Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 4 + 5 · 9
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 5 · 9 = 45
2. 4 + 45 = 49
Ergebnis:
49
●40
Rechne: (3 + 2) · 9
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 3 + 2 = 5
2. 5 · 9 = 45
Ergebnis:
45

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 9 + 9 · 8
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 9 · 8 = 72
2. 9 + 72 = 81
Ergebnis:
81
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 12 und erhalte 21. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 4 + 77 + 26 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Vertauschen: 4 + 26 + 77
4 + 26 = 30
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 77 = 107

Vertauschen: 4 + 26 + 77
4 + 26 = 30
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 77 = 107

Ergebnis:

107

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Mia rechnet 33 + 66 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
So fängst du an:
Vertauschen: 33 + 7 + 66
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 33 + 7 + 66
2. 33 + 7 = 40
3. 40 + 66 = 106
Ergebnis:
106
●2
Welche Zahlen fasst du bei 42 + 25 + 58 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 42 + 58 + 25
2. 42 + 58 = 100
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 25 = 125
Ergebnis:
125
★3
Sofia rechnet 157 + 537 + 58 + 43 + 42 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 157 + 43 + 58 + 42 + 537
2. 157 + 43 = 200 und 58 + 42 = 100
3. 200 + 100 + 537 = 837
Ergebnis:
837

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Hanna rechnet 37 + 67 als 40 + 67. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?

Schritt für Schritt

Hanna hat 37 um 3 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 67 = 107.
3 wieder abziehen: 107 − 3 = 104

Hanna hat 37 um 3 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 67 = 107.
3 wieder abziehen: 107 − 3 = 104

Ergebnis:

104

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 54
So fängst du an:
49 bekommt 1 dazu, 54 gibt 1 ab.
Lösung zeigen
1. 49 bekommt 1 dazu, 54 gibt 1 ab.
2. 49 + 54 = 50 + 53
3. 50 + 53 = 103
Ergebnis:
103
●5
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 46
Lösung zeigen
1. 197 bekommt 3 dazu, 46 gibt 3 ab.
2. 197 + 46 = 200 + 43
3. 200 + 43 = 243
Ergebnis:
243
★6
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 699 + 316 = 700 + ___
Lösung zeigen
1. 699 wird zu 700: 1 mehr.
2. Also muss 316 um 1 kleiner werden: 316 − 1 = 315
3. 700 + 315 = 1015
Ergebnis:
315

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 55

Schritt für Schritt

55 = 50 + 5
3 · 50 = 150 und 3 · 5 = 15
150 + 15 = 165

55 = 50 + 5
3 · 50 = 150 und 3 · 5 = 15
150 + 15 = 165

Ergebnis:

165

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 31
So fängst du an:
31 = 30 + 1
Lösung zeigen
1. 31 = 30 + 1
2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
3. 210 + 7 = 217
Ergebnis:
217
●8
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 29
Lösung zeigen
1. 29 = 30 − 1
2. 4 · 30 = 120 und 4 · 1 = 4
3. 120 − 4 = 116
Ergebnis:
116
★9
Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 360
Lösung zeigen
1. 360 = 300 + 60
2. 5 · 300 = 1500; 5 · 60 = 300
3. 1500 + 300 = 1800
Ergebnis:
1800

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

456 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.

Schritt für Schritt

456 : 8
456 = 400 + 56
400 : 8 = 50 und 56 : 8 = 7
50 + 7 = 57

456 : 8
456 = 400 + 56
400 : 8 = 50 und 56 : 8 = 7
50 + 7 = 57

Ergebnis:

57 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
Zerlege 138 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 138 : 6?
So fängst du an:
138 = 120 + 18
Lösung zeigen
1. 138 = 120 + 18
2. 120 : 6 = 20 und 18 : 6 = 3
3. 20 + 3 = 23
Ergebnis:
23
●11
Zerlege 177 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 177 : 3?
Lösung zeigen
1. 177 = 150 + 27
2. 150 : 3 = 50 und 27 : 3 = 9
3. 50 + 9 = 59
Ergebnis:
59
★12
Rechne halbschriftlich: 1134 : 9
Lösung zeigen
1. 1134 = 1080 + 54
2. 1080 : 9 = 120 und 54 : 9 = 6
3. 120 + 6 = 126
Ergebnis:
126

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 74 + 84 = 71 + ___

Schritt für Schritt

74 wird zu 71: 3 weniger.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 84 um 3 größer.
84 + 3 = 87

74 wird zu 71: 3 weniger.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 84 um 3 größer.
84 + 3 = 87

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 88 − 56 = ___ − 66
So fängst du an:
56 wird zu 66: 10 mehr.
Lösung zeigen
1. 56 wird zu 66: 10 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 88 um 10 größer.
3. 88 + 10 = 98
Ergebnis:
98
●14
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 99 − 58 = ___ − 63
Lösung zeigen
1. 58 wird zu 63: 5 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 99 um 5 größer.
3. 99 + 5 = 104
Ergebnis:
104
★15
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 25 + 32 = 26 + ___
Lösung zeigen
1. 25 wird zu 26: 1 mehr.
2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 32 um 1 kleiner.
3. 32 − 1 = 31
Ergebnis:
31

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15

Schritt für Schritt

12 · 15 = 6 · 30
6 · 30 = 180

12 · 15 = 6 · 30
6 · 30 = 180

Ergebnis:

180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
So fängst du an:
Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 8 · 25 = 4 · 50
3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200
●17
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Lösung zeigen
1. 8 · 25 = 4 · 50
2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200
★18
Hanna verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 259 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.

