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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 56 − 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 56 − 35 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●40
    Rechne: (5 + 3) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 3 = 8
    2. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 8 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 2 = 16
    2. 12 + 16 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 18 und erhalte 78. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Jonas rechnet 24 + 53 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
245316
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 16 + 53
  2. 24 + 16 = 40
  3. 40 + 53 = 93
  1. Vertauschen: 24 + 16 + 53
  2. 24 + 16 = 40
  3. 40 + 53 = 93
Ergebnis:
93

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 28 + 43 + 22 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    284322
    So fängst du an:
    Vertauschen: 28 + 22 + 43
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 22 + 43
    2. 28 + 22 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 43 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 34 + 38 + 6 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    34386
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 6 + 38
    2. 34 + 6 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 38 = 78
    Ergebnis:
    78
  3. ★3
    Rechne geschickt: 39 + 675 + 61
    3967561
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 39 + 61 + 675
    2. 39 + 61 = 100
    3. 100 + 675 = 775
    Ergebnis:
    775

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 77 = 200 + ___
19877
Schritt für Schritt
  1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
  2. Also muss 77 um 2 kleiner werden: 77 − 2 = 75
  3. 200 + 75 = 275
  1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
  2. Also muss 77 um 2 kleiner werden: 77 − 2 = 75
  3. 200 + 75 = 275
Ergebnis:
75

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Milan rechnet 299 + 76 als 300 + 76. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    29976
    So fängst du an:
    Milan hat 299 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 76 = 376.
    3. 1 wieder abziehen: 376 − 1 = 375
    Ergebnis:
    375
  2. ●5
    Milan rechnet 48 + 76 als 50 + 76. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    4876
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 76 = 126.
    3. 2 wieder abziehen: 126 − 2 = 124
    Ergebnis:
    124
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 996 + 786 = 1000 + ___
    996786
    Lösung zeigen
    1. 996 wird zu 1000: 4 mehr.
    2. Also muss 786 um 4 kleiner werden: 786 − 4 = 782
    3. 1000 + 782 = 1782
    Ergebnis:
    782

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Tüten mit je 26 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 26
  2. 26 = 20 + 6
  3. 7 · 20 = 140 und 7 · 6 = 42
  4. 140 + 42 = 182
  1. 7 · 26
  2. 26 = 20 + 6
  3. 7 · 20 = 140 und 7 · 6 = 42
  4. 140 + 42 = 182
Ergebnis:
182 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 64
    So fängst du an:
    64 = 60 + 4
    Lösung zeigen
    1. 64 = 60 + 4
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 4 = 36
    3. 540 + 36 = 576
    Ergebnis:
    576
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    3. 280 − 7 = 273
    Ergebnis:
    273
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 99
    Lösung zeigen
    1. 99 = 100 − 1
    2. 7 · 100 = 700 und 7 · 1 = 7
    3. 700 − 7 = 693
    Ergebnis:
    693

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

245 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 245 : 7
  2. 245 = 210 + 35
  3. 210 : 7 = 30 und 35 : 7 = 5
  4. 30 + 5 = 35
  1. 245 : 7
  2. 245 = 210 + 35
  3. 210 : 7 = 30 und 35 : 7 = 5
  4. 30 + 5 = 35
Ergebnis:
35 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 296 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 296 : 8?
    296: 8
    So fängst du an:
    296 = 240 + 56
    Lösung zeigen
    1. 296 = 240 + 56
    2. 240 : 8 = 30 und 56 : 8 = 7
    3. 30 + 7 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●11
    195 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 195 : 5
    2. 195 = 150 + 45
    3. 150 : 5 = 30 und 45 : 5 = 9
    4. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39 Murmeln
  3. ★12
    222 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 222 : 6
    2. 222 = 180 + 42
    3. 180 : 6 = 30 und 42 : 6 = 7
    4. 30 + 7 = 37
    Ergebnis:
    37 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 61 − 44 = ___ − 45
Schritt für Schritt
  1. 44 wird zu 45: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 1 größer.
  3. 61 + 1 = 62
  1. 44 wird zu 45: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 1 größer.
  3. 61 + 1 = 62
Ergebnis:
62

