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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 54 − 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 54 − 35 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (3 + 3) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 3 = 6
    2. 6 · 9 = 54
    Ergebnis:
    54

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 4 + 24 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 5 und erhalte 56. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 19 + 42 + 11
194211
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 19 + 11 + 42
  2. 19 + 11 = 30
  3. 30 + 42 = 72
  1. Vertauschen: 19 + 11 + 42
  2. 19 + 11 = 30
  3. 30 + 42 = 72
Ergebnis:
72

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 35 + 64 + 15
    356415
    So fängst du an:
    Vertauschen: 35 + 15 + 64
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 15 + 64
    2. 35 + 15 = 50
    3. 50 + 64 = 114
    Ergebnis:
    114
  2. ●2
    Zeynep rechnet 28 + 74 + 32 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    287432
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 32 + 74
    2. 28 + 32 = 60
    3. 60 + 74 = 134
    Ergebnis:
    134
  3. ★3
    Rechne geschickt: 77 + 155 + 49 + 123 + 51
    771554912351
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 77 + 123 + 49 + 51 + 155
    2. 77 + 123 = 200 und 49 + 51 = 100
    3. 200 + 100 + 155 = 455
    Ergebnis:
    455

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 88 = 50 + ___
4788
Schritt für Schritt
  1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
  2. Also muss 88 um 3 kleiner werden: 88 − 3 = 85
  3. 50 + 85 = 135
  1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
  2. Also muss 88 um 3 kleiner werden: 88 − 3 = 85
  3. 50 + 85 = 135
Ergebnis:
85

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Sofia rechnet 99 + 28 als 100 + 28. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    9928
    So fängst du an:
    Sofia hat 99 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 28 = 128.
    3. 1 wieder abziehen: 128 − 1 = 127
    Ergebnis:
    127
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 29
    29729
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 29 gibt 3 ab.
    2. 297 + 29 = 300 + 26
    3. 300 + 26 = 326
    Ergebnis:
    326
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 398 + 418
    398418
    Lösung zeigen
    1. 398 bekommt 2 dazu, 418 gibt 2 ab.
    2. 398 + 418 = 400 + 416
    3. 400 + 416 = 816
    Ergebnis:
    816

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Reihen mit je 63 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 63
  2. 63 = 60 + 3
  3. 8 · 60 = 480 und 8 · 3 = 24
  4. 480 + 24 = 504
  1. 8 · 63
  2. 63 = 60 + 3
  3. 8 · 60 = 480 und 8 · 3 = 24
  4. 480 + 24 = 504
Ergebnis:
504 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 3 · 40 = 120 und 3 · 1 = 3
    3. 120 − 3 = 117
    Ergebnis:
    117
  2. ●8
    Es gibt 5 Hefte mit je 53 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 53
    2. 53 = 50 + 3
    3. 5 · 50 = 250 und 5 · 3 = 15
    4. 250 + 15 = 265
    Ergebnis:
    265 Hefte
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
    3. 80 − 4 = 76
    Ergebnis:
    76

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

130 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 130 : 5
  2. 130 = 100 + 30
  3. 100 : 5 = 20 und 30 : 5 = 6
  4. 20 + 6 = 26
  1. 130 : 5
  2. 130 = 100 + 30
  3. 100 : 5 = 20 und 30 : 5 = 6
  4. 20 + 6 = 26
Ergebnis:
26 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 228 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 228 : 6?
    228: 6
    So fängst du an:
    228 = 180 + 48
    Lösung zeigen
    1. 228 = 180 + 48
    2. 180 : 6 = 30 und 48 : 6 = 8
    3. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 48 : 3
    Lösung zeigen
    1. 48 = 30 + 18
    2. 30 : 3 = 10 und 18 : 3 = 6
    3. 10 + 6 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★12
    224 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 224 : 4
    2. 224 = 200 + 24
    3. 200 : 4 = 50 und 24 : 4 = 6
    4. 50 + 6 = 56
    Ergebnis:
    56 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 98 − 93 = ___ − 95
Schritt für Schritt
  1. 93 wird zu 95: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 98 um 2 größer.
  3. 98 + 2 = 100
  1. 93 wird zu 95: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 98 um 2 größer.
  3. 98 + 2 = 100
Ergebnis:
100

