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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 64 − 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 64 − 35 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●40
    Rechne: (9 + 7) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 7 = 16
    2. 16 · 6 = 96
    Ergebnis:
    96

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 3 + 20 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 18 und erhalte 73. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lina rechnet 14 + 74 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
14746
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 14 + 6 + 74
  2. 14 + 6 = 20
  3. 20 + 74 = 94
  1. Vertauschen: 14 + 6 + 74
  2. 14 + 6 = 20
  3. 20 + 74 = 94
Ergebnis:
94

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 6 + 39 + 14
    63914
    So fängst du an:
    Vertauschen: 6 + 14 + 39
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 39
    2. 6 + 14 = 20
    3. 20 + 39 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●2
    Rechne geschickt: 25 + 14 + 25
    251425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 25 + 14
    2. 25 + 25 = 50
    3. 50 + 14 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 841 + 212 + 85 + 159 + 15 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    8412128515915
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 841 + 159 + 85 + 15 + 212
    2. 841 + 159 = 1000 und 85 + 15 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 212 = 1312
    Ergebnis:
    1312

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 64 = 40 + ___
3864
Schritt für Schritt
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 64 um 2 kleiner werden: 64 − 2 = 62
  3. 40 + 62 = 102
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 64 um 2 kleiner werden: 64 − 2 = 62
  3. 40 + 62 = 102
Ergebnis:
62

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Emma rechnet 39 + 46 als 40 + 46. Was muss Emma danach noch tun? Was kommt heraus?
    3946
    So fängst du an:
    Emma hat 39 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Emma hat 39 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 46 = 86.
    3. 1 wieder abziehen: 86 − 1 = 85
    Ergebnis:
    85
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 53 = 300 + ___
    29953
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 53 um 1 kleiner werden: 53 − 1 = 52
    3. 300 + 52 = 352
    Ergebnis:
    52
  3. ★6
    Lina rechnet 397 + 414 als 400 + 414. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    397414
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 397 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 400 + 414 = 814.
    3. 3 wieder abziehen: 814 − 3 = 811
    Ergebnis:
    811

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
  3. 250 − 5 = 245
  1. 49 = 50 − 1
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
  3. 250 − 5 = 245
Ergebnis:
245

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 41
    Lösung zeigen
    1. 41 = 40 + 1
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    3. 280 + 7 = 287
    Ergebnis:
    287
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 290
    Lösung zeigen
    1. 290 = 200 + 90
    2. 5 · 200 = 1000; 5 · 90 = 450
    3. 1000 + 450 = 1450
    Ergebnis:
    1450

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 276 : 4
Schritt für Schritt
  1. 276 = 240 + 36
  2. 240 : 4 = 60 und 36 : 4 = 9
  3. 60 + 9 = 69
  1. 276 = 240 + 36
  2. 240 : 4 = 60 und 36 : 4 = 9
  3. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 204 : 3
    So fängst du an:
    204 = 180 + 24
    Lösung zeigen
    1. 204 = 180 + 24
    2. 180 : 3 = 60 und 24 : 3 = 8
    3. 60 + 8 = 68
    Ergebnis:
    68
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 81 : 3
    Lösung zeigen
    1. 81 = 60 + 21
    2. 60 : 3 = 20 und 21 : 3 = 7
    3. 20 + 7 = 27
    Ergebnis:
    27
  3. ★12
    222 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 222 : 3
    2. 222 = 210 + 12
    3. 210 : 3 = 70 und 12 : 3 = 4
    4. 70 + 4 = 74
    Ergebnis:
    74 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 12 · 7 = 6 · ___
12 · 7=6 · ?
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
  3. 7 · 2 = 14
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
  3. 7 · 2 = 14
Ergebnis:
14

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 8 = 8 · ___
    16 · 8=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 66 − 14 = ___ − 15
    Lösung zeigen
    1. 14 wird zu 15: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 66 um 1 größer.
    3. 66 + 1 = 67
    Ergebnis:
    67
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 79 + 27 = 82 + ___
    79 + 27=82 + ?
    Lösung zeigen
    1. 79 wird zu 82: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 27 um 3 kleiner.
    3. 27 − 3 = 24
    Ergebnis:
    24

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Tom verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  3. ★18
    Lina verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 221 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 221 + 399 = 220 + 400
    3. 220 + 400 = 620
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 620
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma rechnet 392 − 193 und erhält 199. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 199 + 193 = 392
  2. 392 ist genau 392: Es stimmt.
  3. 392 − 193 = 199
  1. Umkehraufgabe: 199 + 193 = 392
  2. 392 ist genau 392: Es stimmt.
  3. 392 − 193 = 199
Ergebnis:
stimmt, 199

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Paul rechnet 969 − 415 und erhält 554. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 554 + 415 = 969
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 554 + 415 = 969
    2. 969 ist genau 969: Es stimmt.
    3. 969 − 415 = 554
    Ergebnis:
    stimmt, 554
  2. ●23
    Can rechnet 340 : 4 und erhält 87. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    340 : 4Ergebnis 87?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 87 · 4 = 348
    2. 348 ist nicht 340: Es ist falsch.
    3. 340 : 4 = 85
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 85
  3. ★24
    Zeynep erhält für 274 · 21 das Ergebnis 5954. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 20 = 6000
    2. 5954 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 274 · 21 = 5754
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 5754

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 11 + 88 + 49 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    118849
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 49 + 88
    2. 11 + 49 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 88 = 148
    Ergebnis:
    148
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 6 · 2 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    625
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 6
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 6 = 60
    Ergebnis:
    60
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 39 = 100 + ___
    9739
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 39 um 3 kleiner werden: 39 − 3 = 36
    3. 100 + 36 = 136
    Ergebnis:
    36
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 224 − 199 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 224 um 1 größer: 225.
    3. 225 − 200 = 25
    Ergebnis:
    225
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 38
    Lösung zeigen
    1. 38 = 30 + 8
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 8 = 32
    3. 120 + 32 = 152
    Ergebnis:
    152
  6. ●30
    Hanna rechnet 3 · 22 so: erst 3 · 20, dann 2 dazu. Hanna erhält 62. Zeige am Bild, was fehlt.
    2023
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 3 · 2 = 6
    3. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 38 + 65 + 12 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    386512
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    115

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 97 = 200 + ___
    19797
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    116

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 328 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 328 : 8?
    328: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 55 + 62 = 57 + ___
    55 + 62=57 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Zeynep verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 323 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    323 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 921

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lea rechnet 622 − 405 und erhält 217. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 217

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 59
  2. 64
  3. 1312
  4. 85
  5. 52
  6. 811
  7. 57
  8. 287
  9. 1450
  10. 68
  11. 27
  12. 74 Sticker
  13. 16
  14. 67
  15. 24
  16. 90
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. gegensinnig verändern, 620
  21. halbieren und verdoppeln, 300
  22. stimmt, 554
  23. falsch, richtig ist 85
  24. falsch, richtig ist 5754
  25. 148
  26. 60
  27. 36
  28. 225
  29. 152
  30. 66
  31. 115
  32. 94
  33. 116
  34. 41
  35. 60
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  37. gegensinnig verändern, 921
  38. stimmt, 217
  39. 29
  40. 96
  41. 23
  42. 55