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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 59 − 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 59 − 21 = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●40
    Rechne: (3 + 5) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 5 = 8
    2. 8 · 8 = 64
    Ergebnis:
    64

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 8 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 9 = 72
    2. 5 + 72 = 77
    Ergebnis:
    77
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 17 und erhalte 52. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 12 + 14 + 8 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
12148
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 12 + 8 + 14
  2. 12 + 8 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 14 = 34
  1. Vertauschen: 12 + 8 + 14
  2. 12 + 8 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 14 = 34
Ergebnis:
34

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 57 + 89 + 3
    57893
    So fängst du an:
    Vertauschen: 57 + 3 + 89
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 57 + 3 + 89
    2. 57 + 3 = 60
    3. 60 + 89 = 149
    Ergebnis:
    149
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 6 + 52 + 14 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    65214
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 52
    2. 6 + 14 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 52 = 72
    Ergebnis:
    72
  3. ★3
    Lea rechnet 69 + 285 + 27 + 31 + 73 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    69285273173
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 69 + 31 + 27 + 73 + 285
    2. 69 + 31 = 100 und 27 + 73 = 100
    3. 100 + 100 + 285 = 485
    Ergebnis:
    485

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 57 = 50 + ___
4757
Schritt für Schritt
  1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
  2. Also muss 57 um 3 kleiner werden: 57 − 3 = 54
  3. 50 + 54 = 104
  1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
  2. Also muss 57 um 3 kleiner werden: 57 − 3 = 54
  3. 50 + 54 = 104
Ergebnis:
54

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Milan rechnet 199 + 79 als 200 + 79. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    19979
    So fängst du an:
    Milan hat 199 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 79 = 279.
    3. 1 wieder abziehen: 279 − 1 = 278
    Ergebnis:
    278
  2. ●5
    Hanna rechnet 47 + 28 als 50 + 28. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    4728
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 28 = 78.
    3. 3 wieder abziehen: 78 − 3 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 498 + 196 = 500 + ___
    498196
    Lösung zeigen
    1. 498 wird zu 500: 2 mehr.
    2. Also muss 196 um 2 kleiner werden: 196 − 2 = 194
    3. 500 + 194 = 694
    Ergebnis:
    194

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 26
Schritt für Schritt
  1. 26 = 20 + 6
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 6 = 36
  3. 120 + 36 = 156
  1. 26 = 20 + 6
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 6 = 36
  3. 120 + 36 = 156
Ergebnis:
156

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 57
    So fängst du an:
    57 = 50 + 7
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 7 = 56
    3. 400 + 56 = 456
    Ergebnis:
    456
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 41
    Lösung zeigen
    1. 41 = 40 + 1
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    3. 280 + 7 = 287
    Ergebnis:
    287
  3. ★9
    Es gibt 9 Tüten mit je 87 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 87
    2. 87 = 80 + 7
    3. 9 · 80 = 720 und 9 · 7 = 63
    4. 720 + 63 = 783
    Ergebnis:
    783 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 155 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 155 : 5?
155: 5
Schritt für Schritt
  1. 155 = 150 + 5
  2. 150 : 5 = 30 und 5 : 5 = 1
  3. 30 + 1 = 31
  1. 155 = 150 + 5
  2. 150 : 5 = 30 und 5 : 5 = 1
  3. 30 + 1 = 31
Ergebnis:
31

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 325 : 5
    So fängst du an:
    325 = 300 + 25
    Lösung zeigen
    1. 325 = 300 + 25
    2. 300 : 5 = 60 und 25 : 5 = 5
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●11
    Zerlege 272 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 272 : 8?
    272: 8
    Lösung zeigen
    1. 272 = 240 + 32
    2. 240 : 8 = 30 und 32 : 8 = 4
    3. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 1008 : 7
    Lösung zeigen
    1. 1008 = 980 + 28
    2. 980 : 7 = 140 und 28 : 7 = 4
    3. 140 + 4 = 144
    Ergebnis:
    144

