Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 7 + 40 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●40
    Rechne: (9 + 6) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 6 = 15
    2. 15 · 3 = 45
    Ergebnis:
    45

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 2 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 3 = 6
    2. 5 + 6 = 11
    Ergebnis:
    11
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 19 und erhalte 31. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Zeynep rechnet 13 + 45 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
134517
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 13 + 17 + 45
  2. 13 + 17 = 30
  3. 30 + 45 = 75
  1. Vertauschen: 13 + 17 + 45
  2. 13 + 17 = 30
  3. 30 + 45 = 75
Ergebnis:
75

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 33 + 85 + 7
    33857
    So fängst du an:
    Vertauschen: 33 + 7 + 85
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 7 + 85
    2. 33 + 7 = 40
    3. 40 + 85 = 125
    Ergebnis:
    125
  2. ●2
    Lea rechnet 9 + 35 + 31 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    93531
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 31 + 35
    2. 9 + 31 = 40
    3. 40 + 35 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★3
    Rechne geschickt: 53 + 621 + 47
    5362147
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 53 + 47 + 621
    2. 53 + 47 = 100
    3. 100 + 621 = 721
    Ergebnis:
    721

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Lina rechnet 299 + 55 als 300 + 55. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
29955
Schritt für Schritt
  1. Lina hat 299 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 55 = 355.
  3. 1 wieder abziehen: 355 − 1 = 354
  1. Lina hat 299 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 55 = 355.
  3. 1 wieder abziehen: 355 − 1 = 354
Ergebnis:
354

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 95 = 200 + ___
    19895
    So fängst du an:
    198 wird zu 200: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 95 um 2 kleiner werden: 95 − 2 = 93
    3. 200 + 93 = 293
    Ergebnis:
    93
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 76
    19876
    Lösung zeigen
    1. 198 bekommt 2 dazu, 76 gibt 2 ab.
    2. 198 + 76 = 200 + 74
    3. 200 + 74 = 274
    Ergebnis:
    274
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 397 + 138 = 400 + ___
    397138
    Lösung zeigen
    1. 397 wird zu 400: 3 mehr.
    2. Also muss 138 um 3 kleiner werden: 138 − 3 = 135
    3. 400 + 135 = 535
    Ergebnis:
    135

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Hefte mit je 18 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 18
  2. 18 = 10 + 8
  3. 4 · 10 = 40 und 4 · 8 = 32
  4. 40 + 32 = 72
  1. 4 · 18
  2. 18 = 10 + 8
  3. 4 · 10 = 40 und 4 · 8 = 32
  4. 40 + 32 = 72
Ergebnis:
72 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    3. 100 − 5 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●8
    Es gibt 3 Hefte mit je 67 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 67
    2. 67 = 60 + 7
    3. 3 · 60 = 180 und 3 · 7 = 21
    4. 180 + 21 = 201
    Ergebnis:
    201 Hefte
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 84 : 4
Schritt für Schritt
  1. 84 = 80 + 4
  2. 80 : 4 = 20 und 4 : 4 = 1
  3. 20 + 1 = 21
  1. 84 = 80 + 4
  2. 80 : 4 = 20 und 4 : 4 = 1
  3. 20 + 1 = 21
Ergebnis:
21

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 116 : 4
    So fängst du an:
    116 = 80 + 36
    Lösung zeigen
    1. 116 = 80 + 36
    2. 80 : 4 = 20 und 36 : 4 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●11
    325 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 325 : 5
    2. 325 = 300 + 25
    3. 300 : 5 = 60 und 25 : 5 = 5
    4. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 216 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 216 : 9?
    216: 9
    Lösung zeigen
    1. 216 = 180 + 36
    2. 180 : 9 = 20 und 36 : 9 = 4
    3. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 67 + 17 = 70 + ___
Schritt für Schritt
  1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 17 um 3 kleiner.
  3. 17 − 3 = 14
  1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 17 um 3 kleiner.
  3. 17 − 3 = 14
Ergebnis:
14

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 4 = 6 · ___
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
    3. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 6 · 13 = 3 · ___
    6 · 13=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 5 · 41 + 5 · 3 = 5 · ___
    5 · 41 + 5 · 3=5 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 5.
    2. 5 mal 41 und 5 mal 3 sind zusammen 5 mal (41 + 3).
    3. 41 + 3 = 44
    Ergebnis:
    44