Schritt für Schritt

399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
259 + 399 = 258 + 400
258 + 400 = 658

399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
259 + 399 = 258 + 400
258 + 400 = 658

Ergebnis:

gegensinnig verändern, 658

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
So fängst du an:
25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
Lösung zeigen
1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
2. 12 · 25 = 6 · 50
3. 6 · 50 = 300
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 300
●20
Welcher Weg passt zu 377 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
2. 377 + 497 = 374 + 500
3. 374 + 500 = 874
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 874
★21
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6953 − 5757? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
2. 6953 − 5757 = 1196
Ergebnis:
schriftlich, 1196

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 679 − 604 und erhält 75. Prüfe mit der Umkehraufgabe.

Schritt für Schritt

Umkehraufgabe: 75 + 604 = 679
679 ist genau 679: Es stimmt.
679 − 604 = 75

Umkehraufgabe: 75 + 604 = 679
679 ist genau 679: Es stimmt.
679 − 604 = 75

Ergebnis:

stimmt, 75

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Tom erhält für 25 · 47 das Ergebnis 2175. Prüfe mit einem Überschlag.
So fängst du an:
Überschlag: 30 · 50 = 1500
Lösung zeigen
1. Überschlag: 30 · 50 = 1500
2. 2175 liegt zu weit weg. Genau: 25 · 47 = 1175
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1175
●23
Emma rechnet 350 : 5 und erhält 72. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 72 · 5 = 360
2. 360 ist nicht 350: Es ist falsch.
3. 350 : 5 = 70
Ergebnis:
falsch, richtig ist 70
★24
Sofia erhält für 221 · 46 das Ergebnis 11.166. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 200 · 50 = 10.000
2. 11.166 liegt zu weit weg. Genau: 221 · 46 = 10.166
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 10.166

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Noah rechnet 94 + 57 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 94 + 6 + 57
2. 94 + 6 = 100
3. 100 + 57 = 157
Ergebnis:
157
●26
Welche zwei Zahlen ergeben bei 18 · 50 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 50 · 2 · 18
2. 50 · 2 = 100
3. 100 · 18 = 1800
Ergebnis:
1800
●27
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 26 = 40 + ___
Lösung zeigen
1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
2. Also muss 26 um 3 kleiner werden: 26 − 3 = 23
3. 40 + 23 = 63
Ergebnis:
23
●28
Jonas rechnet 215 − 198 als 215 − 200 und erhält 15. Ist das schon das Ergebnis?
Lösung zeigen
1. Jonas hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
3. 15 + 2 = 17
Ergebnis:
Nein, 17
●29
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
Lösung zeigen
1. 39 = 40 − 1
2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
3. 120 − 3 = 117
Ergebnis:
117
●30
Aylin rechnet 5 · 17 so: erst 5 · 10, dann 7 dazu. Aylin erhält 57. Zeige am Bild, was fehlt.
Lösung zeigen
1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 7 Kästchen, nicht nur 7.
2. Rechter Teil: 5 · 7 = 35
3. 50 + 35 = 85
Ergebnis:
85

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Rechne geschickt: 6 + 89 + 24
Lösung zeigen
Ergebnis:
119
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 44 = 70 + ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
42
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 38
Lösung zeigen
Ergebnis:
228
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
Rechne halbschriftlich: 372 : 6
Lösung zeigen
Ergebnis:
62
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 13 = 2 · ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
26
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Elias verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
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Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 210
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 43 + 21 + 57? Nenne ihn. Rechne danach.
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Ergebnis:
vertauschen, 121
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Tom erhält für 56 · 44 das Ergebnis 2464. Prüfe mit einem Überschlag.
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Ergebnis:
stimmt, 2464

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

106
125
837
103
243
315
217
116
1800
23
59
126
98
104
31
200
200
Nein, viermal so groß; richtig ist 330
halbieren und verdoppeln, 300
gegensinnig verändern, 874
schriftlich, 1196
falsch, richtig ist 1175
falsch, richtig ist 70
falsch, richtig ist 10.166
157
1800
23
Nein, 17
117
85
119
42
228
62
26
Nein, viermal so groß; richtig ist 210
vertauschen, 121
stimmt, 2464
49
45
81
9