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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 57 − 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 57 − 21 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●40
    Rechne: (4 + 9) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 9 = 13
    2. 13 · 7 = 91
    Ergebnis:
    91

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 9 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 4 = 36
    2. 3 + 36 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 33 und erhalte 61. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 12 + 87 + 18
128718
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 12 + 18 + 87
  2. 12 + 18 = 30
  3. 30 + 87 = 117
  1. Vertauschen: 12 + 18 + 87
  2. 12 + 18 = 30
  3. 30 + 87 = 117
Ergebnis:
117

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 9 + 36 + 41
    93641
    So fängst du an:
    Vertauschen: 9 + 41 + 36
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 41 + 36
    2. 9 + 41 = 50
    3. 50 + 36 = 86
    Ergebnis:
    86
  2. ●2
    Tom rechnet 35 + 48 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    35485
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 5 + 48
    2. 35 + 5 = 40
    3. 40 + 48 = 88
    Ergebnis:
    88
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 48 + 893 + 52 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    4889352
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 48 + 52 + 893
    2. 48 + 52 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 893 = 993
    Ergebnis:
    993

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Sofia rechnet 199 + 69 als 200 + 69. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
19969
Schritt für Schritt
  1. Sofia hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 69 = 269.
  3. 1 wieder abziehen: 269 − 1 = 268
  1. Sofia hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 69 = 269.
  3. 1 wieder abziehen: 269 − 1 = 268
Ergebnis:
268

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 96 = 300 + ___
    29796
    So fängst du an:
    297 wird zu 300: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 96 um 3 kleiner werden: 96 − 3 = 93
    3. 300 + 93 = 393
    Ergebnis:
    93
  2. ●5
    Can rechnet 37 + 65 als 40 + 65. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    3765
    Lösung zeigen
    1. Can hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 65 = 105.
    3. 3 wieder abziehen: 105 − 3 = 102
    Ergebnis:
    102
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 396 + 735 = 400 + ___
    396735
    Lösung zeigen
    1. 396 wird zu 400: 4 mehr.
    2. Also muss 735 um 4 kleiner werden: 735 − 4 = 731
    3. 400 + 731 = 1131
    Ergebnis:
    731

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
  3. 60 − 3 = 57
  1. 19 = 20 − 1
  2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
  3. 60 − 3 = 57
Ergebnis:
57

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
    3. 160 − 4 = 156
    Ergebnis:
    156
  2. ●8
    Es gibt 6 Reihen mit je 44 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 44
    2. 44 = 40 + 4
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 4 = 24
    4. 240 + 24 = 264
    Ergebnis:
    264 Stühle
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 8 · 262
    Lösung zeigen
    1. 262 = 200 + 60 + 2
    2. 8 · 200 = 1600; 8 · 60 = 480; 8 · 2 = 16
    3. 1600 + 480 + 16 = 2096
    Ergebnis:
    2096

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

175 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 175 : 5
  2. 175 = 150 + 25
  3. 150 : 5 = 30 und 25 : 5 = 5
  4. 30 + 5 = 35
  1. 175 : 5
  2. 175 = 150 + 25
  3. 150 : 5 = 30 und 25 : 5 = 5
  4. 30 + 5 = 35
Ergebnis:
35 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 188 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 188 : 4?
    188: 4
    So fängst du an:
    188 = 160 + 28
    Lösung zeigen
    1. 188 = 160 + 28
    2. 160 : 4 = 40 und 28 : 4 = 7
    3. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 603 : 9
    Lösung zeigen
    1. 603 = 540 + 63
    2. 540 : 9 = 60 und 63 : 9 = 7
    3. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 385 : 7
    Lösung zeigen
    1. 385 = 350 + 35
    2. 350 : 7 = 50 und 35 : 7 = 5
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 11 = 4 · ___
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
  3. 11 · 2 = 22
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
  3. 11 · 2 = 22
Ergebnis:
22

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 59 + 38 = 62 + ___
    59 + 38=62 + ?
    So fängst du an:
    59 wird zu 62: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 59 wird zu 62: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 38 um 3 kleiner.
    3. 38 − 3 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 81 + 41 = 78 + ___
    81 + 41=78 + ?
    Lösung zeigen
    1. 81 wird zu 78: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 41 um 3 größer.
    3. 41 + 3 = 44
    Ergebnis:
    44
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 32 + 28 = 31 + ___
    Lösung zeigen
    1. 32 wird zu 31: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 28 um 1 größer.
    3. 28 + 1 = 29
    Ergebnis:
    29