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 32 · 25
    Lösung zeigen
    1. 32 · 25 = 16 · 50
    2. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 242 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 242 + 299 = 241 + 300
  3. 241 + 300 = 541
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 242 + 299 = 241 + 300
  3. 241 + 300 = 541
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 541

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 44 + 54 + 56? Nenne ihn. Rechne danach.
    44 + 54 + 56zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 44 + 56 = 100
    3. 100 + 54 = 154
    Ergebnis:
    vertauschen, 154
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 42 + 52 + 58? Nenne ihn. Rechne danach.
    42 + 52 + 58zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 42 + 58 = 100
    3. 100 + 52 = 152
    Ergebnis:
    vertauschen, 152
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 + 34 + 86? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 14 + 86 = 100
    3. 100 + 34 = 134
    Ergebnis:
    vertauschen, 134

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 424 : 8 und erhält 53. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
424 : 8Ergebnis 53?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 53 · 8 = 424
  2. 424 ist genau 424: Es stimmt.
  3. 424 : 8 = 53
  1. Umkehraufgabe: 53 · 8 = 424
  2. 424 ist genau 424: Es stimmt.
  3. 424 : 8 = 53
Ergebnis:
stimmt, 53

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 894 − 812 und erhält 82. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 82 + 812 = 894
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 82 + 812 = 894
    2. 894 ist genau 894: Es stimmt.
    3. 894 − 812 = 82
    Ergebnis:
    stimmt, 82
  2. ●23
    Mia erhält für 42 · 24 das Ergebnis 1008. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 20 = 800
    2. 1008 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 42 · 24 = 1008
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1008
  3. ★24
    Sofia rechnet 1939 : 7 und erhält 276. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1939 : 7Ergebnis 276?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 276 · 7 = 1932
    2. 1932 ist nicht 1939: Es ist falsch.
    3. 1939 : 7 = 277
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 277

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 18 + 76 + 12
    187612
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 12 + 76
    2. 18 + 12 = 30
    3. 30 + 76 = 106
    Ergebnis:
    106
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 2 · 3 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    235
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 3
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ●27
    Elias rechnet 67 + 56 als 70 + 56. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    6756
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 56 = 126.
    3. 3 wieder abziehen: 126 − 3 = 123
    Ergebnis:
    123
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 165 − 37 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 165 um 3 größer: 168.
    3. 168 − 40 = 128
    Ergebnis:
    168
  5. ●29
    Es gibt 8 Tüten mit je 31 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 31
    2. 31 = 30 + 1
    3. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
    4. 240 + 8 = 248
    Ergebnis:
    248 Bonbons
  6. ●30
    Jonas rechnet 5 · 19 so: erst 5 · 10, dann 9 dazu. Jonas erhält 59. Zeige am Bild, was fehlt.
    1095
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 9 Kästchen, nicht nur 9.
    2. Rechter Teil: 5 · 9 = 45
    3. 50 + 45 = 95
    Ergebnis:
    95

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 23 + 49 + 37 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    234937
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    109

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 65
    4765
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    147

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 252 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 71 − 58 = ___ − 68
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    81

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Hanna verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 258 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    258 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 456

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 915 − 833 und erhält 92. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 82

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 125
  2. 75
  3. 721
  4. 93
  5. 274
  6. 135
  7. 95
  8. 201 Hefte
  9. 245
  10. 29
  11. 65 Murmeln
  12. 24
  13. 8
  14. 26
  15. 44
  16. 90
  17. 180
  18. 800
  19. vertauschen, 154
  20. vertauschen, 152
  21. vertauschen, 134
  22. stimmt, 82
  23. stimmt, 1008
  24. falsch, richtig ist 277
  25. 106
  26. 30
  27. 123
  28. 168
  29. 248 Bonbons
  30. 95
  31. 109
  32. 112
  33. 147
  34. 42
  35. 81
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. gegensinnig verändern, 456
  38. falsch, richtig ist 82
  39. 47
  40. 45
  41. 11
  42. 12