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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 5 + 30 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●40
    Rechne: (4 + 5) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 5 = 9
    2. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 2 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 6 = 12
    2. 9 + 12 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 8. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 6 + 26 + 14 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
62614
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 6 + 14 + 26
  2. 6 + 14 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 26 = 46
  1. Vertauschen: 6 + 14 + 26
  2. 6 + 14 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 26 = 46
Ergebnis:
46

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Noah rechnet 23 + 34 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    23347
    So fängst du an:
    Vertauschen: 23 + 7 + 34
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 7 + 34
    2. 23 + 7 = 30
    3. 30 + 34 = 64
    Ergebnis:
    64
  2. ●2
    Rechne geschickt: 47 + 51 + 13
    475113
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 47 + 13 + 51
    2. 47 + 13 = 60
    3. 60 + 51 = 111
    Ergebnis:
    111
  3. ★3
    Rechne geschickt: 84 + 678 + 16
    8467816
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 84 + 16 + 678
    2. 84 + 16 = 100
    3. 100 + 678 = 778
    Ergebnis:
    778

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Elias rechnet 198 + 66 als 200 + 66. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
19866
Schritt für Schritt
  1. Elias hat 198 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 66 = 266.
  3. 2 wieder abziehen: 266 − 2 = 264
  1. Elias hat 198 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 66 = 266.
  3. 2 wieder abziehen: 266 − 2 = 264
Ergebnis:
264

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Hanna rechnet 67 + 94 als 70 + 94. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    6794
    So fängst du an:
    Hanna hat 67 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 94 = 164.
    3. 3 wieder abziehen: 164 − 3 = 161
    Ergebnis:
    161
  2. ●5
    Tom rechnet 97 + 28 als 100 + 28. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    9728
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 28 = 128.
    3. 3 wieder abziehen: 128 − 3 = 125
    Ergebnis:
    125
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 497 + 409 = 500 + ___
    497409
    Lösung zeigen
    1. 497 wird zu 500: 3 mehr.
    2. Also muss 409 um 3 kleiner werden: 409 − 3 = 406
    3. 500 + 406 = 906
    Ergebnis:
    406

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 14
Schritt für Schritt
  1. 14 = 10 + 4
  2. 7 · 10 = 70 und 7 · 4 = 28
  3. 70 + 28 = 98
  1. 14 = 10 + 4
  2. 7 · 10 = 70 und 7 · 4 = 28
  3. 70 + 28 = 98
Ergebnis:
98

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Hefte mit je 53 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 53
    Lösung zeigen
    1. 4 · 53
    2. 53 = 50 + 3
    3. 4 · 50 = 200 und 4 · 3 = 12
    4. 200 + 12 = 212
    Ergebnis:
    212 Hefte
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 33
    Lösung zeigen
    1. 33 = 30 + 3
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 3 = 27
    3. 270 + 27 = 297
    Ergebnis:
    297
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 3 · 343
    Lösung zeigen
    1. 343 = 300 + 40 + 3
    2. 3 · 300 = 900; 3 · 40 = 120; 3 · 3 = 9
    3. 900 + 120 + 9 = 1029
    Ergebnis:
    1029

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 186 : 3
Schritt für Schritt
  1. 186 = 180 + 6
  2. 180 : 3 = 60 und 6 : 3 = 2
  3. 60 + 2 = 62
  1. 186 = 180 + 6
  2. 180 : 3 = 60 und 6 : 3 = 2
  3. 60 + 2 = 62
Ergebnis:
62

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 342 : 9
    So fängst du an:
    342 = 270 + 72
    Lösung zeigen
    1. 342 = 270 + 72
    2. 270 : 9 = 30 und 72 : 9 = 8
    3. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●11
    512 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 512 : 8
    2. 512 = 480 + 32
    3. 480 : 8 = 60 und 32 : 8 = 4
    4. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64 Sticker
  3. ★12
    488 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 488 : 4
    2. 488 = 480 + 8
    3. 480 : 4 = 120 und 8 : 4 = 2
    4. 120 + 2 = 122
    Ergebnis:
    122 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 82 − 32 = ___ − 33
Schritt für Schritt
  1. 32 wird zu 33: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 82 um 1 größer.
  3. 82 + 1 = 83
  1. 32 wird zu 33: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 82 um 1 größer.
  3. 82 + 1 = 83
Ergebnis:
83

