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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 31 − 2 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 3 = 6
    2. 31 − 6 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (6 + 2) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 2 = 8
    2. 8 · 3 = 24
    Ergebnis:
    24

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 7 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 3 = 21
    2. 9 + 21 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 7 und erhalte 33. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lea rechnet 38 + 66 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
386612
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 38 + 12 + 66
  2. 38 + 12 = 50
  3. 50 + 66 = 116
  1. Vertauschen: 38 + 12 + 66
  2. 38 + 12 = 50
  3. 50 + 66 = 116
Ergebnis:
116

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 37 + 65 + 63 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    376563
    So fängst du an:
    Vertauschen: 37 + 63 + 65
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 63 + 65
    2. 37 + 63 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 65 = 165
    Ergebnis:
    165
  2. ●2
    Lina rechnet 16 + 12 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    161214
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 14 + 12
    2. 16 + 14 = 30
    3. 30 + 12 = 42
    Ergebnis:
    42
  3. ★3
    Sofia rechnet 38 + 306 + 31 + 62 + 69 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    38306316269
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 38 + 62 + 31 + 69 + 306
    2. 38 + 62 = 100 und 31 + 69 = 100
    3. 100 + 100 + 306 = 506
    Ergebnis:
    506

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Tom rechnet 99 + 32 als 100 + 32. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
9932
Schritt für Schritt
  1. Tom hat 99 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 32 = 132.
  3. 1 wieder abziehen: 132 − 1 = 131
  1. Tom hat 99 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 32 = 132.
  3. 1 wieder abziehen: 132 − 1 = 131
Ergebnis:
131

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 93
    9893
    So fängst du an:
    98 bekommt 2 dazu, 93 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 93 gibt 2 ab.
    2. 98 + 93 = 100 + 91
    3. 100 + 91 = 191
    Ergebnis:
    191
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 46 = 50 + ___
    4846
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 46 um 2 kleiner werden: 46 − 2 = 44
    3. 50 + 44 = 94
    Ergebnis:
    44
  3. ★6
    Milan rechnet 398 + 728 als 400 + 728. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    398728
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 398 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 400 + 728 = 1128.
    3. 2 wieder abziehen: 1128 − 2 = 1126
    Ergebnis:
    1126

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Hefte mit je 61 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 61
  2. 61 = 60 + 1
  3. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
  4. 540 + 9 = 549
  1. 9 · 61
  2. 61 = 60 + 1
  3. 9 · 60 = 540 und 9 · 1 = 9
  4. 540 + 9 = 549
Ergebnis:
549 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Hefte mit je 41 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 41
    Lösung zeigen
    1. 8 · 41
    2. 41 = 40 + 1
    3. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
    4. 320 + 8 = 328
    Ergebnis:
    328 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
    3. 320 − 8 = 312
    Ergebnis:
    312
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 97
    Lösung zeigen
    1. 97 = 90 + 7
    2. 4 · 90 = 360 und 4 · 7 = 28
    3. 360 + 28 = 388
    Ergebnis:
    388

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

402 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 402 : 6
  2. 402 = 360 + 42
  3. 360 : 6 = 60 und 42 : 6 = 7
  4. 60 + 7 = 67
  1. 402 : 6
  2. 402 = 360 + 42
  3. 360 : 6 = 60 und 42 : 6 = 7
  4. 60 + 7 = 67
Ergebnis:
67 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 84 : 6
    So fängst du an:
    84 = 60 + 24
    Lösung zeigen
    1. 84 = 60 + 24
    2. 60 : 6 = 10 und 24 : 6 = 4
    3. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 288 : 6
    Lösung zeigen
    1. 288 = 240 + 48
    2. 240 : 6 = 40 und 48 : 6 = 8
    3. 40 + 8 = 48
    Ergebnis:
    48
  3. ★12
    285 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 285 : 5
    2. 285 = 250 + 35
    3. 250 : 5 = 50 und 35 : 5 = 7
    4. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 70 − 64 = ___ − 65
Schritt für Schritt
  1. 64 wird zu 65: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 70 um 1 größer.
  3. 70 + 1 = 71
  1. 64 wird zu 65: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 70 um 1 größer.
  3. 70 + 1 = 71
Ergebnis:
71

