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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 6 + 35 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●40
    Rechne: (4 + 6) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 6 = 10
    2. 10 · 5 = 50
    Ergebnis:
    50

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 8 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 6 = 48
    2. 5 + 48 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 26. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 61 + 67 + 39
616739
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 61 + 39 + 67
  2. 61 + 39 = 100
  3. 100 + 67 = 167
  1. Vertauschen: 61 + 39 + 67
  2. 61 + 39 = 100
  3. 100 + 67 = 167
Ergebnis:
167

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 24 + 45 + 36
    244536
    So fängst du an:
    Vertauschen: 24 + 36 + 45
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 36 + 45
    2. 24 + 36 = 60
    3. 60 + 45 = 105
    Ergebnis:
    105
  2. ●2
    Rechne geschickt: 31 + 71 + 9
    31719
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 9 + 71
    2. 31 + 9 = 40
    3. 40 + 71 = 111
    Ergebnis:
    111
  3. ★3
    Elias rechnet 184 + 805 + 74 + 16 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    184805741626
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 184 + 16 + 74 + 26 + 805
    2. 184 + 16 = 200 und 74 + 26 = 100
    3. 200 + 100 + 805 = 1105
    Ergebnis:
    1105

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 67 = 100 + ___
9967
Schritt für Schritt
  1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
  2. Also muss 67 um 1 kleiner werden: 67 − 1 = 66
  3. 100 + 66 = 166
  1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
  2. Also muss 67 um 1 kleiner werden: 67 − 1 = 66
  3. 100 + 66 = 166
Ergebnis:
66

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 24 = 300 + ___
    29824
    So fängst du an:
    298 wird zu 300: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 24 um 2 kleiner werden: 24 − 2 = 22
    3. 300 + 22 = 322
    Ergebnis:
    22
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 94 = 50 + ___
    4794
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 94 um 3 kleiner werden: 94 − 3 = 91
    3. 50 + 91 = 141
    Ergebnis:
    91
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 397 + 567 = 400 + ___
    397567
    Lösung zeigen
    1. 397 wird zu 400: 3 mehr.
    2. Also muss 567 um 3 kleiner werden: 567 − 3 = 564
    3. 400 + 564 = 964
    Ergebnis:
    564

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  3. 480 − 8 = 472
  1. 59 = 60 − 1
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
  3. 480 − 8 = 472
Ergebnis:
472

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
    3. 360 − 6 = 354
    Ergebnis:
    354
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 6 · 276
    Lösung zeigen
    1. 276 = 200 + 70 + 6
    2. 6 · 200 = 1200; 6 · 70 = 420; 6 · 6 = 36
    3. 1200 + 420 + 36 = 1656
    Ergebnis:
    1656

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 413 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 413 : 7?
413: 7
Schritt für Schritt
  1. 413 = 350 + 63
  2. 350 : 7 = 50 und 63 : 7 = 9
  3. 50 + 9 = 59
  1. 413 = 350 + 63
  2. 350 : 7 = 50 und 63 : 7 = 9
  3. 50 + 9 = 59
Ergebnis:
59

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 144 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 144 : 4?
    144: 4
    So fängst du an:
    144 = 120 + 24
    Lösung zeigen
    1. 144 = 120 + 24
    2. 120 : 4 = 30 und 24 : 4 = 6
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●11
    208 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 208 : 4
    2. 208 = 200 + 8
    3. 200 : 4 = 50 und 8 : 4 = 2
    4. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 126 : 3
    Lösung zeigen
    1. 126 = 120 + 6
    2. 120 : 3 = 40 und 6 : 3 = 2
    3. 40 + 2 = 42
    Ergebnis:
    42

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 14 = 4 · ___
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
Ergebnis:
28

