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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 35 − 3 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 4 = 12
    2. 35 − 12 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●40
    Rechne: (7 + 3) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 3 = 10
    2. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 3 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 3 = 9
    2. 3 + 9 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 15 und erhalte 50. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 95 + 37 + 5 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
95375
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 95 + 5 + 37
  2. 95 + 5 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 37 = 137
  1. Vertauschen: 95 + 5 + 37
  2. 95 + 5 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 37 = 137
Ergebnis:
137

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 28 + 49 + 32 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    284932
    So fängst du an:
    Vertauschen: 28 + 32 + 49
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 32 + 49
    2. 28 + 32 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 49 = 109
    Ergebnis:
    109
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 64 + 44 + 36 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    644436
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 64 + 36 + 44
    2. 64 + 36 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 44 = 144
    Ergebnis:
    144
  3. ★3
    Rechne geschickt: 126 + 232 + 74
    12623274
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 126 + 74 + 232
    2. 126 + 74 = 200
    3. 200 + 232 = 432
    Ergebnis:
    432

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Can rechnet 199 + 94 als 200 + 94. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
19994
Schritt für Schritt
  1. Can hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 94 = 294.
  3. 1 wieder abziehen: 294 − 1 = 293
  1. Can hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 94 = 294.
  3. 1 wieder abziehen: 294 − 1 = 293
Ergebnis:
293

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 77
    9977
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 77 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 77 gibt 1 ab.
    2. 99 + 77 = 100 + 76
    3. 100 + 76 = 176
    Ergebnis:
    176
  2. ●5
    Jonas rechnet 198 + 49 als 200 + 49. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    19849
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 49 = 249.
    3. 2 wieder abziehen: 249 − 2 = 247
    Ergebnis:
    247
  3. ★6
    Lea rechnet 696 + 425 als 700 + 425. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    696425
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 696 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 700 + 425 = 1125.
    3. 4 wieder abziehen: 1125 − 4 = 1121
    Ergebnis:
    1121

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 28
Schritt für Schritt
  1. 28 = 20 + 8
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 8 = 72
  3. 180 + 72 = 252
  1. 28 = 20 + 8
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 8 = 72
  3. 180 + 72 = 252
Ergebnis:
252

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
    3. 200 − 5 = 195
    Ergebnis:
    195
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
    3. 450 − 9 = 441
    Ergebnis:
    441
  3. ★9
    Es gibt 9 Hefte mit je 86 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 86
    2. 86 = 80 + 6
    3. 9 · 80 = 720 und 9 · 6 = 54
    4. 720 + 54 = 774
    Ergebnis:
    774 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 76 : 4
Schritt für Schritt
  1. 76 = 40 + 36
  2. 40 : 4 = 10 und 36 : 4 = 9
  3. 10 + 9 = 19
  1. 76 = 40 + 36
  2. 40 : 4 = 10 und 36 : 4 = 9
  3. 10 + 9 = 19
Ergebnis:
19

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 87 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 87 : 3?
    87: 3
    So fängst du an:
    87 = 60 + 27
    Lösung zeigen
    1. 87 = 60 + 27
    2. 60 : 3 = 20 und 27 : 3 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●11
    Zerlege 66 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 66 : 3?
    66: 3
    Lösung zeigen
    1. 66 = 60 + 6
    2. 60 : 3 = 20 und 6 : 3 = 2
    3. 20 + 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 200 : 8
    Lösung zeigen
    1. 200 = 160 + 40
    2. 160 : 8 = 20 und 40 : 8 = 5
    3. 20 + 5 = 25
    Ergebnis:
    25

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 16 + 75 = 19 + ___
16 + 75=19 + ?
Schritt für Schritt
  1. 16 wird zu 19: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 3 kleiner.
  3. 75 − 3 = 72
  1. 16 wird zu 19: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 3 kleiner.
  3. 75 − 3 = 72
Ergebnis:
72

