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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 3 + 32 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●40
    Rechne: (9 + 9) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 9 = 18
    2. 18 · 3 = 54
    Ergebnis:
    54

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 7 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 7 = 49
    2. 4 + 49 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 32 und erhalte 42. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 16 + 79 + 4
16794
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 16 + 4 + 79
  2. 16 + 4 = 20
  3. 20 + 79 = 99
  1. Vertauschen: 16 + 4 + 79
  2. 16 + 4 = 20
  3. 20 + 79 = 99
Ergebnis:
99

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 27 + 88 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    122788
    So fängst du an:
    Vertauschen: 12 + 88 + 27
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 88 + 27
    2. 12 + 88 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 27 = 127
    Ergebnis:
    127
  2. ●2
    Jonas rechnet 87 + 67 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    876713
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 87 + 13 + 67
    2. 87 + 13 = 100
    3. 100 + 67 = 167
    Ergebnis:
    167
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 139 + 307 + 62 + 61 + 38 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    139307626138
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 139 + 61 + 62 + 38 + 307
    2. 139 + 61 = 200 und 62 + 38 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 100 + 307 = 607
    Ergebnis:
    607

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 49 = 100 + ___
9749
Schritt für Schritt
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 49 um 3 kleiner werden: 49 − 3 = 46
  3. 100 + 46 = 146
  1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
  2. Also muss 49 um 3 kleiner werden: 49 − 3 = 46
  3. 100 + 46 = 146
Ergebnis:
46

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeynep rechnet 297 + 79 als 300 + 79. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    29779
    So fängst du an:
    Zeynep hat 297 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 297 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 79 = 379.
    3. 3 wieder abziehen: 379 − 3 = 376
    Ergebnis:
    376
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 66 = 50 + ___
    4866
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 66 um 2 kleiner werden: 66 − 2 = 64
    3. 50 + 64 = 114
    Ergebnis:
    64
  3. ★6
    Paul rechnet 396 + 709 als 400 + 709. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    396709
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 396 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 400 + 709 = 1109.
    3. 4 wieder abziehen: 1109 − 4 = 1105
    Ergebnis:
    1105

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
  3. 270 − 9 = 261
  1. 29 = 30 − 1
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
  3. 270 − 9 = 261
Ergebnis:
261

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 26
    So fängst du an:
    26 = 20 + 6
    Lösung zeigen
    1. 26 = 20 + 6
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 6 = 48
    3. 160 + 48 = 208
    Ergebnis:
    208
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 1 = 8
    3. 160 − 8 = 152
    Ergebnis:
    152
  3. ★9
    Es gibt 5 Tüten mit je 67 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 67
    2. 67 = 60 + 7
    3. 5 · 60 = 300 und 5 · 7 = 35
    4. 300 + 35 = 335
    Ergebnis:
    335 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 235 : 5
Schritt für Schritt
  1. 235 = 200 + 35
  2. 200 : 5 = 40 und 35 : 5 = 7
  3. 40 + 7 = 47
  1. 235 = 200 + 35
  2. 200 : 5 = 40 und 35 : 5 = 7
  3. 40 + 7 = 47
Ergebnis:
47

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 96 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 96 : 3?
    96: 3
    So fängst du an:
    96 = 90 + 6
    Lösung zeigen
    1. 96 = 90 + 6
    2. 90 : 3 = 30 und 6 : 3 = 2
    3. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●11
    Zerlege 324 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 324 : 9?
    324: 9
    Lösung zeigen
    1. 324 = 270 + 54
    2. 270 : 9 = 30 und 54 : 9 = 6
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36
  3. ★12
    Zerlege 572 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 572 : 4?
    572: 4
    Lösung zeigen
    1. 572 = 560 + 12
    2. 560 : 4 = 140 und 12 : 4 = 3
    3. 140 + 3 = 143
    Ergebnis:
    143

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 15 = 8 · ___
Schritt für Schritt
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
  3. 15 · 2 = 30
  1. 16 wird halb so groß: 8.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
  3. 15 · 2 = 30
Ergebnis:
30