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 74 − 28 = ___ − 38
Schritt für Schritt
  1. 28 wird zu 38: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 74 um 10 größer.
  3. 74 + 10 = 84
  1. 28 wird zu 38: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 74 um 10 größer.
  3. 74 + 10 = 84
Ergebnis:
84

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 9 = 8 · ___
    16 · 9=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 14 · 10 = 7 · ___
    14 · 10=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 14 · 8 = 7 · ___
    14 · 8=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Can verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Warum ist 18 · 45 dasselbe wie 9 · 90? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 45 = 9 · 90
    3. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 44 + 69 + 56? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 44 + 56 = 100
  3. 100 + 69 = 169
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 44 + 56 = 100
  3. 100 + 69 = 169
Ergebnis:
vertauschen, 169

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 367 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    367 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 367 + 198 = 365 + 200
    3. 365 + 200 = 565
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 565
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7414 − 4081? Nenne ihn. Rechne danach.
    7414 − 4081zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 7414 − 4081 = 3333
    Ergebnis:
    schriftlich, 3333

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul erhält für 37 · 23 das Ergebnis 851. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 20 = 800
  2. 851 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 37 · 23 = 851
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 40 · 20 = 800
  2. 851 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 37 · 23 = 851
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 851

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 434 − 268 und erhält 266. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 266 + 268 = 534
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 266 + 268 = 534
    2. 534 ist nicht 434: Es ist falsch.
    3. 434 − 268 = 166
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 166
  2. ●23
    Lina rechnet 215 : 5 und erhält 44. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    215 : 5Ergebnis 44?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 44 · 5 = 220
    2. 220 ist nicht 215: Es ist falsch.
    3. 215 : 5 = 43
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 43
  3. ★24
    Aylin erhält für 154 · 47 das Ergebnis 7038. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 50 = 10.000
    2. 7038 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 154 · 47 = 7238
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 7238

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 11 + 14 + 49
    111449
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 49 + 14
    2. 11 + 49 = 60
    3. 60 + 14 = 74
    Ergebnis:
    74
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 15 · 25 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    15254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 15
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 15 = 1500
    Ergebnis:
    1500
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 65
    6965
    Lösung zeigen
    1. 69 bekommt 1 dazu, 65 gibt 1 ab.
    2. 69 + 65 = 70 + 64
    3. 70 + 64 = 134
    Ergebnis:
    134
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 214 − 197
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 214 − 197 = 217 − 200
    3. 217 − 200 = 17
    Ergebnis:
    17
  5. ●29
    Es gibt 9 Reihen mit je 24 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 24
    2. 24 = 20 + 4
    3. 9 · 20 = 180 und 9 · 4 = 36
    4. 180 + 36 = 216
    Ergebnis:
    216 Stühle
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 22 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2027
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 20 = 140
    2. Rechter Teil: 7 · 2 = 14
    3. Zusammen: 140 + 14 = 154
    Ergebnis:
    154 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 32 + 25 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    153225
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 23 = 40 + ___
    3923
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 9 Tüten mit je 23 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    207 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    462 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 42 + 20 = 41 + ___
    42 + 20=41 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 191 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    191 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 590

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna rechnet 522 : 6 und erhält 97. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    522 : 6Ergebnis 97?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 87

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 149
  2. 72
  3. 485
  4. 278
  5. 75
  6. 194
  7. 456
  8. 287
  9. 783 Bonbons
  10. 65
  11. 34
  12. 144
  13. 18
  14. 20
  15. 16
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. 80
  18. 810
  19. gegensinnig verändern, 565
  20. halbieren und verdoppeln, 90
  21. schriftlich, 3333
  22. falsch, richtig ist 166
  23. falsch, richtig ist 43
  24. falsch, richtig ist 7238
  25. 74
  26. 1500
  27. 134
  28. 17
  29. 216 Stühle
  30. 154 Kästchen
  31. 72
  32. 22
  33. 207 Bonbons
  34. 66 Sticker
  35. 21
  36. 400
  37. gegensinnig verändern, 590
  38. falsch, richtig ist 87
  39. 38
  40. 64
  41. 77
  42. 35