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 48 − 15 = ___ − 20
    So fängst du an:
    15 wird zu 20: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 15 wird zu 20: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 48 um 5 größer.
    3. 48 + 5 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 81 + 56 = 71 + ___
    81 + 56=71 + ?
    Lösung zeigen
    1. 81 wird zu 71: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 56 um 10 größer.
    3. 56 + 10 = 66
    Ergebnis:
    66
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 10 = 7 · ___
    14 · 10=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Mia verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 78? Nenne ihn. Rechne danach.
7 · 78zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 78 = 70 + 8.
  2. 7 · 70 = 490 und 7 · 8 = 56
  3. Zusammen: 546
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 78 = 70 + 8.
  2. 7 · 70 = 490 und 7 · 8 = 56
  3. Zusammen: 546
Ergebnis:
zerlegen, 546

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 244 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 244 + 299 = 243 + 300
    3. 243 + 300 = 543
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 543
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 123 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    123 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 123 + 598 = 121 + 600
    3. 121 + 600 = 721
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 721

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Jonas rechnet 549 : 9 und erhält 60. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
549 : 9Ergebnis 60?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 60 · 9 = 540
  2. 540 ist nicht 549: Es ist falsch.
  3. 549 : 9 = 61
  1. Umkehraufgabe: 60 · 9 = 540
  2. 540 ist nicht 549: Es ist falsch.
  3. 549 : 9 = 61
Ergebnis:
falsch, richtig ist 61

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea erhält für 77 · 49 das Ergebnis 3973. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 50 = 4000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 50 = 4000
    2. 3973 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 77 · 49 = 3773
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3773
  2. ●23
    Emma erhält für 50 · 17 das Ergebnis 650. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
    2. 650 liegt zu weit weg. Genau: 50 · 17 = 850
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 850
  3. ★24
    Emma rechnet 1368 : 3 und erhält 458. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1368 : 3Ergebnis 458?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 458 · 3 = 1374
    2. 1374 ist nicht 1368: Es ist falsch.
    3. 1368 : 3 = 456
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 456

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 14 + 61 + 36
    146136
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 36 + 61
    2. 14 + 36 = 50
    3. 50 + 61 = 111
    Ergebnis:
    111
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 6 · 2 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    625
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 6
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60
  3. ●27
    Milan rechnet 299 + 65 als 300 + 65. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    29965
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 65 = 365.
    3. 1 wieder abziehen: 365 − 1 = 364
    Ergebnis:
    364
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 55 − 39 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 55 um 1 größer: 56.
    3. 56 − 40 = 16
    Ergebnis:
    56
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 21
    Lösung zeigen
    1. 21 = 20 + 1
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    3. 100 + 5 = 105
    Ergebnis:
    105
  6. ●30
    Elias rechnet 5 · 13 so: erst 5 · 10, dann 3 dazu. Elias erhält 53. Zeige am Bild, was fehlt.
    1035
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 5 · 3 = 15
    3. 50 + 15 = 65
    Ergebnis:
    65

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 26 + 87 + 24 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    268724
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    137

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 46 = 300 + ___
    29846
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    44

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    156

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    245 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    49 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 10 = 2 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 278 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    278 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 677

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 385 : 7 und erhält 56. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    385 : 7Ergebnis 56?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 55

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 105
  2. 111
  3. 1105
  4. 22
  5. 91
  6. 564
  7. 354
  8. 245
  9. 1656
  10. 36
  11. 52 Sticker
  12. 42
  13. 53
  14. 66
  15. 20
  16. 90
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 490
  19. gegensinnig verändern, 543
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. gegensinnig verändern, 721
  22. falsch, richtig ist 3773
  23. falsch, richtig ist 850
  24. falsch, richtig ist 456
  25. 111
  26. 60
  27. 364
  28. 56
  29. 105
  30. 65
  31. 137
  32. 44
  33. 156
  34. 49 Murmeln
  35. 20
  36. 210
  37. gegensinnig verändern, 677
  38. falsch, richtig ist 55
  39. 41
  40. 50
  41. 53
  42. 23