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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 66 − 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 66 − 35 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●40
    Rechne: (4 + 5) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 5 = 9
    2. 9 · 5 = 45
    Ergebnis:
    45

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 9 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 8 = 72
    2. 8 + 72 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 9 und erhalte 64. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 46 + 42 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
464214
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 46 + 14 + 42
  2. 46 + 14 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 42 = 102
  1. Vertauschen: 46 + 14 + 42
  2. 46 + 14 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 42 = 102
Ergebnis:
102

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Jonas rechnet 23 + 41 + 37 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    234137
    So fängst du an:
    Vertauschen: 23 + 37 + 41
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 37 + 41
    2. 23 + 37 = 60
    3. 60 + 41 = 101
    Ergebnis:
    101
  2. ●2
    Emma rechnet 14 + 79 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    14796
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 79
    2. 14 + 6 = 20
    3. 20 + 79 = 99
    Ergebnis:
    99
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 25 + 512 + 75 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    2551275
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 75 + 512
    2. 25 + 75 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 512 = 612
    Ergebnis:
    612

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Emma rechnet 47 + 67 als 50 + 67. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
4767
Schritt für Schritt
  1. Emma hat 47 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 67 = 117.
  3. 3 wieder abziehen: 117 − 3 = 114
  1. Emma hat 47 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 67 = 117.
  3. 3 wieder abziehen: 117 − 3 = 114
Ergebnis:
114

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Paul rechnet 68 + 74 als 70 + 74. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    6874
    So fängst du an:
    Paul hat 68 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 74 = 144.
    3. 2 wieder abziehen: 144 − 2 = 142
    Ergebnis:
    142
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 57
    6757
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 57 gibt 3 ab.
    2. 67 + 57 = 70 + 54
    3. 70 + 54 = 124
    Ergebnis:
    124
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 996 + 545 = 1000 + ___
    996545
    Lösung zeigen
    1. 996 wird zu 1000: 4 mehr.
    2. Also muss 545 um 4 kleiner werden: 545 − 4 = 541
    3. 1000 + 541 = 1541
    Ergebnis:
    541

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 51
Schritt für Schritt
  1. 51 = 50 + 1
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
  3. 150 + 3 = 153
  1. 51 = 50 + 1
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
  3. 150 + 3 = 153
Ergebnis:
153

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 38
    So fängst du an:
    38 = 30 + 8
    Lösung zeigen
    1. 38 = 30 + 8
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 8 = 64
    3. 240 + 64 = 304
    Ergebnis:
    304
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 68
    Lösung zeigen
    1. 68 = 60 + 8
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 8 = 32
    3. 240 + 32 = 272
    Ergebnis:
    272
  3. ★9
    Es gibt 4 Reihen mit je 73 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 73
    2. 73 = 70 + 3
    3. 4 · 70 = 280 und 4 · 3 = 12
    4. 280 + 12 = 292
    Ergebnis:
    292 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 148 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 148 : 4?
148: 4
Schritt für Schritt
  1. 148 = 120 + 28
  2. 120 : 4 = 30 und 28 : 4 = 7
  3. 30 + 7 = 37
  1. 148 = 120 + 28
  2. 120 : 4 = 30 und 28 : 4 = 7
  3. 30 + 7 = 37
Ergebnis:
37

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 216 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 216 : 4?
    216: 4
    So fängst du an:
    216 = 200 + 16
    Lösung zeigen
    1. 216 = 200 + 16
    2. 200 : 4 = 50 und 16 : 4 = 4
    3. 50 + 4 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 259 : 7
    Lösung zeigen
    1. 259 = 210 + 49
    2. 210 : 7 = 30 und 49 : 7 = 7
    3. 30 + 7 = 37
    Ergebnis:
    37
  3. ★12
    Zerlege 1143 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 1143 : 9?
    1143: 9
    Lösung zeigen
    1. 1143 = 1080 + 63
    2. 1080 : 9 = 120 und 63 : 9 = 7
    3. 120 + 7 = 127
    Ergebnis:
    127

