43