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 4 = 3 · ___
    So fängst du an:
    6 wird halb so groß: 3.
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
    3. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 19 + 49 = 21 + ___
    19 + 49=21 + ?
    Lösung zeigen
    1. 19 wird zu 21: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 49 um 2 kleiner.
    3. 49 − 2 = 47
    Ergebnis:
    47
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 14 · 7 = 7 · ___
    14 · 7=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
Schritt für Schritt
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Jonas verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 360 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
360 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 360 + 399 = 359 + 400
  3. 359 + 400 = 759
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 360 + 399 = 359 + 400
  3. 359 + 400 = 759
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 759

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 265 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    265 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 265 + 399 = 264 + 400
    3. 264 + 400 = 664
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 664
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 27 + 59 + 73? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 27 + 73 = 100
    3. 100 + 59 = 159
    Ergebnis:
    vertauschen, 159

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can rechnet 637 : 7 und erhält 91. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
637 : 7Ergebnis 91?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 91 · 7 = 637
  2. 637 ist genau 637: Es stimmt.
  3. 637 : 7 = 91
  1. Umkehraufgabe: 91 · 7 = 637
  2. 637 ist genau 637: Es stimmt.
  3. 637 : 7 = 91
Ergebnis:
stimmt, 91

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 365 − 187 und erhält 278. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 278 + 187 = 465
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 278 + 187 = 465
    2. 465 ist nicht 365: Es ist falsch.
    3. 365 − 187 = 178
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 178
  2. ●23
    Elias rechnet 297 : 3 und erhält 109. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    297 : 3Ergebnis 109?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 109 · 3 = 327
    2. 327 ist nicht 297: Es ist falsch.
    3. 297 : 3 = 99
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 99
  3. ★24
    Emma rechnet 2844 : 6 und erhält 474. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2844 : 6Ergebnis 474?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 474 · 6 = 2844
    2. 2844 ist genau 2844: Es stimmt.
    3. 2844 : 6 = 474
    Ergebnis:
    stimmt, 474

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 31 + 15 + 29
    311529
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 29 + 15
    2. 31 + 29 = 60
    3. 60 + 15 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●26
    Rechne geschickt: 5 · 11 · 2
    5112
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 11
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 11 = 110
    Ergebnis:
    110
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 54
    3954
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 54 gibt 1 ab.
    2. 39 + 54 = 40 + 53
    3. 40 + 53 = 93
    Ergebnis:
    93
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 209 − 197 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 209 um 3 größer: 212.
    3. 212 − 200 = 12
    Ergebnis:
    212
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
    3. 300 − 5 = 295
    Ergebnis:
    295
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 28?
    2084
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 20 = 80
    2. Rechts: 4 · 8 = 32
    3. 4 · 28 = 80 + 32 = 112
    Ergebnis:
    4 · 20 und 4 · 8, zusammen 112

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Milan rechnet 11 + 22 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    11229
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 28 = 70 + ___
    6928
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    147

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 176 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 176 : 8?
    176: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 61 + 87 = 58 + ___
    61 + 87=58 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 46? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 276

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan rechnet 543 − 155 und erhält 398. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 388

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 127
  2. 167
  3. 607
  4. 376
  5. 64
  6. 1105
  7. 208
  8. 152
  9. 335 Bonbons
  10. 32
  11. 36
  12. 143
  13. 8
  14. 47
  15. 14
  16. 80
  17. 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. gegensinnig verändern, 664
  20. halbieren und verdoppeln, 300
  21. vertauschen, 159
  22. falsch, richtig ist 178
  23. falsch, richtig ist 99
  24. stimmt, 474
  25. 75
  26. 110
  27. 93
  28. 212
  29. 295
  30. 4 · 20 und 4 · 8, zusammen 112
  31. 42
  32. 27
  33. 147
  34. 22
  35. 90
  36. 80
  37. zerlegen, 276
  38. falsch, richtig ist 388
  39. 35
  40. 54
  41. 53
  42. 10