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 6 · 5 = 3 · ___
    6 · 5=3 · ?
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 52 + 67 = 42 + ___
    52 + 67=42 + ?
    Lösung zeigen
    1. 52 wird zu 42: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 67 um 10 größer.
    3. 67 + 10 = 77
    Ergebnis:
    77
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 68 − 47 = ___ − 49
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 49: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 68 um 2 größer.
    3. 68 + 2 = 70
    Ergebnis:
    70

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ben verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 75
    Lösung zeigen
    1. 12 · 75 = 6 · 150
    2. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 43? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 43 = 40 + 3.
  2. 6 · 40 = 240 und 6 · 3 = 18
  3. Zusammen: 258
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 43 = 40 + 3.
  2. 6 · 40 = 240 und 6 · 3 = 18
  3. Zusammen: 258
Ergebnis:
zerlegen, 258

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul erhält für 80 · 24 das Ergebnis 1820. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1820 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 80 · 24 = 1920
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1820 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 80 · 24 = 1920
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1920

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin erhält für 88 · 14 das Ergebnis 1332. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 90 · 10 = 900
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 10 = 900
    2. 1332 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 88 · 14 = 1232
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1232
  2. ●23
    Milan rechnet 939 − 758 und erhält 281. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 281 + 758 = 1039
    2. 1039 ist nicht 939: Es ist falsch.
    3. 939 − 758 = 181
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 181
  3. ★24
    Emma rechnet 7881 − 4002 und erhält 3869. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 3869 + 4002 = 7871
    2. 7871 ist nicht 7881: Es ist falsch.
    3. 7881 − 4002 = 3879
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3879

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 56 + 76 + 44 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    567644
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 56 + 44 + 76
    2. 56 + 44 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 76 = 176
    Ergebnis:
    176
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 18 · 4 · 25 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    18425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 18
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 18 = 1800
    Ergebnis:
    1800
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 27
    6727
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 27 gibt 3 ab.
    2. 67 + 27 = 70 + 24
    3. 70 + 24 = 94
    Ergebnis:
    94
  4. ●28
    Sofia rechnet 178 − 49 als 178 − 50 und erhält 128. Ist das schon das Ergebnis?
    178 − 49178 − 50
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 128 + 1 = 129
    Ergebnis:
    Nein, 129
  5. ●29
    Es gibt 4 Tüten mit je 63 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 63
    2. 63 = 60 + 3
    3. 4 · 60 = 240 und 4 · 3 = 12
    4. 240 + 12 = 252
    Ergebnis:
    252 Bonbons
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 13?
    1037
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 10 = 70
    2. Rechts: 7 · 3 = 21
    3. 7 · 13 = 70 + 21 = 91
    Ergebnis:
    7 · 10 und 7 · 3, zusammen 91

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 29 + 38 + 21 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    293821
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    88

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 83 = 50 + ___
    4883
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    81

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    330 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 12 · 11 = 6 · ___
    12 · 11=6 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 5 · 67? Nenne ihn. Rechne danach.
    5 · 67zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 335

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep rechnet 147 : 3 und erhält 49. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    147 : 3Ergebnis 49?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 49

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 93
  2. 78
  3. 775
  4. 375
  5. 124
  6. 782
  7. 576
  8. 273
  9. 693
  10. 37
  11. 39 Murmeln
  12. 37 Murmeln
  13. 10
  14. 77
  15. 70
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. 90
  18. 900
  19. halbieren und verdoppeln, 400
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. halbieren und verdoppeln, 200
  22. falsch, richtig ist 1232
  23. falsch, richtig ist 181
  24. falsch, richtig ist 3879
  25. 176
  26. 1800
  27. 94
  28. Nein, 129
  29. 252 Bonbons
  30. 7 · 10 und 7 · 3, zusammen 91
  31. 88
  32. 81
  33. 76
  34. 66 Murmeln
  35. 22
  36. 70
  37. zerlegen, 335
  38. stimmt, 49
  39. 21
  40. 16
  41. 28
  42. 60