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 15 = 3 · ___
    6 · 15=3 · ?
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 10 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 14 = 2 · ___
    4 · 14=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Zeynep verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 32 · 25
    Lösung zeigen
    1. 32 · 25 = 16 · 50
    2. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 28? Nenne ihn. Rechne danach.
4 · 28zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 28 = 20 + 8.
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 8 = 32
  3. Zusammen: 112
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 28 = 20 + 8.
  2. 4 · 20 = 80 und 4 · 8 = 32
  3. Zusammen: 112
Ergebnis:
zerlegen, 112

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 9 · 22? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 22zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 22 = 20 + 2.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 22 = 20 + 2.
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 2 = 18
    3. Zusammen: 198
    Ergebnis:
    zerlegen, 198
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 21 + 25 + 79? Nenne ihn. Rechne danach.
    21 + 25 + 79zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 21 + 79 = 100
    3. 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    vertauschen, 125
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6823 − 1672? Nenne ihn. Rechne danach.
    6823 − 1672zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 6823 − 1672 = 5151
    Ergebnis:
    schriftlich, 5151

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 814 − 160 und erhält 664. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 664 + 160 = 824
  2. 824 ist nicht 814: Es ist falsch.
  3. 814 − 160 = 654
  1. Umkehraufgabe: 664 + 160 = 824
  2. 824 ist nicht 814: Es ist falsch.
  3. 814 − 160 = 654
Ergebnis:
falsch, richtig ist 654

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 469 − 361 und erhält 128. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 128 + 361 = 489
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 128 + 361 = 489
    2. 489 ist nicht 469: Es ist falsch.
    3. 469 − 361 = 108
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 108
  2. ●23
    Lina rechnet 355 : 5 und erhält 71. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    355 : 5Ergebnis 71?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 71 · 5 = 355
    2. 355 ist genau 355: Es stimmt.
    3. 355 : 5 = 71
    Ergebnis:
    stimmt, 71
  3. ★24
    Jonas rechnet 9921 − 3916 und erhält 6105. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 6105 + 3916 = 10.021
    2. 10.021 ist nicht 9921: Es ist falsch.
    3. 9921 − 3916 = 6005
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6005

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 76 + 79 + 24
    767924
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 76 + 24 + 79
    2. 76 + 24 = 100
    3. 100 + 79 = 179
    Ergebnis:
    179
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 17 · 5 · 20 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    17520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 17
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700
  3. ●27
    Zeynep rechnet 47 + 58 als 50 + 58. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    4758
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 58 = 108.
    3. 3 wieder abziehen: 108 − 3 = 105
    Ergebnis:
    105
  4. ●28
    Noah rechnet 198 − 98 als 198 − 100 und erhält 98. Ist das schon das Ergebnis?
    198 − 98198 − 100
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 98 + 2 = 100
    Ergebnis:
    Nein, 100
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 18
    Lösung zeigen
    1. 18 = 10 + 8
    2. 8 · 10 = 80 und 8 · 8 = 64
    3. 80 + 64 = 144
    Ergebnis:
    144
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 22?
    2027
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 2 = 14
    3. 7 · 22 = 140 + 14 = 154
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 2, zusammen 154

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 23 + 15 + 27
    231527
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 83
    29883
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    381

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    171

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 328 : 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 77 + 21 = 80 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 55? Nenne ihn. Rechne danach.
    4 · 55zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 220

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom erhält für 47 · 26 das Ergebnis 1222. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 1222

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 165
  2. 42
  3. 506
  4. 191
  5. 44
  6. 1126
  7. 328 Hefte
  8. 312
  9. 388
  10. 14
  11. 48
  12. 57 Murmeln
  13. 30
  14. 20
  15. 28
  16. 80
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  18. 800
  19. zerlegen, 198
  20. vertauschen, 125
  21. schriftlich, 5151
  22. falsch, richtig ist 108
  23. stimmt, 71
  24. falsch, richtig ist 6005
  25. 179
  26. 1700
  27. 105
  28. Nein, 100
  29. 144
  30. 7 · 20 und 7 · 2, zusammen 154
  31. 65
  32. 381
  33. 171
  34. 41
  35. 18
  36. 80
  37. zerlegen, 220
  38. stimmt, 1222
  39. 25
  40. 24
  41. 30
  42. 26