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 6 = 7 · ___
    14 · 6=7 · ?
    So fängst du an:
    14 wird halb so groß: 7.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 97 − 41 = ___ − 43
    Lösung zeigen
    1. 41 wird zu 43: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 97 um 2 größer.
    3. 97 + 2 = 99
    Ergebnis:
    99
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 16 · 13 = 8 · ___
    16 · 13=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
Schritt für Schritt
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Paul verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Warum ist 32 · 25 dasselbe wie 16 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 32 · 25 = 16 · 50
    3. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 9 · 42? Nenne ihn. Rechne danach.
9 · 42zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 42 = 40 + 2.
  2. 9 · 40 = 360 und 9 · 2 = 18
  3. Zusammen: 378
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 42 = 40 + 2.
  2. 9 · 40 = 360 und 9 · 2 = 18
  3. Zusammen: 378
Ergebnis:
zerlegen, 378

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 149 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    149 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 149 + 299 = 148 + 300
    3. 148 + 300 = 448
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 448
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul erhält für 65 · 16 das Ergebnis 1140. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
  2. 1140 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 65 · 16 = 1040
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
  2. 1140 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 65 · 16 = 1040
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1040

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 434 : 7 und erhält 62. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    434 : 7Ergebnis 62?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 62 · 7 = 434
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 62 · 7 = 434
    2. 434 ist genau 434: Es stimmt.
    3. 434 : 7 = 62
    Ergebnis:
    stimmt, 62
  2. ●23
    Jonas erhält für 58 · 41 das Ergebnis 2278. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 40 = 2400
    2. 2278 liegt zu weit weg. Genau: 58 · 41 = 2378
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2378
  3. ★24
    Can rechnet 2400 : 5 und erhält 481. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2400 : 5Ergebnis 481?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 481 · 5 = 2405
    2. 2405 ist nicht 2400: Es ist falsch.
    3. 2400 : 5 = 480
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 480

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 58 + 77 + 42
    587742
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 58 + 42 + 77
    2. 58 + 42 = 100
    3. 100 + 77 = 177
    Ergebnis:
    177
  2. ●26
    Rechne geschickt: 2 · 7 · 5
    275
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 7
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 7 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 299 + 47
    29947
    Lösung zeigen
    1. 299 bekommt 1 dazu, 47 gibt 1 ab.
    2. 299 + 47 = 300 + 46
    3. 300 + 46 = 346
    Ergebnis:
    346
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 40 − 27
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 40 − 27 = 43 − 30
    3. 43 − 30 = 13
    Ergebnis:
    13
  5. ●29
    Es gibt 8 Hefte mit je 34 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 34
    2. 34 = 30 + 4
    3. 8 · 30 = 240 und 8 · 4 = 32
    4. 240 + 32 = 272
    Ergebnis:
    272 Hefte
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 13?
    1036
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 10 = 60
    2. Rechts: 6 · 3 = 18
    3. 6 · 13 = 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    6 · 10 und 6 · 3, zusammen 78

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 13 + 41 + 27
    134127
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    81

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Tom rechnet 99 + 59 als 100 + 59. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    9959
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    158

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    441

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    155 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 9 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Lea verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 31 + 51 + 69? Nenne ihn. Rechne danach.
    31 + 51 + 69zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 151

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul erhält für 49 · 26 das Ergebnis 1274. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 1274

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 109
  2. 144
  3. 432
  4. 176
  5. 247
  6. 1121
  7. 195
  8. 441
  9. 774 Hefte
  10. 29
  11. 22
  12. 25
  13. 12
  14. 99
  15. 26
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  17. 180
  18. 800
  19. halbieren und verdoppeln, 70
  20. gegensinnig verändern, 448
  21. halbieren und verdoppeln, 300
  22. stimmt, 62
  23. falsch, richtig ist 2378
  24. falsch, richtig ist 480
  25. 177
  26. 70
  27. 346
  28. 13
  29. 272 Hefte
  30. 6 · 10 und 6 · 3, zusammen 78
  31. 81
  32. 158
  33. 441
  34. 31 Bücher
  35. 18
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  37. vertauschen, 151
  38. stimmt, 1274
  39. 23
  40. 40
  41. 12
  42. 35