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 92 − 68 = ___ − 78
Schritt für Schritt
  1. 68 wird zu 78: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 92 um 10 größer.
  3. 92 + 10 = 102
  1. 68 wird zu 78: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 92 um 10 größer.
  3. 92 + 10 = 102
Ergebnis:
102

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 83 + 28 = 81 + ___
    83 + 28=81 + ?
    So fängst du an:
    83 wird zu 81: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 83 wird zu 81: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 28 um 2 größer.
    3. 28 + 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 14 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 69 − 15 = ___ − 25
    Lösung zeigen
    1. 15 wird zu 25: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 10 größer.
    3. 69 + 10 = 79
    Ergebnis:
    79

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 35
    Lösung zeigen
    1. 14 · 35 = 7 · 70
    2. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 62? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 62 = 60 + 2.
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 2 = 16
  3. Zusammen: 496
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 62 = 60 + 2.
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 2 = 16
  3. Zusammen: 496
Ergebnis:
zerlegen, 496

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 277 + 299? Nenne ihn und rechne.
    277 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 277 + 299 = 276 + 300
    3. 276 + 300 = 576
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 576
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 203 + 299? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 203 + 299 = 202 + 300
    3. 202 + 300 = 502
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 502

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias rechnet 515 − 129 und erhält 396. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 396 + 129 = 525
  2. 525 ist nicht 515: Es ist falsch.
  3. 515 − 129 = 386
  1. Umkehraufgabe: 396 + 129 = 525
  2. 525 ist nicht 515: Es ist falsch.
  3. 515 − 129 = 386
Ergebnis:
falsch, richtig ist 386

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 801 : 9 und erhält 88. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    801 : 9Ergebnis 88?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 88 · 9 = 792
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 88 · 9 = 792
    2. 792 ist nicht 801: Es ist falsch.
    3. 801 : 9 = 89
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 89
  2. ●23
    Jonas erhält für 35 · 23 das Ergebnis 805. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 20 = 800
    2. 805 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 35 · 23 = 805
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 805
  3. ★24
    Elias rechnet 1188 : 6 und erhält 208. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1188 : 6Ergebnis 208?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 208 · 6 = 1248
    2. 1248 ist nicht 1188: Es ist falsch.
    3. 1188 : 6 = 198
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 198

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 23 + 34 + 27
    233427
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 27 + 34
    2. 23 + 27 = 50
    3. 50 + 34 = 84
    Ergebnis:
    84
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 16 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kisten16 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 16
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 16 = 1600
    Ergebnis:
    1600 Bälle
  3. ●27
    Aylin rechnet 98 + 84 als 100 + 84. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    9884
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 84 = 184.
    3. 2 wieder abziehen: 184 − 2 = 182
    Ergebnis:
    182
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 162 − 48 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 162 um 2 größer: 164.
    3. 164 − 50 = 114
    Ergebnis:
    164
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
    3. 150 − 5 = 145
    Ergebnis:
    145
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 17 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1075
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 10 = 50
    2. Rechter Teil: 5 · 7 = 35
    3. Zusammen: 50 + 35 = 85
    Ergebnis:
    85 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 54 + 5 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    15545
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    74

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 57 = 200 + ___
    19957
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Tüten mit je 68 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    544 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    216 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 45 + 57 = 47 + ___
    45 + 57=47 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Emma verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina erhält für 39 · 28 das Ergebnis 992. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1092

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 101
  2. 99
  3. 612
  4. 142
  5. 124
  6. 541
  7. 304
  8. 272
  9. 292 Stühle
  10. 54
  11. 37
  12. 127
  13. 30
  14. 28
  15. 79
  16. 400
  17. 400
  18. 490
  19. gegensinnig verändern, 576
  20. halbieren und verdoppeln, 90
  21. gegensinnig verändern, 502
  22. falsch, richtig ist 89
  23. stimmt, 805
  24. falsch, richtig ist 198
  25. 84
  26. 1600 Bälle
  27. 182
  28. 164
  29. 145
  30. 85 Kästchen
  31. 74
  32. 56
  33. 544 Bonbons
  34. 24 Bücher
  35. 55
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. halbieren und verdoppeln, 200
  38. falsch, richtig ist 1092
  39. 31
  40. 45
  41. 80
  42. 55