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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 27 − 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 27 − 21 = 6
    Ergebnis:
    6
  2. ●40
    Rechne: (7 + 3) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 3 = 10
    2. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 7 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 2 = 14
    2. 11 + 14 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 49. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Emma rechnet 29 + 52 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
295211
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 29 + 11 + 52
  2. 29 + 11 = 40
  3. 40 + 52 = 92
  1. Vertauschen: 29 + 11 + 52
  2. 29 + 11 = 40
  3. 40 + 52 = 92
Ergebnis:
92

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Noah rechnet 22 + 44 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    224418
    So fängst du an:
    Vertauschen: 22 + 18 + 44
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 18 + 44
    2. 22 + 18 = 40
    3. 40 + 44 = 84
    Ergebnis:
    84
  2. ●2
    Tom rechnet 27 + 68 + 3 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    27683
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 3 + 68
    2. 27 + 3 = 30
    3. 30 + 68 = 98
    Ergebnis:
    98
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 387 + 461 + 45 + 613 + 55 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    3874614561355
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 387 + 613 + 45 + 55 + 461
    2. 387 + 613 = 1000 und 45 + 55 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 461 = 1561
    Ergebnis:
    1561

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 37
9937
Schritt für Schritt
  1. 99 bekommt 1 dazu, 37 gibt 1 ab.
  2. 99 + 37 = 100 + 36
  3. 100 + 36 = 136
  1. 99 bekommt 1 dazu, 37 gibt 1 ab.
  2. 99 + 37 = 100 + 36
  3. 100 + 36 = 136
Ergebnis:
136

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Milan rechnet 199 + 96 als 200 + 96. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    19996
    So fängst du an:
    Milan hat 199 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 96 = 296.
    3. 1 wieder abziehen: 296 − 1 = 295
    Ergebnis:
    295
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 89
    3989
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 89 gibt 1 ab.
    2. 39 + 89 = 40 + 88
    3. 40 + 88 = 128
    Ergebnis:
    128
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 997 + 357 = 1000 + ___
    997357
    Lösung zeigen
    1. 997 wird zu 1000: 3 mehr.
    2. Also muss 357 um 3 kleiner werden: 357 − 3 = 354
    3. 1000 + 354 = 1354
    Ergebnis:
    354

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
  3. 300 − 5 = 295
  1. 59 = 60 − 1
  2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
  3. 300 − 5 = 295
Ergebnis:
295

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Reihen mit je 42 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 42
    Lösung zeigen
    1. 8 · 42
    2. 42 = 40 + 2
    3. 8 · 40 = 320 und 8 · 2 = 16
    4. 320 + 16 = 336
    Ergebnis:
    336 Stühle
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 68
    Lösung zeigen
    1. 68 = 60 + 8
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 8 = 32
    3. 240 + 32 = 272
    Ergebnis:
    272
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 9 · 336
    Lösung zeigen
    1. 336 = 300 + 30 + 6
    2. 9 · 300 = 2700; 9 · 30 = 270; 9 · 6 = 54
    3. 2700 + 270 + 54 = 3024
    Ergebnis:
    3024

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

154 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 154 : 7
  2. 154 = 140 + 14
  3. 140 : 7 = 20 und 14 : 7 = 2
  4. 20 + 2 = 22
  1. 154 : 7
  2. 154 = 140 + 14
  3. 140 : 7 = 20 und 14 : 7 = 2
  4. 20 + 2 = 22
Ergebnis:
22 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 108 : 4
    So fängst du an:
    108 = 80 + 28
    Lösung zeigen
    1. 108 = 80 + 28
    2. 80 : 4 = 20 und 28 : 4 = 7
    3. 20 + 7 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●11
    Zerlege 108 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 108 : 9?
    108: 9
    Lösung zeigen
    1. 108 = 90 + 18
    2. 90 : 9 = 10 und 18 : 9 = 2
    3. 10 + 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 352 : 4
    Lösung zeigen
    1. 352 = 320 + 32
    2. 320 : 4 = 80 und 32 : 4 = 8
    3. 80 + 8 = 88
    Ergebnis:
    88