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 84 + 45 = 82 + ___
    84 + 45=82 + ?
    So fängst du an:
    84 wird zu 82: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 84 wird zu 82: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 45 um 2 größer.
    3. 45 + 2 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 7 = 9 · ___
    18 · 7=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 6 · 43 + 6 · 5 = 6 · ___
    6 · 43 + 6 · 5=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
    2. 6 mal 43 und 6 mal 5 sind zusammen 6 mal (43 + 5).
    3. 43 + 5 = 48
    Ergebnis:
    48

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Hanna verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 36 · 5
    Lösung zeigen
    1. 36 · 5 = 18 · 10
    2. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 39 + 63 + 61? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 39 + 61 = 100
    3. 100 + 63 = 163
    Ergebnis:
    vertauschen, 163
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 8 · 89? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 89zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 89 = 80 + 9.
    2. 8 · 80 = 640 und 8 · 9 = 72
    3. Zusammen: 712
    Ergebnis:
    zerlegen, 712
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 21 + 43 + 79? Nenne ihn. Rechne danach.
    21 + 43 + 79zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 21 + 79 = 100
    3. 100 + 43 = 143
    Ergebnis:
    vertauschen, 143

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben erhält für 85 · 44 das Ergebnis 3840. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 90 · 40 = 3600
  2. 3840 liegt zu weit weg. Genau: 85 · 44 = 3740
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 90 · 40 = 3600
  2. 3840 liegt zu weit weg. Genau: 85 · 44 = 3740
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 3740

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Paul rechnet 798 − 265 und erhält 533. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 533 + 265 = 798
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 533 + 265 = 798
    2. 798 ist genau 798: Es stimmt.
    3. 798 − 265 = 533
    Ergebnis:
    stimmt, 533
  2. ●23
    Lea rechnet 558 : 9 und erhält 61. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    558 : 9Ergebnis 61?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 61 · 9 = 549
    2. 549 ist nicht 558: Es ist falsch.
    3. 558 : 9 = 62
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 62
  3. ★24
    Aylin rechnet 5921 − 947 und erhält 4964. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4964 + 947 = 5911
    2. 5911 ist nicht 5921: Es ist falsch.
    3. 5921 − 947 = 4974
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4974

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 46 + 67 + 4
    46674
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 46 + 4 + 67
    2. 46 + 4 = 50
    3. 50 + 67 = 117
    Ergebnis:
    117
  2. ●26
    Rechne geschickt: 5 · 25 · 4
    5254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 5
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 5 = 500
    Ergebnis:
    500
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 88
    29788
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 88 gibt 3 ab.
    2. 297 + 88 = 300 + 85
    3. 300 + 85 = 385
    Ergebnis:
    385
  4. ●28
    Mia rechnet 219 − 199 als 219 − 200 und erhält 19. Ist das schon das Ergebnis?
    219 − 199219 − 200
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 19 + 1 = 20
    Ergebnis:
    Nein, 20
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 57
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 7 = 42
    3. 300 + 42 = 342
    Ergebnis:
    342
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 13?
    1033
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 10 = 30
    2. Rechts: 3 · 3 = 9
    3. 3 · 13 = 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    3 · 10 und 3 · 3, zusammen 39

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 11 + 47 + 29 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    114729
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    87

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 93
    9893
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    191

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 37
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    111

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    70 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 4 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna rechnet 545 − 138 und erhält 417. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 407

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 64
  2. 111
  3. 778
  4. 161
  5. 125
  6. 406
  7. 212 Hefte
  8. 297
  9. 1029
  10. 38
  11. 64 Sticker
  12. 122 Sticker
  13. 47
  14. 14
  15. 48
  16. 90
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. 180
  19. vertauschen, 163
  20. zerlegen, 712
  21. vertauschen, 143
  22. stimmt, 533
  23. falsch, richtig ist 62
  24. falsch, richtig ist 4974
  25. 117
  26. 500
  27. 385
  28. Nein, 20
  29. 342
  30. 3 · 10 und 3 · 3, zusammen 39
  31. 87
  32. 191
  33. 111
  34. 14 Bücher
  35. 8
  36. 210
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. falsch, richtig ist 407
  39. 35
  40. 18
  41. 21
  42. 5