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Warum ist 24 · 125 dasselbe wie 12 · 250? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 24 · 125 = 12 · 250
    3. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 6 · 81? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 81zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 81 = 80 + 1.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 81 = 80 + 1.
    2. 6 · 80 = 480 und 6 · 1 = 6
    3. Zusammen: 486
    Ergebnis:
    zerlegen, 486
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 74? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 74 = 70 + 4.
    2. 4 · 70 = 280 und 4 · 4 = 16
    3. Zusammen: 296
    Ergebnis:
    zerlegen, 296
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 32? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 32 = 30 + 2.
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 2 = 14
    3. Zusammen: 224
    Ergebnis:
    zerlegen, 224

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 476 : 7 und erhält 69. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
476 : 7Ergebnis 69?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 69 · 7 = 483
  2. 483 ist nicht 476: Es ist falsch.
  3. 476 : 7 = 68
  1. Umkehraufgabe: 69 · 7 = 483
  2. 483 ist nicht 476: Es ist falsch.
  3. 476 : 7 = 68
Ergebnis:
falsch, richtig ist 68

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea erhält für 26 · 40 das Ergebnis 1040. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 30 · 40 = 1200
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 40 = 1200
    2. 1040 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 26 · 40 = 1040
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1040
  2. ●23
    Elias rechnet 768 − 373 und erhält 495. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 495 + 373 = 868
    2. 868 ist nicht 768: Es ist falsch.
    3. 768 − 373 = 395
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 395
  3. ★24
    Can rechnet 2496 − 1567 und erhält 949. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 949 + 1567 = 2516
    2. 2516 ist nicht 2496: Es ist falsch.
    3. 2496 − 1567 = 929
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 929

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 88 + 45 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    158845
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 45 + 88
    2. 15 + 45 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 88 = 148
    Ergebnis:
    148
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 19 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kartons19 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 19
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 19 = 190
    Ergebnis:
    190 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 75
    3975
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 75 gibt 1 ab.
    2. 39 + 75 = 40 + 74
    3. 40 + 74 = 114
    Ergebnis:
    114
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 220 − 197
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 220 − 197 = 223 − 200
    3. 223 − 200 = 23
    Ergebnis:
    23
  5. ●29
    Es gibt 9 Hefte mit je 17 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 17
    2. 17 = 10 + 7
    3. 9 · 10 = 90 und 9 · 7 = 63
    4. 90 + 63 = 153
    Ergebnis:
    153 Hefte
  6. ●30
    Paul rechnet 5 · 17 so: erst 5 · 10, dann 7 dazu. Paul erhält 57. Zeige am Bild, was fehlt.
    1075
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 7 Kästchen, nicht nur 7.
    2. Rechter Teil: 5 · 7 = 35
    3. 50 + 35 = 85
    Ergebnis:
    85

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 16 + 16 + 24 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    161624
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Paul rechnet 39 + 37 als 40 + 37. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    3937
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    117

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 186 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 186 : 3?
    186: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    62

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 52 + 41 = 49 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    44

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 135 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    135 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 434

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina rechnet 538 − 439 und erhält 119. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 99

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 86
  2. 88
  3. 993
  4. 93
  5. 102
  6. 731
  7. 156
  8. 264 Stühle
  9. 2096
  10. 47
  11. 67
  12. 55
  13. 35
  14. 44
  15. 29
  16. 210
  17. 90
  18. 3000
  19. zerlegen, 486
  20. zerlegen, 296
  21. zerlegen, 224
  22. stimmt, 1040
  23. falsch, richtig ist 395
  24. falsch, richtig ist 929
  25. 148
  26. 190 Bälle
  27. 114
  28. 23
  29. 153 Hefte
  30. 85
  31. 56
  32. 76
  33. 117
  34. 62
  35. 44
  36. 90
  37. gegensinnig verändern, 434
  38. falsch, richtig ist 99
  39. 36
  40. 91
  41. 39
  42. 28