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 6 = 7 · ___
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
  3. 6 · 2 = 12
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
  3. 6 · 2 = 12
Ergebnis:
12

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 13 = 2 · ___
    4 · 13=2 · ?
    So fängst du an:
    4 wird halb so groß: 2.
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 76 − 29 = ___ − 39
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 39: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 76 um 10 größer.
    3. 76 + 10 = 86
    Ergebnis:
    86
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 4 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
    3. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Zeynep verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Elias verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 45
    Lösung zeigen
    1. 18 · 45 = 9 · 90
    2. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 307 + 198? Nenne ihn und rechne.
307 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 307 + 198 = 305 + 200
  3. 305 + 200 = 505
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 307 + 198 = 305 + 200
  3. 305 + 200 = 505
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 505

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 8 · 84? Nenne ihn und rechne.
    8 · 84zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 84 = 80 + 4.
    2. 8 · 80 = 640 und 8 · 4 = 32
    3. Zusammen: 672
    Ergebnis:
    zerlegen, 672
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 2897 − 2187? Nenne ihn und rechne.
    2897 − 2187zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 2897 − 2187 = 710
    Ergebnis:
    schriftlich, 710

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin erhält für 73 · 43 das Ergebnis 3239. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
  2. 3239 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 73 · 43 = 3139
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
  2. 3239 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 73 · 43 = 3139
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 3139

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma rechnet 497 : 7 und erhält 71. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    497 : 7Ergebnis 71?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 71 · 7 = 497
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 71 · 7 = 497
    2. 497 ist genau 497: Es stimmt.
    3. 497 : 7 = 71
    Ergebnis:
    stimmt, 71
  2. ●23
    Emma rechnet 976 − 553 und erhält 423. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 423 + 553 = 976
    2. 976 ist genau 976: Es stimmt.
    3. 976 − 553 = 423
    Ergebnis:
    stimmt, 423
  3. ★24
    Paul erhält für 155 · 39 das Ergebnis 6045. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 40 = 8000
    2. 6045 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 155 · 39 = 6045
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 6045

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 31 + 11 + 9
    31119
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 9 + 11
    2. 31 + 9 = 40
    3. 40 + 11 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●26
    Rechne geschickt: 17 · 20 · 5
    17205
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 17
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 64
    6964
    Lösung zeigen
    1. 69 bekommt 1 dazu, 64 gibt 1 ab.
    2. 69 + 64 = 70 + 63
    3. 70 + 63 = 133
    Ergebnis:
    133
  4. ●28
    Lea rechnet 227 − 199 als 227 − 200 und erhält 27. Ist das schon das Ergebnis?
    227 − 199227 − 200
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 27 + 1 = 28
    Ergebnis:
    Nein, 28
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 53
    Lösung zeigen
    1. 53 = 50 + 3
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 3 = 12
    3. 200 + 12 = 212
    Ergebnis:
    212
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 25?
    2057
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 5 = 35
    3. 7 · 25 = 140 + 35 = 175
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 5, zusammen 175

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 7 + 44 + 23
    74423
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    74

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 84 = 70 + ___
    6884
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    82

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 52
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    208

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    175 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 12 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Can verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 35 + 52 + 65? Nenne ihn und rechne.
    35 + 52 + 65zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 152

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia erhält für 68 · 24 das Ergebnis 1632. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 1632

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 84
  2. 98
  3. 1561
  4. 295
  5. 128
  6. 354
  7. 336 Stühle
  8. 272
  9. 3024
  10. 27
  11. 12
  12. 88
  13. 26
  14. 86
  15. 8
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. 400
  18. 810
  19. halbieren und verdoppeln, 400
  20. zerlegen, 672
  21. schriftlich, 710
  22. stimmt, 71
  23. stimmt, 423
  24. stimmt, 6045
  25. 51
  26. 1700
  27. 133
  28. Nein, 28
  29. 212
  30. 7 · 20 und 7 · 5, zusammen 175
  31. 74
  32. 82
  33. 208
  34. 25 Sticker
  35. 24
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. vertauschen, 152
  38. stimmt, 1632
  39. 6
  40. 40
  41. 25
  42. 21