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 83 + 56 = 81 + ___
    83 + 56=81 + ?
    So fängst du an:
    83 wird zu 81: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 83 wird zu 81: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 56 um 2 größer.
    3. 56 + 2 = 58
    Ergebnis:
    58
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 44 − 36 = ___ − 46
    Lösung zeigen
    1. 36 wird zu 46: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 44 um 10 größer.
    3. 44 + 10 = 54
    Ergebnis:
    54
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 67 − 18 = ___ − 23
    Lösung zeigen
    1. 18 wird zu 23: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 67 um 5 größer.
    3. 67 + 5 = 72
    Ergebnis:
    72

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Mia verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  3. ★18
    Paul verdoppelt bei 18 · 45 beide Faktoren und rechnet 36 · 90. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 90 = 3240, aber 18 · 45 = 810
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 9 · 36? Nenne ihn und rechne.
9 · 36zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 36 = 30 + 6.
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 6 = 54
  3. Zusammen: 324
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 36 = 30 + 6.
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 6 = 54
  3. Zusammen: 324
Ergebnis:
zerlegen, 324

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 7 · 21? Nenne ihn und rechne.
    7 · 21zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 21 = 20 + 1.
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
    3. Zusammen: 147
    Ergebnis:
    zerlegen, 147
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia rechnet 481 − 179 und erhält 312. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 312 + 179 = 491
  2. 491 ist nicht 481: Es ist falsch.
  3. 481 − 179 = 302
  1. Umkehraufgabe: 312 + 179 = 491
  2. 491 ist nicht 481: Es ist falsch.
  3. 481 − 179 = 302
Ergebnis:
falsch, richtig ist 302

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mia rechnet 196 : 7 und erhält 29. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    196 : 7Ergebnis 29?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 29 · 7 = 203
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 29 · 7 = 203
    2. 203 ist nicht 196: Es ist falsch.
    3. 196 : 7 = 28
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 28
  2. ●23
    Emma rechnet 496 − 337 und erhält 259. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 259 + 337 = 596
    2. 596 ist nicht 496: Es ist falsch.
    3. 496 − 337 = 159
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 159
  3. ★24
    Hanna erhält für 359 · 37 das Ergebnis 13.283. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 40 = 16.000
    2. 13.283 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 359 · 37 = 13.283
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 13.283

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 3 + 22 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    32217
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 3 + 17 + 22
    2. 3 + 17 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 22 = 42
    Ergebnis:
    42
  2. ●26
    Rechne geschickt: 7 · 5 · 20
    7520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 7
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 7 = 700
    Ergebnis:
    700
  3. ●27
    Sofia rechnet 197 + 57 als 200 + 57. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    19757
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 57 = 257.
    3. 3 wieder abziehen: 257 − 3 = 254
    Ergebnis:
    254
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 144 − 39 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 144 um 1 größer: 145.
    3. 145 − 40 = 105
    Ergebnis:
    145
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
    3. 270 − 9 = 261
    Ergebnis:
    261
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 14 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1046
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 10 = 60
    2. Rechter Teil: 6 · 4 = 24
    3. Zusammen: 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    84 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Zeynep rechnet 42 + 42 + 58 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    424258
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    142

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Zeynep rechnet 97 + 77 als 100 + 77. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    9777
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    174

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 6 Hefte mit je 58 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    348 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    159 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 42 − 13 = ___ − 14
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 135 + 598? Nenne ihn und rechne.
    135 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 733

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia erhält für 87 · 20 das Ergebnis 1540. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1740

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 114
  2. 134
  3. 455
  4. 127
  5. 326
  6. 816
  7. 117
  8. 265 Hefte
  9. 76
  10. 38
  11. 16
  12. 56 Murmeln
  13. 58
  14. 54
  15. 72
  16. 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 810
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. zerlegen, 147
  21. halbieren und verdoppeln, 200
  22. falsch, richtig ist 28
  23. falsch, richtig ist 159
  24. stimmt, 13.283
  25. 42
  26. 700
  27. 254
  28. 145
  29. 261
  30. 84 Kästchen
  31. 142
  32. 174
  33. 348 Hefte
  34. 53 Bücher
  35. 43
  36. 180
  37. gegensinnig verändern, 733
  38. falsch, richtig ist 1740
  39. 19
  40. 54
  41. 28
  42. 51